电子商务网站建设的案例分析题,房屋装修网站模板,wordpress 生成pdf,阿里云的wordpress如何设置密码文章目录 引言一、线性方程组的基本概念与表达形式二、线性方程组解的基本定理三、线性方程组解的结构写在最后 引言
继向量的学习后#xff0c;一鼓作气#xff0c;把线性方程组也解决了去。O.O 一、线性方程组的基本概念与表达形式
方程组 称为 n n n 元齐次线性方程组… 文章目录 引言一、线性方程组的基本概念与表达形式二、线性方程组解的基本定理三、线性方程组解的结构写在最后 引言
继向量的学习后一鼓作气把线性方程组也解决了去。O.O 一、线性方程组的基本概念与表达形式
方程组 称为 n n n 元齐次线性方程组。
方程组 称为 n n n 元非齐次线性方程组。
方程组I又称为方程组II对应的齐次线性方程组或导出方程组。
方程组I和方程组II分别称为齐次线性方程组和非齐次线性方程组的基本形式。
令 α 1 ( a 11 , a 21 , … , a m 1 ) T , α 2 ( a 12 , a 22 , … , a m 2 ) T , … , α n ( a 1 n , a 2 n , … , a m n ) T , b ( b 1 , b 2 , … , b m ) T \alpha_1(a_{11},a_{21},\dots,a_{m1})^T,\alpha_2(a_{12},a_{22},\dots,a_{m2})^T,\dots,\alpha_n(a_{1n},a_{2n},\dots,a_{mn})^T,b(b_{1},b_{2},\dots,b_{m})^T α1(a11,a21,…,am1)T,α2(a12,a22,…,am2)T,…,αn(a1n,a2n,…,amn)T,b(b1,b2,…,bm)T 则方程组III可表示为如下向量形式 x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n 0 1.1 x_1\alpha_1x_2\alpha_2\dotsx_n\alpha_n0 1.1 x1α1x2α2⋯xnαn01.1 x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n b 2.1 x_1\alpha_1x_2\alpha_2\dotsx_n\alpha_nb 2.1 x1α1x2α2⋯xnαnb2.1
令 X ( x 1 , x 2 , … , x n ) T X(x_1,x_2,\dots,x_n)^T X(x1,x2,…,xn)T 矩阵 A [ α 1 , α 2 , … , α n ] A[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n] A[α1,α2,…,αn] 即 则方程组III可表示为如下矩阵形式 A X 0 1.2 AX01.2 AX01.2 A X b 2.2 AXb2.2 AXb2.2 二、线性方程组解的基本定理
其实就是前面我们在学向量时就已经总结过的矩阵、向量和线性方程组解的关系传送门。
齐次方程组只有零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) n . r(A)n. r(A)n.齐次方程组有非零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) n . r(A)n. r(A)n. 特别地如果系数矩阵 A A A 为 n n n 阶方阵还有以下结论 齐次方程组只有零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0. |A| \ne 0. ∣A∣0.齐次方程组有非零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∣ A ∣ 0. |A| 0. ∣A∣0. 对于非齐次方程组解的情况我们可对有解的情况进一步讨论。
非齐次方程组有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ‾ ) r ( A ) . r(\overline{A})r(A). r(A)r(A). 非齐次方程组有唯一解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) n . r(A)n. r(A)n.非齐次方程组有无数解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) n . r(A)n. r(A)n. 非齐次方程组无解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ‾ ) r ( A ) 1. r(\overline{A})r(A)1. r(A)r(A)1. 特别地如果系数矩阵 A A A 为 n n n 阶方阵还有以下结论 非齐次方程组有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ‾ ) r ( A ) . r(\overline{A})r(A). r(A)r(A). 非齐次方程组有唯一解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0. |A| \ne 0. ∣A∣0.非齐次方程组有无数解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∣ A ∣ 0. |A|0. ∣A∣0. 非齐次方程组无解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ‾ ) r ( A ) 1. r(\overline{A})r(A)1. r(A)r(A)1. 在学向量时就已经讨论了矩阵、向量和方程组解的关系的话现在来学就会非常轻松。
对于系数矩阵是方阵的方程组无非就是将行列式和秩联系了起来。如果矩阵的秩那一部分学得到位也不是什么难点。因此如果要记忆就记忆秩的关系就好行列式的结论自然能想到。 三、线性方程组解的结构
设 X 1 , X 2 , … , X s \pmb{X_1,X_2,\dots,X_s} X1,X2,…,Xs 为齐次线性方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的一组解则 k 1 X 1 k 2 X 2 ⋯ k s X s k_1X_1k_2X_2\dots k_sX_s k1X1k2X2⋯ksXs 也为齐次线性方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的解其中 k 1 , k 2 , … , k s k_1,k_2,\dots,k_s k1,k2,…,ks 为任意常数。设 η 0 \pmb{\eta_0} η0 为非齐次线性方程组 A X b \pmb{AXb} AXb 的一个解 X 1 , X 2 , … , X s \pmb{X_1,X_2,\dots,X_s} X1,X2,…,Xs 为齐次线性方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的一组解则 k 1 X 1 k 2 X 2 ⋯ k s X s η 0 k_1X_1k_2X_2\dots k_sX_s\pmb{\eta_0} k1X1k2X2⋯ksXsη0 为非齐次线性方程组 A X b \pmb{AXb} AXb 的解。设 η 1 , η 2 \pmb{\eta_1,\eta_2} η1,η2 为非齐次线性方程组 A X b \pmb{AXb} AXb 的两个解则 η 1 − η 2 \pmb{\eta_1-\eta_2} η1−η2 为齐次线性方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的解。设 X 1 , X 2 , … , X s \pmb{X_1,X_2,\dots,X_s} X1,X2,…,Xs 为非齐次线性方程组 A X b \pmb{AXb} AXb 的一组解若 k 1 X 1 k 2 X 2 ⋯ k s X s k_1X_1k_2X_2\dots k_sX_s k1X1k2X2⋯ksXs 也为非齐次线性方程组 A X b \pmb{AXb} AXb 的解的充要条件是 k 1 k 2 ⋯ k s 1. k_1k_2\dotsk_s1. k1k2⋯ks1.设 X 1 , X 2 , … , X s \pmb{X_1,X_2,\dots,X_s} X1,X2,…,Xs 为非齐次线性方程组 A X b \pmb{AXb} AXb 的一组解若 k 1 X 1 k 2 X 2 ⋯ k s X s k_1X_1k_2X_2\dots k_sX_s k1X1k2X2⋯ksXs 为齐次线性方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的解的充要条件是 k 1 k 2 ⋯ k s 0. k_1k_2\dotsk_s0. k1k2⋯ks0. 是不是有点熟悉特别像我们在微分方程中学的关于高阶线性微分方程的解的结构。 齐次解线性组合仍为齐次解。齐次解 非齐次解为非齐次解。非齐次解相减为齐次解。非齐次解线性组合系数之和为 1 才是非齐次解。非齐次解线性组合系数之和为 0 才是齐次解。 写在最后
线性方程组还有些内容是关于计算的我们放在后面来细说
