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积分的数学解法为牛顿莱布尼兹公式#xff0c;数学表示为 ∫ a b f ( x ) d x F ( b ) − F ( a ) \int_{a}^{b} f(x)dxF(b)-F(a) ∫abf(x)dxF(b)−F(a)#xff0c;但应用该方法有如下困难#xff1a; 1#xff0c; f ( x ) f(x) f(x)的原函数有时不能用初等函…研究背景
积分的数学解法为牛顿莱布尼兹公式数学表示为 ∫ a b f ( x ) d x F ( b ) − F ( a ) \int_{a}^{b} f(x)dxF(b)-F(a) ∫abf(x)dxF(b)−F(a)但应用该方法有如下困难 1 f ( x ) f(x) f(x)的原函数有时不能用初等函数表示如 e − x 2 e^{-x^2} e−x2和 s i n x x \frac{sinx}{x} xsinx 2原函数可以用初等函数表示但很复杂如 x 2 1 2 x 2 x^2\sqrt{12x^2} x212x2 3 f ( x ) f(x) f(x)本身无表达式只有在若干点上的值。
针对这些问题本章介绍几种近似求解积分的方法。
数值积分公式
数值积分
由中值定理 ∫ a b f ( x ) d x f ( ξ ) ( b − a ) \int_{a}^{b} f(x)dxf(\xi)(b-a) ∫abf(x)dxf(ξ)(b−a)其中 f ( ξ ) f(\xi) f(ξ)为 f ( x ) f(x) f(x)在[a,b]上的平均高度可以不求原函数计算积分但 ξ \xi ξ未知故基于该方法提出数值积分公式——用a代替 ξ \xi ξ即 ∫ a b f ( x ) d x ≈ f ( a ) ( b − a ) \int_{a}^{b} f(x)dx\approx f(a)(b-a) ∫abf(x)dx≈f(a)(b−a)计算左端点为宽的矩阵公式称为左矩阵公式同理还有右矩阵公式 f ( b ) ( b − a ) f(b)(b-a) f(b)(b−a)和中矩阵公式 f ( a b 2 ) ( b − a ) f(\frac{ab}{2})(b-a) f(2ab)(b−a)。
矩形的误差可能过于大了该方法则再次修正为 f ( a ) f ( b ) 2 ( b − a ) \frac{f(a)f(b)}{2}(b-a) 2f(a)f(b)(b−a)即根据端点函数值计算梯形面积近似积分值。
该方法的再次改进为近似计算函数的平均值 f ( ξ ) ( b − a ) ≈ ∑ k 0 n f ( x k ) n 1 ( b − a ) f(\xi)(b-a)\approx \frac{\sum_{k0}^{n}f(x_{k})}{n1}(b-a) f(ξ)(b−a)≈n1∑k0nf(xk)(b−a)用多个点的平均值代替 f ( ξ ) f(\xi) f(ξ)上式可抽象为 ∑ k 0 n A k f ( x k ) \sum_{k0}^{n}A_{k}f(x_{k}) ∑k0nAkf(xk)其中 A k A_{k} Ak称为权该算法关键在于如何确定 A k A_{k} Ak和 x k x_{k} xk取点越多一定越精确但如何衡量精确程度呢
误差分析 R ( x ) ∫ a b f ( x ) d x − ∑ k 0 n A k f ( x k ) R(x)\int_{a}^{b} f(x)dx-\sum_{k0}^{n}A_{k}f(x_{k}) R(x)∫abf(x)dx−∑k0nAkf(xk)
代数精度
定义若数值积分公式对一切 ≤ m \le m ≤m次的多项式均能精确成立则称次求积公式至少具有m次代数精度若求积公式对一切 ≤ m \le m ≤m次的多项式均能精确成立但对 m 1 m1 m1次多项式不能精确成立则称此公式的代数精度为m次。
求积公式代数精度越高使公式精确成立的多项式次数越高。
定理 求积公式具有m次代数精度的充要条件当 f ( x ) 1 , x , x 2 . . . x m f(x)1,x,x^{2}...x^{m} f(x)1,x,x2...xm时公式均能准确成立但 f ( x ) x m 1 f(x)x^{m1} f(x)xm1时不能准确成立。
