网站做跳转在后天那个文件里做,达州市建设规划网站,seo外包怎么收费,学ui设计网站线性组合、张成的空间与基 基向量缩放向量并相加给定向量张成的空间线性相关与线性无关空间的基 这是关于3Blue1Brown
线性代数的本质的学习笔记。 基向量
当看到一对描述向量的数时#xff0c;比如[3,-2]时#xff0c;把这对数中的每个数#xff08;坐标线性代数的本质的学习笔记。 基向量
当看到一对描述向量的数时比如[3,-2]时把这对数中的每个数坐标看作一个标量表示它们如何对坐标系上各轴单位向量 i ⃗ \vec{i} i 和 j ⃗ \vec{j} j 进行拉伸或压缩。
图1 向量坐标就是对坐标系各基向量的压缩或拉伸 单位向量 i ⃗ \vec{i} i 和 j ⃗ \vec{j} j 就是这个2维坐标系 x y xy xy的基向量。
缩放向量并相加 图2 一个向量是两个经过缩放的向量之和 从这个角度看向量[3,-2]实际上是两个经过缩放的向量之和。
每当我们用数字对表示一个向量时它都依赖于我们正在使用的基向量。
图3 两个向量的线性组合 两个数乘向量之和被称为这两个向量的线性组合。如果让两个向量的线性组合中的标量 a , b a,b a,b同时自由变化大多数情况下能到达2维平面内的每一个点。只有两种情况下例外一是这两个向量共线二是这两个向量是零向量。
给定向量张成的空间
所有可以表示为两个给定向量线性组合的向量的集合被称为两个给定向量张成的空间。
图4 两个给定向量张成的空间 同样地这里有个例外当给定的这两个向量共线时其张成的空间是这条直线上的所有向量的集合。 图5 三维空间中两个给定向量张成的空间 三维空间中两个给定向量张成的空间就是某个过原点的平面。 如果我们再加上第三个向量那么它们张成的空间又是什么样 图6 三维空间中三个给定向量张成的空间是什么样的 如果第三个向量恰好落在前面两个向量张成的平面上它们张成的空间并不会发生变化如果第三个向量没有在前面两个向量张成的平面上它们张成的空间构成整个3维空间
可以想象第三个向量将前面两个向量张成的平面沿它的方向来回移动从而扫过整个3维空间。
线性相关与线性无关
两个给定向量共线或者第三个向量恰好落在前面两个向量张成的平面上这两种情况下也就是一组向量中至少有一个是多余的对张成的空间没有贡献这时候就称它们是线性相关Linearly dependent的。另一种说法就是一组向量中有向量可以表示为其他向量的线性组合那它们就是线性相关的因为这个向量已经落在了其他向量张成的空间之中。
另一方面如果一组向量中的所有向量都给张成的空间增添了新的维度它们就被称为是线性无关的。
空间的基
空间的一组基的严格定义张成该空间的一个线性无关向量的集合。即向量空间的一组基是张成改空间的一个线性无关向量集。
