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在《n次Legendre(勒让德)多项式在区间(-1, 1)上根的分布及证明》这篇文章中#xff0c;我们阐述了Legendre多项式在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上的根分布情况并给出了证明。本文将证明Legendre多项式在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上的正交性质。
正交多项式的定义…前言
在《n次Legendre(勒让德)多项式在区间(-1, 1)上根的分布及证明》这篇文章中我们阐述了Legendre多项式在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上的根分布情况并给出了证明。本文将证明Legendre多项式在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上的正交性质。
正交多项式的定义 设 f n ( x ) , n ∈ N f_n(x),n\in \mathbb N fn(x),n∈N是定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的一列函数若对于任意的自然数 m , n m,n m,n f m ( x ) f n ( x ) f_m(x)f_n(x) fm(x)fn(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积且满足 ∫ a b f m ( x ) f n ( x ) d x { 0 , m ≠ n ∫ a b f n 2 ( x ) d x 0 , m n \int_{a}^{b}f_m(x)f_n(x) \mathrm{d}x\begin{cases}0, m\neq n \\\displaystyle \int_{a}^{b} f^2_n(x)\mathrm{d}x0, mn\end{cases} ∫abfm(x)fn(x)dx⎩ ⎨ ⎧0,∫abfn2(x)dx0,mnmn 则称 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}是 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的正交函数列。当 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}是 n n n次多项式时则称 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}是 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的正交多项式列。 n阶Legendre多项式在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上的正交性证明 n次Legendre多项式的定义如下 p n ( x ) 1 2 n n ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n , n ∈ N p_{n}(x)\frac{1}{2^n n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d} x^n}(x^2-1)^n, n\in \mathbb{N} pn(x)2nn!1dxndn(x2−1)n,n∈N 不妨设 n ≥ m n \geq m n≥m。首先构造如下函数 I m n m ! n ! 2 m 2 n ∫ − 1 1 p m ( x ) p n ( x ) d x ∫ − 1 1 d m d x m ( x 2 − 1 ) m ⋅ d n d x n ( x 2 − 1 ) n d x \begin{equation} I_{mn}m!n!2^m2^n\int_{-1}^{1}p_{m}(x)p_{n}(x) \mathrm{d}x \int_{-1}^{1}\frac{\mathrm d^m}{\mathrm{d} x^m}(x^2-1)^m \cdot \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d} x^n}(x^2-1)^n \mathrm{d}x \end{equation} Imnm!n!2m2n∫−11pm(x)pn(x)dx∫−11dxmdm(x2−1)m⋅dxndn(x2−1)ndx