例题梯形公式的代数精度为多少 解梯形公式 ∫ a b f ( x ) d x f ( a ) f ( b ) 2 ( b − a ) \int_{a}^{b} f(x)dx\frac{f(a)f(b)}{2}(b-a) ∫abf(x)dx2f(a)f(b)(b−a) 令 f ( x ) 1 f(x)1 f(x)1左边b-a右边 令 f ( x ) x f(x)x f(x)x左 b 2 − a 2 2 \frac{b^{2}-a^{2}}{2} 2b2−a2右 令 f ( x ) x 2 f(x)x^{2} f(x)x2 b 3 − a 3 2 ! ( a 2 b 2 ) 2 ( b − a ) \frac{b^3-a^3}{2}!\frac{(a^2b^2)}{2}(b-a) 2b3−a3!2(a2b2)(b−a)右边 故该公式的代数精度为1。
插值型求积公式及Newton-Cotes公式
插值型求积公式
利用Lagrange插值求n次多项式的 L n ( x ) ∑ k 0 n f ( x k ) l k ( x ) L_{n}(x)\sum_{k0}^{n}f(x_{k})l_{k}(x) Ln(x)∑k0nf(xk)lk(x) 其中 f ( x ) L n ( x ) R n ( x ) , R n x f n 1 ( ξ ) ( n 1 ) ! w n 1 ( x ) f(x)L_{n}(x)R_{n}(x),R_n{x}\frac{f^{n1}(\xi)}{(n1)!}w_{n1}(x) f(x)Ln(x)Rn(x),Rnx(n1)!fn1(ξ)wn1(x) 则 ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b L n ( x ) d x ∫ a b R n ( x ) d x ∫ a b ∑ k 0 n f ( x k ) l k ( x ) d x ∫ a b R n ( x ) d x ∑ k 0 n f ( x k ) ∫ a b l k ( x ) d x ∫ a b R n ( x ) d x A k \int_{a}^{b} f(x)dx\int_{a}^{b} L_{n}(x)dx\int_{a}^{b}R_{n}(x)dx\int_{a}^{b} \sum_{k0}^{n}f(x_{k})l_{k}(x)dx\int_{a}^{b}R_{n}(x)dx\sum_{k0}^{n}f(x_{k})\frac{\int_{a}^{b}l_{k}(x)dx\int_{a}^{b}R_{n}(x)dx}{A_{k}} ∫abf(x)dx∫abLn(x)dx∫abRn(x)dx∫abk0∑nf(xk)lk(x)dx∫abRn(x)dxk0∑nf(xk)Ak∫ablk(x)dx∫abRn(x)dx 即用插值多项式代替被积函数。
若定义求积公式 ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ k 0 n A k f ( x k ) \int_{a}^{b} f(x)dx\approx\sum_{k0}^{n}A_{k}f(x_{k}) ∫abf(x)dx≈∑k0nAkf(xk)中的求积公式用插值公式 A k ∫ a b l k ( x ) d x A_{k}\int_{a}^{b}l_{k}(x)dx Ak∫ablk(x)dx表示则称该数值积分公式为插值型求积公式。
定理插值型数值积分公式的代数精度至少有n阶精度。 注 ∑ k 0 n A k ∑ k 0 n ∫ a b l k ( x ) d x ∫ a b ∑ k 0 n A k d x ∫ a b 1 d x b − a \sum_{k0}^{n}A_{k}\sum_{k0}^{n}\int_{a}^{b}l_{k}(x)dx\int_{a}^{b}\sum_{k0}^{n}A_{k}dx\int_{a}^{b}1dxb-a ∑k0nAk∑k0n∫ablk(x)dx∫ab∑k0nAkdx∫ab1dxb−a
Newton-Cotes公式
