centos7 wordpress网站,动漫制作专业专科学校,开放平台设计,包头网站建设平台广和1. 微分方程的基本概念 1. 微分方程的基本概念#xff1a;
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1微分方程含有未知函数及其导数或微分的方程。 举例说明微分方程。 2微分方程的阶指微分方程中未知函数的导数的最高阶数。 举例说明微分方程的阶数一阶微分方程二阶微分方程。 3微分方程的解就是把一个函数代入微分方程使其成立那么这个函数就是微分方程的解。
4微分方程的通解它是微分方程的解该解具有《解里边含有任意常数的个数等于微分方程的阶数》特性。 举例说明微分方程的通解。 5微分方程的特解将给定的初始条件代入微分方程的通解求解任意常数后的通解称为微分方程的特解。 举例说明微分方程的特解已知初始条件微分方程的通解为 将初始条件代入通解可得则特解为。 6解微分方程就是找出未知函数的过程。
2. 微分方程的分类
1根据微分方程中所含有的自变量的个数分类 ①常微分方程指微分方程中只包含一个自变量的方程如。 ②偏微分方程指微分方程中包含两个或两个以上自变量的方程如。 备注偏微分方程里边含有偏导数如。 2根据微分方程中未知函数及其导数之间的关系分类 ①线性微分方程指未知函数及其导数呈线性关系。如。 ②非线性微分方程指未知函数及其导数不呈线性关系。如。 备注微分方程的线性与非线性与线性代数中的线性与非线性是有区别的。 2. 一阶微分方程 2.1 可分离变量的微分方程 1. 定义就是指自变量和因变量可以分离开来的微分方程。可转化为形如类型的等式。 说明①与相关的式子与相关的式子。 ②等式两端同时取不定积分即再进一步进行求解即可。 2. 举例说明
1求微分方程的通解 解等式两端同时取不定积分可得。 求解等式两端的不定积分可得。 等式两端同时取的指数整理得。 进一步整理可得。 备注求解微分方程时根据实际情况适当的对进行处理如。 2求微分方程的通解 解方程两端同时除以然后等式两端同时取不定积分可得。 求解等式两端的不定积分可得。 进一步整理可得微分方程的解。 注意当最等式两端做除法运算时需要考虑相应的定义(验证通解是否包含特殊情况)即 当同时除以时默认是的那么此时就需要验证是否是 微分方程的解。将代入微分方程可知等式成立故也是微分方程的解。 备注求解微分方程时不要漏解一般要求最终整理出来的式子不要带分式。 2.2 齐次微分方程 1. 定义就是指自变量和因变量作为一个整体出现且次数相等的微分方程。可转化为形如或类型的等式。 说明表明是自变量和是因变量表明是自变量和是因变量。 2. 举例说明
1求微分方程的通解(固定解法三步走) 解方程两端同时除以整理可得。① 三步走令则。② ②带入①上式可得。 对上式方程两端同时取不定积分并整理可得。 进行回代可得。 2求微分方程的通解(固定解法三步走) 解三步走令则。 将上式带入微分方程可得。 对上式方程两端同时取不定积分并整理可得。 进行回代可得。 2.3 一阶线性微分方程 1. 定义就是指未知函数的导数的最高阶数为1且未知函数及其导数之间呈线性关系的微分方程 可转化为形如或类型的等式。 备注当与出现在一起时默认意识都是是关于的函数但其实也是关于的函数。 2. 种类
1一阶齐次线性微分方程指或时的一阶线性微分方程。 求解方法转化为可分离变量的微分方程的形式进行求解。 2一阶非齐次线性微分方程指或时的一阶线性微分方程。 求解方法 第一步将原微分方程转化为或的标准形式 并明确与或与的表达式。 第二步直接带入通解公式 或。 3. 举例说明
1求微分方程的通解 解根据微分方程可知。 带入通解公式可得 注意求解一阶非齐次线性微分方程时常数只需要在最后那一项添加即可。 2求微分方程的通解 解根据微分方程可知。 带入通解公式可得 注意求解一阶非齐次线性微分方程时若的指数幂含有或形式的不定积分则积出来的原函数不用加绝对值。 2.4 伯努利方程 1. 定义形如的微分方程。
2. 求解过程 第一步等式两端同时除以可得。 第二步将拿到导数部分可得。 第三步令并整理可得。 第四步将看成一个整体看成一个整体即转化为一阶线性微分方程。 第五步按照一阶线性微分方程的求解方法求解完微分方程后进行的回代。
3. 举例说明求微分方程的通解 解根据微分方程可知则。 将带入原微分方程可得。 由上式可得。 所以。 将回代可得。 3. 高阶微分方程 3.1 可降阶的高阶微分方程 1. 形如型的微分方程 例求微分方程的通解。 解对微分方程连续积分两次可得。 备注型微分方程的通解含有个任意常数(微分方程的阶数)。 2. 形如型的微分方程 例求微分方程的通解。 解设则代入原微分方程可得。 对两端同时取积分可得。 又知则有。 对连续积分3次可得。 备注替换后得到的一阶微分方程的形式不同根据相应的形式去求解。 3. 形如型的微分方程 例求微分方程的通解。 解设则代入原微分方程可得。 对两端同时取积分可得。 又知则有。 对同时取积分可得。 核心思想设即则即。 3.2 二阶常系数齐次线性微分方程 1. 二阶齐次线性微分方程形如的微分方程。
2. 二阶齐次线性微分方程解的结构
1若是的解则也是的解。 备注按照微分方程的解的定义即可求证。 但不一定是的通解。。 备注按照微分方程的通解的定义即可求证。 那么如何保证是的通解呢 想要保证是通解那么通解必须含有两个任意常数即这两个常数不会被整合成一个常数。 此时就需要保证不能成比例也就是保证是线性无关的。
所以若是的两个线性无关的解那么就是 的通解。(定理)
2若是阶齐次线性微分方程的个线性无关的解那么阶齐次线性微分方程的通解为 。
