什么是网站建设策划书,两性做受技巧视频网站,免费培训机构管理系统,做网站网站应该注意什么1. 级数收敛的必要条件#xff1a;项趋于 0 定理#xff1a;如果级数 ∑ n 1 ∞ a n \sum_{n1}^{\infty} a_n ∑n1∞an 收敛#xff0c;那么 lim n → ∞ a n 0 。 \lim_{n \to \infty} a_n 0。 n→∞liman0。 说明#xff1a; 这是级数收敛的一个必要条件… 1. 级数收敛的必要条件项趋于 0 定理如果级数 ∑ n 1 ∞ a n \sum_{n1}^{\infty} a_n ∑n1∞an 收敛那么 lim n → ∞ a n 0 。 \lim_{n \to \infty} a_n 0。 n→∞liman0。 说明 这是级数收敛的一个必要条件但不是充分条件。即如果项 a n a_n an 不趋于 0级数一定发散但即使项趋于 0级数也不一定收敛例如调和级数 ∑ n 1 ∞ 1 n \sum_{n1}^{\infty} \frac{1}{n} ∑n1∞n1。这一条件适用于所有类型的收敛绝对收敛或条件收敛。 2. 绝对收敛与条件收敛的定义 绝对收敛如果 ∑ n 1 ∞ ∣ a n ∣ \sum_{n1}^{\infty} |a_n| ∑n1∞∣an∣ 收敛则称 ∑ n 1 ∞ a n \sum_{n1}^{\infty} a_n ∑n1∞an 绝对收敛。 条件收敛如果 ∑ n 1 ∞ a n \sum_{n1}^{\infty} a_n ∑n1∞an 收敛但 ∑ n 1 ∞ ∣ a n ∣ \sum_{n1}^{\infty} |a_n| ∑n1∞∣an∣ 发散则称 ∑ n 1 ∞ a n \sum_{n1}^{\infty} a_n ∑n1∞an 条件收敛。 3. 项趋于 0 与绝对 / 条件收敛的联系 无论是绝对收敛还是条件收敛都必须满足 lim n → ∞ a n 0 。 \lim_{n \to \infty} a_n 0。 n→∞liman0。 绝对收敛的级数要求更强的条件 ∑ ∣ a n ∣ \sum |a_n| ∑∣an∣ 的项 ∣ a n ∣ |a_n| ∣an∣ 也必须趋于 0且趋于 0 的速度足够快例如比较判别法 P级数 等比级数、比值法、根值等。 条件收敛的级数的项 a n a_n an 趋于 0但正项和负项的贡献相互抵消才导致收敛如莱布尼茨判别法中的交错级数 – 单调减 趋于0。 4. 典型例子 绝对收敛的例子 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n n 2 \sum_{n1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} n1∑∞n2(−1)n 因为 ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ∑n21 收敛 p p p-级数 p 2 1 p 2 1 p21。 条件收敛的例子 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n n \sum_{n1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} n1∑∞n(−1)n 因为 ∑ 1 n \sum \frac{1}{n} ∑n1 发散但原级数收敛莱布尼茨判别法。 发散的例子 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n \sum_{n1}^{\infty} (-1)^n n1∑∞(−1)n 因为项不趋于 0极限振荡为 − 1 -1 −1 和 1 1 1。 总结关系
✅ 收敛级数的项必须趋于 0✅ 绝对收敛 趋于 0 的速度足够快✅ 条件收敛 趋于 0依赖于正负项的抵消