该公式主要研究具体节点的取法若取[a,b]上n1个等距节点 x 0 , x 1 . . . x n x_{0},x_{1}...x_{n} x0,x1...xn即第k个节点的值为初始值加上k步步长 x k x 0 k h x_{k}x_{0}kh xkx0kh其中 h b − a h , x 0 a h\frac{b-a}{h},x_{0}a hhb−a,x0a利用这些节点作n次Lagrange插值多项式有如下公式: ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b l k ( x ) f ( x k ) d x \int_{a}^{b}f(x)dx\approx \int_{a}^{b}l_{k}(x)f(x_{k})dx ∫abf(x)dx≈∫ablk(x)f(xk)dx A k ∫ a b ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) . . . ( x − x k − 1 ) ( x − x k 1 ) . . . ( x − x n ) ( x k − x 0 ) ( x k − x 1 ) . . . ( x k − x k k − 1 ) ( x k − x k 1 ) . . . ( x k − x n ) d x A_{k}\int_{a}^{b}\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{k-1})(x-x_{k1})...(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})...(x_{k}-x_{kk-1})(x_{k}-x_{k1})...(x_{k}-x_{n})}dx Ak∫ab(xk−x0)(xk−x1)...(xk−xkk−1)(xk−xk1)...(xk−xn)(x−x0)(x−x1)...(x−xk−1)(x−xk1)...(x−xn)dx
令 x a t h , x k a k h xath,x_{k}akh xath,xkakh原式 ∫ a b ( b − a ) ( − 1 ) n − k n k ! ( n − k ) ! ∫ 0 n t ( t − 1 ) . . . ( t − k 1 ) ( t − k − 1 ) . . . ( t − n ) d t \int_{a}^{b}\frac{(b-a)(-1)^n-k}{nk!(n-k)!}\int_{0}^{n}t(t-1)...(t-k1)(t-k-1)...(t-n)dt ∫abnk!(n−k)!(b−a)(−1)n−k∫0nt(t−1)...(t−k1)(t−k−1)...(t−n)dt
令 C k n ( b − a ) ( − 1 ) n − k n k ! ( n − k ) ! ∫ 0 n t ( t − 1 ) . . . ( t − k 1 ) ( t − k − 1 ) . . . ( t − n ) d t C_{k}^{n}\frac{(b-a)(-1)^n-k}{nk!(n-k)!}\int_{0}^{n}t(t-1)...(t-k1)(t-k-1)...(t-n)dt Cknnk!(n−k)!(b−a)(−1)n−k∫0nt(t−1)...(t−k1)(t−k−1)...(t−n)dt则为Cotes系数 A k ( b − a ) C k n A_{k}(b-a)C_{k}^{n} Ak(b−a)Ckn
最终Newton-Cotes公式为 ∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) ∑ k 0 n C k n f ( x k ) \int_{a}^{b} f(x)dx\approx (b-a)\sum_{k0}^{n}C_{k}^{n}f(x_{k}) ∫abf(x)dx≈(b−a)∑k0nCknf(xk)即节点均匀分割的求和公式。
例如当n1 C o 1 ( − 1 ) 1 1 ! 0 ! 1 ! , ∫ 0 1 ( t − 1 ) d t 1 2 C_{o}^{1}\frac{(-1)^1}{1!0!1!},\int_{0}^{1}(t-1)dt\frac{1}{2} Co11!0!1!(−1)1,∫01(t−1)dt21 C 1 1 ( − 1 ) 1 1 ! 1 ! 0 ! , ∫ 0 1 t d t − 1 2 C_{1}^{1}\frac{(-1)^1}{1!1!0!},\int_{0}^{1}tdt-\frac{1}{2} C111!1!0!(−1)1,∫01tdt−21 则 ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 2 [ f ( a ) f ( b ) ] \int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}[f(a)f(b)] ∫abf(x)dx≈2b−a[f(a)f(b)] 即在[a,b]区间整体运算此时计算方法为梯形公式代数精度为1.