用分部积分法对 ( 1 ) (1) (1)式进行积分可以得到 I m n ∫ − 1 1 d m d x m ( x 2 − 1 ) m d ( d n − 1 d x n − 1 ( x 2 − 1 ) n ) d m d x m ( x 2 − 1 ) m ⋅ d n − 1 d x n − 1 ( x 2 − 1 ) n ∣ − 1 1 − ∫ − 1 1 d n − 1 d x n − 1 ( x 2 − 1 ) n ⋅ d m 1 d x m 1 ( x 2 − 1 ) m d x \begin{equation} \begin{align} I_{mn} \int_{-1}^{1}\frac{\mathrm d^m}{\mathrm{d} x^m}(x^2-1)^m \mathrm{d}(\frac{\mathrm d^{n-1}}{\mathrm{d} x^{n-1}}(x^2-1)^n) \nonumber \\ \left.\frac{\mathrm d^m}{\mathrm{d} x^m}(x^2-1)^m \cdot \frac{\mathrm d^{n-1}}{\mathrm{d} x^{n-1}}(x^2-1)^n \right |_{-1}^{1} \nonumber -\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm d^{n-1}}{\mathrm{d} x^{n-1}}(x^2-1)^n \cdot \frac{\mathrm d^{m1}}{\mathrm{d} x^{m1}}(x^2-1)^m\mathrm{d}x \nonumber \\ \end{align} \end{equation} Imn∫−11dxmdm(x2−1)md(dxn−1dn−1(x2−1)n)dxmdm(x2−1)m⋅dxn−1dn−1(x2−1)n −11−∫−11dxn−1dn−1(x2−1)n⋅dxm1dm1(x2−1)mdx
这里引用《n次Legendre(勒让德)多项式在区间(-1, 1)上根的分布及证明》这篇文章里的结论 当 k n kn kn时 f k ( x ) [ ( x 2 − 1 ) n ] ( k ) f_{k}(x)[(x^2-1)^n]^{(k)} fk(x)[(x2−1)n](k)的每一项都包含因式 x − 1 x-1 x−1与 x 1 x1 x1 因此 d m d x m ( x 2 − 1 ) m ⋅ d n − 1 d x n − 1 ( x 2 − 1 ) n ∣ − 1 1 0 \displaystyle \left.\frac{\mathrm d^m}{\mathrm{d} x^m}(x^2-1)^m \cdot \frac{\mathrm d^{n-1}}{\mathrm{d} x^{n-1}}(x^2-1)^n \right |_{-1}^{1}0 dxmdm(x2−1)m⋅dxn−1dn−1(x2−1)n −110。于是 ( 2 ) (2) (2)式可以写成 I m n − ∫ − 1 1 d n − 1 d x n − 1 ( x 2 − 1 ) n ⋅ d m 1 d x m 1 ( x 2 − 1 ) m d x \begin{equation} I_{mn}-\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm d^{n-1}}{\mathrm{d} x^{n-1}}(x^2-1)^n \cdot \frac{\mathrm d^{m1}}{\mathrm{d} x^{m1}}(x^2-1)^m\mathrm{d}x \end{equation} Imn−∫−11dxn−1dn−1(x2−1)n⋅dxm1dm1(x2−1)mdx
继续用分部积分法对 ( 3 ) (3) (3)式重复上述过程执行 n n n次后得到 I m n ( − 1 ) n ∫ − 1 1 d m n d x m n ( x 2 − 1 ) m ⋅ ( x 2 − 1 ) n d x \begin{equation} I_{mn}(-1)^n\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm d^{mn}}{\mathrm{d} x^{mn}}(x^2-1)^m \cdot (x^2-1)^n \mathrm{d}x \end{equation} Imn(−1)n∫−11dxmndmn(x2−1)m⋅(x2−1)ndx
下面分情况讨论。
若 n m nm nm d m n d x m n ( x 2 − 1 ) m 0 \displaystyle \frac{\mathrm d^{mn}}{\mathrm{d} x^{mn}}(x^2-1)^m 0 dxmndmn(x2−1)m0即 I m n 0 I_{mn}0 Imn0因此有 ∫ − 1 1 p m ( x ) p n ( x ) d x 0 \begin{equation} \int_{-1}^{1}p_{m}(x)p_{n}(x) \mathrm{d}x 0 \end{equation} ∫−11pm(x)pn(x)dx0
若 n m nm nm根据高阶导数的Leibniz公式可以得到 d m n d x m n ( x 2 − 1 ) m ∑ i 0 2 n C 2 n i [ ( x 1 ) n ] ( i ) [ ( x − 1 ) n ] ( 2 n − i ) C 2 n n [ ( x 1 ) n ] ( n ) [ ( x − 1 ) n ] ( n ) ( 2 n ) ! \begin{equation} \displaystyle \frac{\mathrm d^{mn}}{\mathrm{d} x^{mn}}(x^2-1)^m \displaystyle \sum_{i0}^{2n} C_{2n}^{i}[(x1)^n]^{(i)}[(x-1)^n]^{(2n-i)}C_{2n}^{n}[(x1)^n]^{(n)}[(x-1)^n]^{(n)}(2n)! \end{equation} dxmndmn(x2−1)mi0∑2nC2ni[(x1)n](i)[(x−1)n](2n−i)C2nn[(x1)n](n)[(x−1)n](n)(2n)!
