谷歌推广网站建设,办公室装修费用分几年摊销,海南百度推广电话,传媒公司排行榜如题#xff0c;在今天学习线性代数时#xff0c;觉得书上对于施密特正交化部分的解释还不够明了#xff08;作者用的是同济版的线性代数#xff0c;对于农科学生来说可能不够明了#xff09;#xff0c;于是就想到能不能用通俗易懂的方法把这个知识呈现出来#xff0c;… 如题在今天学习线性代数时觉得书上对于施密特正交化部分的解释还不够明了作者用的是同济版的线性代数对于农科学生来说可能不够明了于是就想到能不能用通俗易懂的方法把这个知识呈现出来于是就有了这篇文章话不多说直接进入正题
一.施密特正交化 设 是向量空间 的一个基要求 的一个标准正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量 与 等价。这样一个问题称为把基 标准正交化。
我们可以用以下方法把 标准正交化取 然后把它们单位化即取 就是 的一个标准正交基。
上述从线性无关向量组 导出正交向量组 的过程称为施密特正交化。
二.“通俗”理解施密特正交化 在开始之前默认你已经知道了内积等学习施密特正交化需要的一些基本知识 我知道定义总是晦涩难懂的想要通俗的理解就要从别的角度去思考而对人类来说图形恰恰是理解记忆的好方式下面我将以数形结合的方式来带你了解这个定理。
余弦定理与向量距离 在平面直角坐标系中假设有向量 ,如图懒得作图了顺便展示一下子画工 在这三角形AOC中对A,B距离的平方有 余弦定理 坐标
显然两式中后一项相等 即向量的内积为 正文 现在回到公式中我们不妨把问题简化一下假设向量空间是二维空间 设在二维空间中有正交向量 任意向量 由正交向量性质可知一对正交向量必然共面且垂直而平面直角坐标系的坐标轴恰恰具有这个性质那么由 不妨建在所在的平面建立平面直角坐标系并设任意向量与y轴重合如图 回到施密特正交化的目的其意义就是将一组任意向量通过初等变换化为正交向量而向量的初等变换正是向量在直角坐标系中的坐标变换 即其目的就是二维平面将一对向量使其中一个向量与x或y轴重合另一向量通过变换使其与另一坐标轴重合这样就达到了正交化 明白了其中的原理之后我们再回到式子中来看看如何理解这冗杂的东西
还是在二维平面中有 第一个式子不做过多解释正是前文所提的“设任意向量与y轴重合”的情况
我们来仔细研究第二个式子首先将式子写为 其中 为常数
不难发现式子右侧部分的几何意义如下图 显然 的作用就是找到一个合适的向量 使之与x轴平行
现在我们来研究系数 的意义 由上文中通过两向量推到的公式 结合一些简单的变形不难得到 其中 则为单位化后的 即与 共线的单位向量
则 的表达式为 其实到这里就已经很明显了 的意义就是先将 单位化再将其长度化为与向量 在y轴上的投影等长这样就解释了为什么 可以将 放缩到合适的长度使得 使之与x轴平行。 至此在二维平面上的施密特变换就已经完毕 在三维平面时规律也是如此你可以把它通俗的理解为有一个鸡爪子如果选定了一个脚趾作为“参考”那么正交化鸡爪子的过程就是将另外一个掰到与参考脚趾垂直将最后一个掰到与前面两个垂直 如若上升到n维作者暂时还没想好怎样通俗理解目前就当作二维的推广来记忆即可如果有更好的通俗易懂的方法欢迎评论交流
ps作者数学不是很好可能有些部分不严谨敬请指正