当n2时 分别计算 C 0 2 , C 1 2 , C 2 2 C_{0}^{2},C_{1}^{2},C_{2}^{2} C02,C12,C22 ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 6 [ f ( a ) 4 f ( a b 2 ) f ( b ) ] \int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}[f(a)4f(\frac{ab}{2})f(b)] ∫abf(x)dx≈6b−a[f(a)4f(2ab)f(b)] 该公式为Sinpson公式至少精度为2
n4时为Cotes公式具有至少5次代数精度。
定理n为偶数时其代数精度至少为n1次n表示区间个数而非节点个数如5个节点将区间分为四个区间精度为5。
例题 f ( x ) x 2 时用梯形公式和 S i m p s o n 计算 ∫ 0 2 x 2 d x f(x)x^2时用梯形公式和Simpson计算\int_{0}^{2}x^2dx f(x)x2时用梯形公式和Simpson计算∫02x2dx。 解 梯形公式 ∫ 0 2 x 2 d x ≈ 2 − 0 2 ( 0 4 ) 4 \int_{0}^{2}x^2dx\approx \frac{2-0}{2}(04)4 ∫02x2dx≈22−0(04)4 Simpson ∫ 0 2 x 2 d x ≈ 2 − 0 6 ( 0 4 4 ) 8 3 \int_{0}^{2}x^2dx\approx \frac{2-0}{6}(044)\frac{8}{3} ∫02x2dx≈62−0(044)38 可以看到梯形公式的误差还是比较大的而Simpson甚至得到了精确答案。
性质 1对称性。 C k n C n − k n C_{k}^{n}C_{n-k}^n CknCn−kn 2 ∑ k 0 n C k n 1 \sum_{k0}^{n}C_{k}^{n}1 ∑k0nCkn1
Newton-Cotes余项 梯形公式下 R ( f ) ∫ a b f ′ ′ ( ξ ) 2 ( x − a ) ( x − b ) d x R(f)\int_{a}^{b}\frac{f(\xi)}{2}(x-a)(x-b)dx R(f)∫ab2f′′(ξ)(x−a)(x−b)dx存在 η ∈ [ 0 , 1 ] 使 R ( f ) 1 2 f ′ ′ ( η ) ∫ a b ( x − a ) ( x − b ) d x − f ′ ′ ( η ) 12 ( b − a ) 3 \eta \in [0,1]使R(f)\frac{1}{2}f(\eta)\int_{a}^{b}(x-a)(x-b)dx-\frac{f(\eta)}{12}(b-a)^3 η∈[0,1]使R(f)21f′′(η)∫ab(x−a)(x−b)dx−12f′′(η)(b−a)3
同理: Simpson余项 R ( f ) − 1 90 ( b − a 2 ) 5 f 4 ( η ) R(f)-\frac{1}{90}(\frac{b-a}{2})^5f^4(\eta) R(f)−901(2b−a)5f4(η) Cotes余项 R ( f ) 2 ( b − a ) 945 ( b − a 4 ) 6 f 6 ( η ) R(f)\frac{2(b-a)}{945}(\frac{b-a}{4})^6f^6(\eta) R(f)9452(b−a)(4b−a)6f6(η)
复化求积公式
为了克服容格现象用分段函数代替原函数用于求积分时同样应用分治思想划分区间应用梯形或Simpson公式使用分段线性插值代替原函数数学公式表示为 ∫ a b f ( x ) d x ∑ k 0 n − 1 ∫ x k x k 1 f ( x ) d x ≈ ∑ k 0 n − 1 I k \int_{a}^{b}f(x)dx \sum_{k0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k1}}f(x)dx\approx \sum_{k0}^{n-1}I_k ∫abf(x)dx∑k0n−1∫xkxk1f(x)dx≈∑k0n−1Ik其中 I k ∫ x k x k 1 f ( x ) d x ≈ h 2 [ f ( x k ) f ( x k 1 ) ] I_k\int_{x_k}^{x_{k1}}f(x)dx\approx \frac{h}{2}[f(x_k)f(x_{k1})] Ik∫xkxk1f(x)dx≈2h[f(xk)f(xk1)] 或用Simpson
