网站建设的知识点有哪些,深圳世茂前海中心,在线课程设计,广州网页设计多少钱Good Morning, and in case I dont see you, good afternoon, good evening, and good night! 0. 一些概念1. 坐标系的旋转1.1 轴角法1.2 四元素1.3 基于欧拉角的旋转矩阵1.3.1 单轴旋转矩阵1.3.2 多轴旋转矩阵1.3.3 其他 2. 齐次变换矩阵3. visp实践 0. 一些概念
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相关概念旋转矩阵、平移矩阵、单应矩阵、齐次变换矩阵。坐标变换包括旋转变换和平移变换。为什么要坐标变换引入坐标变换可以解决哪些问题应用场景 已知一点p在坐标系A中的坐标计算p在坐标系B中的坐标。已知一向量v在坐标系A中的值计算v在坐标系B中的值。描述坐标系A和坐标系B之间的位姿关系姿态和位置。一向量v绕坐标系A的xyz轴旋转 θ ϕ ψ \theta \phi \psi θϕψ角度并进行一定平移后在坐标系A中的新坐标。在数学建模过程中往往需要将不同的物量量表示在同一个坐标系内才能列出等式。刚体运动学。图像的投影。
1. 坐标系的旋转
描述坐标系的旋转常用的方法包括
轴角法旋转矩阵欧拉角四元数
这几种旋转表示方法有各自的优缺点和应用场景这里不作赘叙。
1.1 轴角法
不常用略…
1.2 四元素
待续…
1.3 基于欧拉角的旋转矩阵
轴角法和四元数这两个可以归纳为用一次旋转来表示两个坐标系间的姿态。欧拉角则是用三次旋转来表示姿态。 欧拉角指横滚角 ϕ \phi ϕ俯仰角 θ \theta θ偏航角 ψ \psi ψ。 ϕ , θ , ψ \phi, \theta, \psi ϕ,θ,ψ在不同的领域有不同的定义规则主要的区别是旋转顺序的不同绕原始(固定)坐标轴轴旋转还是绕新(运动)坐标轴的不同也称外旋或内旋。 在航天航空领域的欧拉角
内旋 绕运动轴旋转得到新坐标系。Z–Y–X 原始坐标系经过Z–Y–X顺序旋转一定的角度得到新坐标系。右手系 涉及的坐标系都遵循右手定则。
1.3.1 单轴旋转矩阵
前提右手系 这里只给出结论不作推导。 坐标系A分别单独绕 x , y , z x,y,z x,y,z轴旋转 ϕ , θ , ψ \phi, \theta, \psi ϕ,θ,ψ角度欧拉旋转矩阵表达式如下 T B A R x ( ϕ ) [ 1 0 0 0 c o s ϕ − s i n ϕ 0 s i n ϕ c o s ϕ ] 式 1 T B A R y ( θ ) [ c o s θ 0 s i n θ 0 1 0 − s i n θ 0 c o s θ ] 式 2 T B A R z ( ψ ) [ c o s ψ − s i n ψ 0 s i n ψ c o s ψ 0 0 0 1 ] 式 3 T_B^AR_x(\phi) \begin{bmatrix} 100\\ 0cos{\phi}-sin{\phi}\\ 0sin{\phi}cos{\phi} \end{bmatrix}式1\\[3mm] T_B^AR_y(\theta) \begin{bmatrix} cos{\theta}0sin{\theta}\\ 010\\ -sin{\theta}0cos{\theta} \end{bmatrix}式2\\[3mm] T_B^AR_z(\psi) \begin{bmatrix} cos{\psi}-sin{\psi}0\\ sin{\psi}cos{\psi}0\\ 001 \end{bmatrix}式3 TBARx(ϕ) 1000cosϕsinϕ0−sinϕcosϕ 式1TBARy(θ) cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ 式2TBARz(ψ) cosψsinψ0−sinψcosψ0001 式3 这些旋转矩阵的意义是新坐标系到原始坐标系的变换矩阵即 [ x A y A z A ] T B A [ x B y B z B ] \begin{bmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{bmatrix}T_B^A \begin{bmatrix} x_B\\ y_B\\ z_B \end{bmatrix} xAyAzA TBA xByBzB 注意 ϕ , θ , ψ \phi, \theta, \psi ϕ,θ,ψ满足右手定则绕右手坐标系的正方向旋转时为正。 ϕ , θ , ψ \phi, \theta, \psi ϕ,θ,ψ是系A旋转运动到系B的旋转量但是得到的旋转矩阵 R x , R y , R z R_x,R_y,R_z Rx,Ry,Rz却是系B到系A的坐标变换矩阵 即 ϕ , θ , ψ \phi, \theta, \psi ϕ,θ,ψA ~ B R x , R y , R z R_x,R_y,R_z Rx,Ry,RzB ~ A系B到系A的变换矩阵可以有多种符号表示方式通常有 T B A T_B^A TBA A T B ^AT_B ATB T A B T_{AB} TAB 都表示 B ~ A 的变换关系矩阵注意上下标的位置!旋转矩阵是正交的因此有 [ x B y B z B ] T A B [ x A y A z A ] ( T B A ) − 1 [ x A y A z A ] ( T B A ) T [ x A y A z A ] \begin{bmatrix} x_B\\ y_B\\ z_B \end{bmatrix}T_A^B \begin{bmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{bmatrix}(T_B^A)^{-1} \begin{bmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{bmatrix}(T_B^A)^{T} \begin{bmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{bmatrix} xByBzB TAB xAyAzA (TBA)−1 xAyAzA (TBA)T xAyAzA 即 T A B ( T B A ) − 1 ( T B A ) T T_A^B(T_B^A)^{-1}(T_B^A)^{T} TAB(TBA)−1(TBA)T.
