关于做好全国网站建设,网页设计板式重构,建网站找哪家公司,网站设计公司 广州文章目录 Ch6. 数理统计(一) 总体与样本(二) 统计量 (5个)2.5个常用统计量3.矩的概念 (三) 抽样分布 (3个)0.上α分位点1.χ分布2.t分布3.F分布 (四) 抽样分布定理1.单个正态总体2.两个正态总体 Ch6. 数理统计
(一) 总体与样本
1.概念#xff1a; (1)总体
(2)样本 简单随机… 文章目录 Ch6. 数理统计(一) 总体与样本(二) 统计量 (5个)2.5个常用统计量3.矩的概念 (三) 抽样分布 (3个)0.上α分位点1.χ²分布2.t分布3.F分布 (四) 抽样分布定理1.单个正态总体2.两个正态总体 Ch6. 数理统计
(一) 总体与样本
1.概念 (1)总体
(2)样本 简单随机样本简称样本。样本与总体 独立同分布。(取自总体的样本相互之间都独立且与总体分布相同)
(3)样本的分布 2.性质 设 X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n n 1 X_1,X_2,X_3,...,X_nn1 X1,X2,X3,...,Xnn1为来自总体 N(μ,σ²) σ0的简单随机样本独立同分布 X ‾ 1 n ∑ i 1 n X i \overline{X}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^nX_i Xn1i1∑nXi则有 ① X i ∼ N ( μ , σ 2 ) X_i\sim N(μ,σ²) Xi∼N(μ,σ2) ② X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \overline{X} \sim N(μ,\dfrac{σ²}{n}) X∼N(μ,nσ2) ③ C o v ( X i , X ‾ ) σ 2 n {\rm Cov}(X_i,\overline{X})\dfrac{σ²}{n} Cov(Xi,X)nσ2 证明 3.样本与总体 独立同分布期望相同方差也相同 ①样本的期望与总体的期望相同 E ( X i ) E ( X ) E(X_i) E(X) E(Xi)E(X) ∑ i 1 n E ( X i ) n E ( X ) \sum\limits_{i1}^nE(X_i) nE(X) i1∑nE(Xi)nE(X) ②样本的方差与总体的方差相同 D ( X i ) D ( X ) D(X_i) D(X) D(Xi)D(X) ∑ i 1 n D ( X i ) n D ( X ) \sum\limits_{i1}^nD(X_i) nD(X) i1∑nD(Xi)nD(X) 例题118年23(2) 例题216年23(1) (二) 统计量 (5个)
1.概念 (1)统计量的定义
(2)顺序统计量
顺序统计量定义分布函数概率密度①第n顺序统计量 X ( n ) X_{(n)} X(n) m a x { X 1 , X 2 , . . . , X n } max\{X_1,X_2,...,X_n\} max{X1,X2,...,Xn} [ F ( x ) ] n [F(x)]^n [F(x)]n n [ F ( x ) ] n − 1 f ( x ) n[F(x)]^{n-1}f(x) n[F(x)]n−1f(x)②第1顺序统计量 X ( 1 ) X_{(1)} X(1) m i n { X 1 , X 2 , . . . , X n } min\{X_1,X_2,...,X_n\} min{X1,X2,...,Xn} 1 − [ 1 − F ( x ) ] n 1-[1-F(x)]^n 1−[1−F(x)]n n [ 1 − F ( x ) ] n − 1 f ( x ) n[1-F(x)]^{n-1}f(x) n[1−F(x)]n−1f(x) 2.5个常用统计量
①样本均值 X ˉ 1 n ∑ i 1 n X i \bar{X}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^nX_i Xˉn1i1∑nXi ∴ ∑ i 1 n X i n X ˉ \sum\limits_{i1}^nX_in\bar{X} i1∑nXinXˉ
②样本方差 S 2 1 n − 1 ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S²\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i1}^n(X_i-\bar{X})² S2n−11i1∑n(Xi−Xˉ)2 1 n − 1 ( ∑ i 1 n X i 2 − n X ˉ 2 ) \dfrac{1}{n-1}(\sum\limits_{i1}^nX_i^2-n\bar{X}^2) n−11(i1∑nXi2−nXˉ2) E ( S 2 ) σ 2 E(S^2)σ² E(S2)σ2
样本标准差 S 1 n − 1 ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i1}^n(X_i-\bar{X})²} Sn−11i1∑n(Xi−Xˉ)2
③样本k阶(原点)矩 A k 1 n ∑ i 1 n X i k ( k 1 , 2 , . . . ) A_k\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^nX_i^k (k1,2,...) Akn1i1∑nXik(k1,2,...)