复化的梯形公式
分割区间使用 I ∫ x k x k 1 f ( x ) d x ≈ h 2 [ f ( x k ) f ( x k 1 ) ] I_\int_{x_k}^{x_{k1}}f(x)dx\approx \frac{h}{2}[f(x_k)f(x_{k1})] I∫xkxk1f(x)dx≈2h[f(xk)f(xk1)] I k ∑ k 0 n − 1 ∫ x k x k 1 f ( x ) d x ≈ 2 h 2 [ f ( a ) f ( b ) ] 2 ∑ k 1 n − 1 f ( x k ) I_k \sum_{k0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k1}}f(x)dx \approx 2\frac{h}{2}[f(a)f(b)]2\sum_{k1}^{n-1}f(x_k) Ik∑k0n−1∫xkxk1f(x)dx≈22h[f(a)f(b)]2∑k1n−1f(xk) 多个区间分别计算梯形公式后求和
Romberg公式
复化梯形公式方程 T n h 2 [ f ( a ) f ( h ) 2 ∑ k 0 n − 1 f ( x k 1 2 ) ] T_n\frac{h}{2}[f(a)f(h)2\sum_{k0}^{n-1}f(x_{k\frac{1}{2}})] Tn2h[f(a)f(h)2∑k0n−1f(xk21)]将 T n T 1 ( h ) T_nT_1(h) TnT1(h)由E-M欧拉麦克劳林公式 T 1 ( h ) − I α 1 h 2 α 2 h 4 . . . α k h 2 k . . . T_1(h)-I\alpha_1h^2\alpha_2h^4...\alpha_kh^2k... T1(h)−Iα1h2α2h4...αkh2k...
后面不写了反正使用外推法构造出高精度积分公式 T m 1 ( h ) 4 m 4 m − 1 T m ( h 2 ) − 1 4 m − 1 T_{m1}(h)\frac{4^m}{4^{m}-1}T_m(\frac{h}{2})-\frac{1}{4^{m}-1} Tm1(h)4m−14mTm(2h)−4m−11
计算过程如下图 例题利用复化求积公式将[0,1]8等分计算 I ∫ 0 1 4 x 1 x 2 I\int_{0}^{1}\frac{4x}{1x^2} I∫011x24x。 解 复化梯形公式 I ≈ 1 2 × 8 [ f ( 0 ) f ( 1 ) 2 ∑ 1 7 f ( x k ) ] ≈ 3 , 138988 I\approx\frac{1}{2×8}[f(0)f(1)2\sum_{1}^7f(x_k)]\approx 3,138988 I≈2×81[f(0)f(1)2∑17f(xk)]≈3,138988 复化Simpson I ≈ 1 6 × 4 [ ] f ( 0 ) f ( 1 ) 4 ∑ 0 3 f ( x k 1 2 ) 2 ∑ 1 3 f ( x k ) ] ≈ 3.141593 I\approx\frac{1}{6×4}[]f(0)f(1)4\sum_{0}^3f(x_{k\frac{1}{2}})2\sum_{1}^3f(x_k)]\approx3.141593 I≈6×41[]f(0)f(1)4∑03f(xk21)2∑13f(xk)]≈3.141593
步长越多结果越精确但应用中具体步长我们难以直接确定下面将介绍一种能够使步长动态迭代的方法。
变步长的梯形公式
基本思想为原步长h折半再利用复化求积公式不断折半用前后两次结果做差如果精度满足要求则停止折半故该方法又称折半求积公式。