1.3.2 多轴旋转矩阵
12种常用的内旋欧拉角又可分为两个类别
常规欧拉角泰特 - 布赖恩角
注意 下表中如 X 1 Y 2 Z 3 X_1Y_2Z_3 X1Y2Z3表示的是矩阵相乘顺序相当于本文的 R x R y R z R_xR_yR_z RxRyRz表示旋转顺序是 Z ~Y ~X 其中的123表示绕该轴旋转的角度代称 在航空航天领域常用 Z ~Y ~X 旋转顺序的内旋欧拉角旋转矩阵。 例如系A分别先后绕 Z , Y , X Z,Y,X Z,Y,X轴旋转 ψ , θ , ϕ \psi,\theta,\phi ψ,θ,ϕ角度得到新的坐标系B则有以下等式成立 [ x A y A z A ] T B A [ x B y B z B ] T B A R x ( ϕ ) R y ( θ ) R z ( ψ ) [ c o s θ c o s ψ − c o s θ s i n ψ s i n θ c o s ϕ s i n ψ c o s ψ s i n ϕ s i n θ c o s ϕ c o s ψ − s i n ϕ s i n θ s i n ψ − c o s θ s i n ϕ s i n ϕ s i n ψ − c o s ϕ c o s ψ s i n θ c o s ψ s i n ϕ c o s ϕ s i n θ s i n ψ c o s ϕ c o s θ ] 式 4 首旋绕系 A 的 Z 轴旋转 ψ 角度 次旋绕首旋得到的坐标系 A ′ 的 Y 轴旋转 θ 角度 终旋绕次旋得到的坐标系 A ′ ′ 的 X 轴旋转 ϕ 角度 系 A → 首旋 → 系 A ′ → 次旋 → 系 A ′ ′ → 终旋 → 系 B \begin{bmatrix} x_A\\ y_A\\ z_A \end{bmatrix}T_B^A \begin{bmatrix} x_B\\ y_B\\ z_B \end{bmatrix} \\[5mm] T_B^AR_x(\phi)R_y(\theta)R_z(\psi)\begin{bmatrix} cos{\theta}cos{\psi}-cos{\theta}sin{\psi}sin{\theta}\\ cos{\phi}sin{\psi}cos{\psi}sin{\phi}sin{\theta}cos{\phi}cos{\psi}-sin{\phi}sin{\theta}sin{\psi}-cos{\theta}sin{\phi}\\ sin{\phi}sin{\psi}-cos{\phi}cos{\psi}sin{\theta}cos{\psi}sin{\phi}cos{\phi}sin{\theta}sin{\psi}cos{\phi}cos{\theta} \end{bmatrix}式4\\[5mm] 首旋绕系A的Z轴旋转\psi角度\\[5mm] 次旋绕首旋得到的坐标系A的Y轴旋转\theta角度\\[5mm] 终旋绕次旋得到的坐标系A的X轴旋转\phi角度\\[5mm] 系A\to 首旋 \to 系A \to 次旋 \to 系A \to 终旋 \to 系B xAyAzA TBA xByBzB TBARx(ϕ)Ry(θ)Rz(ψ) cosθcosψcosϕsinψcosψsinϕsinθsinϕsinψ−cosϕcosψsinθ−cosθsinψcosϕcosψ−sinϕsinθsinψcosψsinϕcosϕsinθsinψsinθ−cosθsinϕcosϕcosθ 式4首旋绕系A的Z轴旋转ψ角度次旋绕首旋得到的坐标系A′的Y轴旋转θ角度终旋绕次旋得到的坐标系A′′的X轴旋转ϕ角度系A→首旋→系A′→次旋→系A′′→终旋→系B
旋转矩阵是正交的因此有 T A B ( T B A ) − 1 ( T B A ) T T_A^B(T_B^A)^{-1}(T_B^A)^{T} TAB(TBA)−1(TBA)T 实质上可以自行根据式1式2式3进行不同顺序的相乘以得到特定的欧拉旋转矩阵式4就是下面相乘顺序得到的结果 T B A R x ( ϕ ) R y ( θ ) R z ( ψ ) T_B^AR_x(\phi)R_y(\theta)R_z(\psi) TBARx(ϕ)Ry(θ)Rz(ψ) 注意越靠右边旋转顺序越优先