3. 二阶常系数齐次线性微分方程形如的微分方程。
4. 二阶常系数齐次线性微分方程求解 若求的通解只需要求解出该微分方程的两个线性无关的解那么根据相关定理通解就可以表示为 。故当前目标就是求解出该微分方程的两个线性无关的解。 假设(为常数)为的解但到底是不是该微分方程的解谁知道呢需要进一步验证。 根据可得。将其代入整理可得。 因为故若使得恒成立则有成立。 由此可知只需要解算出的值并带入就可以得到的解故是微分方程 的解。 此时我们将称为微分方程的特征方程。并通过求解特征方程的特征根 获取微分方程 的两个线性无关的解。分析如下 特征方程是一个一元二次方程它的根有以下三种情形 1特征方程有两个不相等的实根即。 经过上述分析可知是微分方程的解所以我们就直接找到了微分方程的两个解即。 因为不是成比例关系的故与线性无关。 所以微分方程的通解为。 举例说明求微分方程的通解 解根据所给的微分方程可得特征方程。 解得。 所以通解为 2特征方程有两个相等的实根即。 经过上述分析可知是微分方程的解所以我们就直接找到了微分方程的第一个解即。 接下来寻找第二个解第二个解只需要与第一个解线性无关即可。 因为不能成比例关系所以设即。 假设是的解但到底是不是该微分方程的解谁知道呢需要进一步验证。 根据可得。 将其代入整理可得。 因为是特征方程的根则有。 又因为特征方程有两个相等的实根则特征方程可表示为 通过等式对比可知。 故。 我们的目的是寻找一个使得不成比例所以根据可选取。 所以微分方程的第二个解为。 因为不是成比例关系的故与线性无关。 所以微分方程的通解为。 举例说明求微分方程的通解 解根据所给的微分方程可得特征方程。 解得。 所以通解为。 3特征方程有一对共轭复根即。 经过上述分析可知是微分方程的解所以我们就直接找到了微分方程的两个解即。 代入整理可得 此时的解为复数形式为得到实数形式的解为此进一步将其转化。 利用欧拉公式可以把 改写为 。 因为微分方程的两个解则依然是微分方程的两个解(代入证明可得结果) 即。 因为不是成比例关系的故与线性无关。 所以微分方程的通解为。 举例说明求微分方程的通解 解根据所给的微分方程可得特征方程。 解得。故。 所以通解为。 5. 阶常系数齐次线性微分方程求解
对于n阶常系数齐次线性微分方程根据特征方程的特征根可以写出其对应的微分方程的解如下所示 特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根给出一项一对单复根给出两项重实根给出项一对重复根给出项 举例说明若微分方程的特征根别。 则通解为 。 3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 1. 二阶非齐次线性微分方程形如的微分方程。
2. 二阶非齐次线性微分方程解的结构
1若是的特解是的通解 则的通解为。
2若是的特解则是的特解。
3若是的特解是的特解 则是的特解。
3. 二阶常系数非齐次线性微分方程形如的微分方程。
4. 二阶常系数非齐次线性微分方程求解 由二阶非齐次线性微分方程解的结构可知 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解等于二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 对应的二阶常系数齐次线性微分方程的通解 上一节已解决二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法此时需要解决的问题就是求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 以下是微分方程中的取两种常见形式时特解的求法。
1型 备注是常数是关于的一个次多项式。 观察可知等号右边是多项式与指数函数的乘积。而多项式与指数函数的乘积的导数依然是多项式 与指数函数的乘积所以我们有理由怀疑可能是微分方程的特解。其中是某个多项式。 假设是微分方程的特解则。 将带入可得如下等式 。 根据可得对应的的特征方程为。 ①若不是特征方程的根则有。 因为是关于的一个次多项式若使得式恒成立则等号左端也应该是关于的一个次多项式由于求导 之后次数降低所以此时只能是关于的一个次多项式。 设将带入式利用待定系数法即可得到 的值。所以此时微分方程的特解为。 ②若是特征方程的单根则有。 因为是关于的一个次多项式若使得式恒成立则等号左端也应该是关于的一个次多项式由于的系数 为零所以此时只能是关于的一个次多项式那么则是关于的一个次多项式。 设那么可用来表示将 带入式利用待定系数法即可得到的值。所以此时微分方程的特解为。 ③若是特征方程的重根则有。 因为是关于的一个次多项式若使得式恒成立则等号左端也应该是关于的一个次多项式由于和 的系数为零所以此时只能是关于的一个次多项式则是关于的一个次多项式。 设那么可用来表示将 带入式利用待定系数法即可得到的值。所以此时微分方程的特解为。 综上所述总结如下 如果那么二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可以表示为。 其中与是同次(次)的多项式。 不是特征方程的根则是特征方程的单根则是特征方程的重根则。 2型 备注是常数分别是关于的一个次、次多项式且有一个多项式可以为零。 如果那么二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可以表示为 。 其中与是次的多项式。 (或)不是特征方程的根则(或)是特征方程的单根则。 备注根据题设写出特解将其代入原微分方程利用待定系数法即可求解多项式系数。