例如 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx将[a,b]等分 h b − a n , x k a k h h\frac{b-a}{n},x_kakh hnb−a,xkakh 复化梯形公式 T 2 n h 4 ∑ k 0 n − 1 [ f ( x k ) 2 f ( x k 1 2 ) f ( x k 1 ) ] T n 2 h 2 ∑ k 0 n − 1 f ( x k 1 2 ) T_{2n}\frac{h}{4}\sum_{k0}^{n-1}[f(x_k)2f(x_{k\frac{1}{2}})f(x_{k1})]\frac{T_n}{2}\frac{h}{2}\sum_{k0}^{n-1}f(x_{k\frac{1}{2}}) T2n4h∑k0n−1[f(xk)2f(xk21)f(xk1)]2Tn2h∑k0n−1f(xk21)。 将已复化的梯形公式再折半步长应用复化公式该公式实际上只需计算 x k 1 2 x_{k\frac{1}{2}} xk21即新分节点的函数值。
应用中往往使用 ∣ t 2 k − T 2 k − 1 ∣ ε |t_{2k}-T_{2k-1}|\varepsilon ∣t2k−T2k−1∣ε前后两次变化之差来控制步长。
例题用变步长的梯形公式计算 I ∫ 0 1 s i n x x d x I\int^1_0\frac{sinx}{x}dx I∫01xsinxdx 解令 f ( x ) s i n x x f(x)\frac{sinx}{x} f(x)xsinx并补充定义 f ( 0 ) 1 f(0)1 f(0)1使之连续 T 1 1 2 [ f ( 0 ) f ( 1 ) ] ≈ 0.9207355 T_1\frac{1}{2}[f(0)f(1)]\approx0.9207355 T121[f(0)f(1)]≈0.9207355 T 2 1 2 T 1 1 2 f ( 1 2 ) ≈ 0.9397933 T_2\frac{1}{2}T_1\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})\approx0.9397933 T221T121f(21)≈0.9397933
使用该方法的计算量大收敛慢为了改进该问题引入变步长的Romberg公式。
变步长的Romberg公式
其实就是Romberg的折半法可视化展示如下 公式计算方式如下 T 1 b − a 2 [ f ( a ) f ( b ) ] T_1\frac{b-a}{2}[f(a)f(b)] T12b−a[f(a)f(b)] T 2 T 1 2 b − a 2 f ( a b 2 ) T_2\frac{T_1}{2}\frac{b-a}{2}f(\frac{ab}{2}) T22T12b−af(2ab) S 1 4 3 T 2 − 1 3 T 1 S_1\frac{4}{3}T_2-\frac{1}{3}T_1 S134T2−31T1 T 4 T 2 2 b − a 4 [ f ( 3 a b 4 ) f ( 3 b a 4 ) ] T_4\frac{T_2}{2}\frac{b-a}{4}[f(\frac{3ab}{4})f(\frac{3ba}{4})] T42T24b−a[f(43ab)f(43ba)] S 2 4 3 T 4 − 1 3 T 2 S_2\frac{4}{3}T_4-\frac{1}{3}T_2 S234T4−31T2 C 1 16 15 S 2 − 1 15 S 1 C_1\frac{16}{15}S_2-\frac{1}{15}S_1 C11516S2−151S1 T 8 1 2 T 4 b − a 8 [ f ( 7 a b 8 ) f ( 5 a 3 b 8 ) f ( 5 b 3 a 8 ) f ( 3 b a 2 ) ] T_8\frac{1}{2}T_4\frac{b-a}{8}[f(\frac{7ab}{8})f(\frac{5a3b}{8})f(\frac{5b3a}{8})f(\frac{3ba}{2})] T821T48b−a[f(87ab)f(85a3b)f(85b3a)f(23ba)] S 4 4 3 T 8 − 1 3 T 4 S_4\frac{4}{3}T_8-\frac{1}{3}T4 S434T8−31T4 C 2 16 15 S 4 − 1 15 S 2 C_2\frac{16}{15}S_4-\frac{1}{15}S_2 C21516S4−151S2 R 1 64 63 C 2 − 1 63 C 1 R_1\frac{64}{63}C_2-\frac{1}{63}C_1 R16364C2−631C1