1.3.3 其他
优点简洁直观。缺点万向节死锁意思是在某些姿态下欧拉角的三自由度失去了一个自由度。扩展结论 欧拉角旋转矩阵是正交的有 R T R − 1 R^TR^{-1} RTR−1三次绕固定轴旋转的最终姿态和以相反顺序三次绕运动轴旋转的最终姿态相同。欧拉角旋转矩阵才能 VS 轴角法四元数外旋欧拉旋转矩阵请自行查阅其他资料。
2. 齐次变换矩阵
将两个坐标系的旋转关系和平移关系整合成一个4x4的矩阵。 [ x b y b z b 1 ] b T a [ x a y a z a 1 ] [ b R a O a b 0 1 ] [ x a y a z a 1 ] \begin{bmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \\ 1 \end{bmatrix}{^bT_a} \begin{bmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ^bR_aO_a^b \\ 01 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \\ 1 \end{bmatrix} xbybzb1 bTa xayaza1 [bRa0Oab1] xayaza1 b T a [ b R a O a b 0 1 ] {^bT_a} \begin{bmatrix} ^bR_aO_a^b \\ 01 \\ \end{bmatrix} bTa[bRa0Oab1] 其中 b T a ^bT_a bTa称为坐标系 a 到坐标系 b 的齐次变换矩阵 b R a ^bR_a bRa是系a到系b的旋转矩阵 O a b O_a^b Oab是系a原点在系b中的坐标 坐标系 a 到坐标系 b 的齐次变换矩阵为 b T a ^bT_a bTa那么坐标系 b 到坐标系 a 的齐次变换矩阵为 a T b ( b T a ) − 1 ^aT_b(^bT_a)^{-1} aTb(bTa)−1根据齐次矩阵的性质可知 a T b ( b T a ) − 1 [ a R b − a R b O a b 0 1 ] ^aT_b(^bT_a)^{-1} \begin{bmatrix} ^aR_b-^aR_bO_a^b \\ 01 \\ \end{bmatrix} aTb(bTa)−1[aRb0−aRbOab1]
3. visp实践
//! [compute cMe]
vpRxyzVector c1TOc_xyz(vpMath::rad(-10.0), vpMath::rad(0), 0); // c1 ~ c 的xyz轴旋转量
vpRotationMatrix c1Rc(c1TOc_xyz); // 旋转矩阵c - c1
vpRotationMatrix cRc1 c1Rc.inverse(); // 旋转矩阵c1 - c, 旋转矩阵是正交的因此 c1Rc^-1c1Rc^T
vpHomogeneousMatrix cMc1(vpTranslationVector(), cRc1); // 齐次变换矩阵c1 - c
vpRotationMatrix c1Re { 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0 }; // 旋转矩阵e - c1
vpTranslationVector e0_c1(0, -0.03, -0.07); // 平移关系e系原点在c1系中的坐标
vpHomogeneousMatrix c1Me(e0_c1, c1Re); // 齐次变换矩阵e - c1
vpHomogeneousMatrix cMe cMc1 * c1Me; // 齐次变换矩阵e - c
vpVelocityTwistMatrix cVe(cMe); // 伺服系统控制量Vc[vx,vy,vz,wx,wy,wz]的坐标变换矩阵e - c从飞机机体系FRD到相机系RDF
//! [compute cMe]