将 ( 6 ) (6) (6)式代入 ( 4 ) (4) (4)式不断使用分部积分法后可以得到 I n n ( 2 n ) ! ( − 1 ) n ∫ − 1 1 ( x − 1 ) n ( x 1 ) n d x ( 2 n ) ! ∫ − 1 1 ( 1 − x ) n d ( ( 1 x ) n 1 n 1 ) ( 2 n ) ! n 1 ( 1 − x ) n ( 1 x ) n 1 ∣ − 1 1 ( 2 n ) ! n n 1 ∫ − 1 1 ( 1 − x ) n − 1 ( 1 x ) n 1 d x ( 2 n ) ! n n 1 ∫ − 1 1 ( 1 − x ) n − 1 ( 1 x ) n 1 d x ( 2 n ) ! n ( n − 1 ) ( n 1 ) ( n 2 ) ∫ − 1 1 ( 1 − x ) n − 2 ( 1 x ) n 2 d x . . . ( n ! ) 2 ∫ − 1 1 ( 1 x ) 2 n d x ( n ! ) 2 2 2 n 1 2 n 1 \begin{equation} \begin{align} I_{nn} (2n)!(-1)^n\int_{-1}^{1} (x-1)^n (x1)^n \mathrm{d}x \nonumber \\ (2n)!\int_{-1}^{1}(1-x)^n \mathrm{d}\left(\dfrac{(1x)^{n1}} {n1}\right)\nonumber \\ \left.\dfrac{(2n)!}{n1}(1-x)^n(1x)^{n1}\right|_{-1}^{1}\dfrac{(2n)!n}{n1}\int_{-1}^{1}(1-x)^{n-1}(1x)^{n1}\mathrm{d}x \nonumber \\ \dfrac{(2n)!n}{n1}\int_{-1}^{1}(1-x)^{n-1}(1x)^{n1}\mathrm{d}x \nonumber \\ \dfrac{(2n)!n(n-1)}{(n1)(n2)}\int_{-1}^{1}(1-x)^{n-2}(1x)^{n2}\mathrm{d}x \nonumber \\ ... \nonumber \\ (n!)^2\int_{-1}^{1}(1x)^{2n}\mathrm{d}x \dfrac{(n!)^2 2^{2n1}}{2n1}\nonumber \\ \end{align} \end{equation} Inn(2n)!(−1)n∫−11(x−1)n(x1)ndx(2n)!∫−11(1−x)nd(n1(1x)n1)n1(2n)!(1−x)n(1x)n1 −11n1(2n)!n∫−11(1−x)n−1(1x)n1dxn1(2n)!n∫−11(1−x)n−1(1x)n1dx(n1)(n2)(2n)!n(n−1)∫−11(1−x)n−2(1x)n2dx...(n!)2∫−11(1x)2ndx2n1(n!)222n1
将 ( 7 ) (7) (7)式代入 ( 1 ) (1) (1)式可得 ∫ − 1 1 p m ( x ) p n ( x ) d x I n n ( n ! ) 2 2 n 2 2 n 1 0 \begin{equation} \int_{-1}^{1}p_{m}(x)p_{n}(x) \mathrm{d}x \dfrac{I_{nn}}{(n!)2^{2n}}\dfrac{2}{2n1}0 \end{equation} ∫−11pm(x)pn(x)dx(n!)22nInn2n120
结合 ( 5 ) , ( 8 ) (5),(8) (5),(8)式我们得到了如下结论 ∫ − 1 1 p m ( x ) p n ( x ) d x { 0 , m ≠ n 2 2 n 1 0 , m n \int_{-1}^{1}p_{m}(x)p_{n}(x) \mathrm{d}x\begin{cases}0, m\neq n \\\displaystyle\dfrac{2}{2n1}0, mn\end{cases} ∫−11pm(x)pn(x)dx⎩ ⎨ ⎧0,2n120,mnmn
根据定义我们得到 n n n次Legendre多项式列 { p n ( x ) } \{p_n(x)\} {pn(x)}是 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上的正交多项式列。证毕。
