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当谈到微分模型时#xff0c;通常指的是使用微分方程来描述某个系统的动态行为。微分方程是描述变量之间变化率的数学方程。微分模型可以用于解决各种实际问题#xff0c;例如物理学、工程学、生物学等领域。
微分模型可以分为两类#xff1a;常微分方程和偏微分…微分模型
当谈到微分模型时通常指的是使用微分方程来描述某个系统的动态行为。微分方程是描述变量之间变化率的数学方程。微分模型可以用于解决各种实际问题例如物理学、工程学、生物学等领域。
微分模型可以分为两类常微分方程和偏微分方程。常微分方程描述的是只有一个自变量的函数的导数而偏微分方程描述的是多个自变量的函数的导数。
常微分方程的一些常见类型包括一阶线性常微分方程、一阶非线性常微分方程、高阶线性常微分方程等。偏微分方程的一些常见类型包括热传导方程、波动方程、扩散方程等。 Logistic 模型
对下列人口数据 # %%import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import curve_fit# %%# 源数据
df pd.DataFrame({year: [1790, 1800, 1810, 1820, 1830, 1840, 1850, 1860, 1870],population: [3.9, 5.3, 7.2, 9.6, 12.9, 17.1, 23.2, 31.4, 38.6],
})x0 float(df[population][0])
t0 float(df[year][0])# %%# Logistic 模型
def x(t, r, xm):return xm / (1 (xm/x0-1)*np.exp(-r*(t-t0)))# 拟合参数
popt, pcov curve_fit(x,df[year].tolist(),df[population].tolist(),bounds((0, 1), (.1, np.inf)))
r, xm popt[0], popt[1]
print(r , r)
print(xm , xm)# 预测 1900 人口
print(population in 1900 , x(1900, r, xm))# %%# 画出预测曲线
import matplotlib.pyplot as pltyear np.linspace(1790,2000,21)
population []
for each in year:population.append(x(each,r,xm))
plt.scatter(df[year], df[population], labelactual)
plt.plot(year, population, labelpredict, colorcoral)
plt.legend()得到 r 0.032 , x m 159.3 r0.032,x_m159.3r0.032,x 159.3并预测 1900 年人口为 73.09 73.0973.09得到预测曲线。
Python 代码 微分方程求解 求微分方程: # %%import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from sympy import *# %%# 使用 scipy 求数值解
# 微分方程
dy lambda y,x:-2*y x**2 2*x# 数值范围
x1 np.linspace(1,10,20)# 求数值解y 的初始值为 2
y1 odeint(dy, 2, x1)
y1# %%# 使用 sympy 求解析解# 定义变量和函数
x symbols(x, realTrue)
y Function(y)# 定义方程和约束
eq y(x).diff(x) 2*y(x) - x**2 - 2*x
con {y(1): 2,
}# 求解
f simplify(dsolve(eq, icscon))
f# %%# 向解中代入不同的值
x2 np.linspace(1,10,100)
y2 []
for each in x2:y2.append(list(sorted(f.subs(x,each).evalf().atoms()))[1])# %%# 画图
import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(x1,y1, labelx1, colorcoral)
plt.plot(x2,y2, labelx2)
plt.legend() 得到解析解的公式以及数值解 x 1 和解析解的曲线 x 2 发现数值解和解析解大致吻合。