使用折半外推法计算RombergT使用折半法迭代 S 4 3 T k 1 − 1 3 T k S\frac{4}{3}T_{k1}-\frac{1}{3}T_k S34Tk1−31Tk C 16 15 S k 1 − 1 15 S k C\frac{16}{15}S_{k1}-\frac{1}{15}S_k C1516Sk1−151Sk R 64 63 C k 1 − 1 63 C k R\frac{64}{63}C_{k1}-\frac{1}{63}C_{k} R6364Ck1−631Ck。
例题使用Romberg公式计算 ∫ 2 8 1 2 x d x \int_2^8\frac{1}{2x}dx ∫282x1dx每步计算保留4位小数。 解 T 1 8 − 2 2 [ f ( 8 ) f ( 2 ) ] ≈ 0.9375 T_1\frac{8-2}{2}[f(8)f(2)]\approx0.9375 T128−2[f(8)f(2)]≈0.9375 T 2 T 1 2 8 − 2 2 f ( 5 ) ≈ 0.76875 T_2\frac{T_1}{2}\frac{8-2}{2}f(5)\approx0.76875 T22T128−2f(5)≈0.76875 S 1 4 3 T 2 − 1 3 T 1 0.7125 S_1\frac{4}{3}T_2-\frac{1}{3}T_10.7125 S134T2−31T10.7125 T 4 1 2 T 2 8 − 2 4 [ f ( 3.5 ) f ( 6.5 ) ] 0.7140 T_4\frac{1}{2}T_2\frac{8-2}{4}[f(3.5)f(6.5)]0.7140 T421T248−2[f(3.5)f(6.5)]0.7140 S 2 4 3 T 4 1 3 T 2 0.6958 S_2\frac{4}{3}T_4\frac{1}{3}T_20.6958 S234T431T20.6958 C 1 16 15 S 2 − 1 15 S 1 0.6947 C_1\frac{16}{15}S_2-\frac{1}{15}S_10.6947 C11516S2−151S10.6947 T 8 1 2 T 4 8 − 2 8 [ f ( 2.75 ) f ( 4.25 ) f ( 5.75 ) f ( 7.25 ) ] 0.6986 T_8\frac{1}{2}T_4\frac{8-2}{8}[f(2.75)f(4.25)f(5.75)f(7.25)]0.6986 T821T488−2[f(2.75)f(4.25)f(5.75)f(7.25)]0.6986 S 4 4 3 T 8 − 1 3 T 4 0.6934 S_4\frac{4}{3}T_8-\frac{1}{3}T_40.6934 S434T8−31T40.6934 C 2 16 15 S 4 − 1 15 S 2 0.6932 C_2\frac{16}{15}S_4-\frac{1}{15}S_20.6932 C21516S4−151S20.6932 R 1 64 63 C 2 − 1 63 C 1 0.6932 R_1\frac{64}{63}C_2-\frac{1}{63}C_10.6932 R16364C2−631C10.6932
其他参考资料在此
总结
本章学习了如何利用迭代公式计算积分的近似值
首先是使用数值积分矩形或梯形来代替原有积分曲线的方法并用自变量 x x x的次数作为代数精度衡量近似的程度。
然后是利用插值多项式求和代替原积分曲线积分其中点的取法用Newton-Cotes均匀选取。
最后为了计算迭代终点采用变步长求积动态折半计算不断逼近真实值有基本的复化梯形公式和加快迭代收敛速度的Romberg公式Romberg计算方法最复杂需要迭代四次计算但收敛速度快计算量也没那么大可以说是计算数值积分最先进的方法。