④样本k阶中心矩 B k 1 n ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) k ( k 2 , 3 , . . . ) B_k\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^n(X_i-\bar{X})^k(k2,3,...) Bkn1i1∑n(Xi−Xˉ)k(k2,3,...) ①k阶原点矩是 ( X i − 0 ) k (X_i-0)^k (Xi−0)kk阶中心矩是 ( X i − X ˉ ) k (X_i-\bar{X})^k (Xi−Xˉ)k ②样本均值是一阶原点矩二阶中心矩 B 2 1 n ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) 2 n − 1 n S 2 B_2\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^n(X_i-\bar{X})²\dfrac{n-1}{n}S^2 B2n1i1∑n(Xi−Xˉ)2nn−1S2 3.矩的概念
①原点矩 A
样本k阶原点矩 A k A_k Ak总体k阶原点矩 A 1 1 n ∑ i 1 n X i X ˉ A_1\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^nX_i\bar{X} A1n1i1∑nXiXˉ (样本一阶原点矩即为均值)E(X) A 2 1 n ∑ i 1 n X i 2 A_2\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^nX_i^2 A2n1i1∑nXi2E(X²)…… A k 1 n ∑ i 1 n X i k , k 1 , 2 , . . . A_k\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^nX_i^k,k1,2,... Akn1i1∑nXik,k1,2,...E(Xk)
②中心距 B
样本k阶中心矩 B k B_k Bk总体k阶中心矩 B 1 1 n ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) B_1\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^n(X_i-\bar{X}) B1n1i1∑n(Xi−Xˉ) E ( X − E X ) E(X-EX) E(X−EX) B 2 1 n ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) 2 n − 1 n S 2 B_2\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^n(X_i-\bar{X})²\dfrac{n-1}{n}S^2 B2n1i1∑n(Xi−Xˉ)2nn−1S2 E [ ( X − E X ) 2 ] D X E[(X-EX)²]DX E[(X−EX)2]DX…… B k 1 n ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) k B_k\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^n(X_i-\bar{X})^k Bkn1i1∑n(Xi−Xˉ)k E [ ( X − E X ) k ] E[(X-EX)^k] E[(X−EX)k]
总体矩的矩估计量为样本矩 ①EX的矩估计量为 A 1 1 n ∑ i 1 n X i X ˉ A_1\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^nX_i\bar{X} A1n1i1∑nXiXˉ ②DX的矩估计量为 B 2 1 n ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) 2 n − 1 n S 2 B_2\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^n(X_i-\bar{X})²\dfrac{n-1}{n}S^2 B2n1i1∑n(Xi−Xˉ)2nn−1S2 (三) 抽样分布 (3个)
三大抽样分布均与正态总体有关。总体与样本服从标准正态分布N(0,1)。 0.上α分位点
正态分布的上α分位点 Φ ( Z α 2 ) 1 − α 2 Φ(Z_{\frac{α}{2}})1-\dfrac{α}{2} Φ(Z2α)1−2α 1.χ²分布
1.χ²分布的定义 若 X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) X_1\sim N(0,1) X1∼N(0,1)则 X 1 2 ∼ χ 2 ( 1 ) X_1^2\sim χ^2(1) X12∼χ2(1)
设X1,X2,…,Xn为正态总体N(0,1)的样本 ( X i X_i Xi相互独立且同分布)则把统计量 χ 2 X 1 2 X 2 2 . . . X n 2 χ^2X_1^2X_2^2...X_n^2 χ2X12X22...Xn2 服从的分布称为 自由度为n的χ²分布记作 χ²~χ²(n) 2.χ²分布的上α分位点 3.χ²分布的性质
χ²分布的数字特征 E(χ²)nD(χ²)2nχ²分布的独立可加性设 χ 1 2 ∼ χ 2 ( n 1 ) , χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 2 ) χ²_1\sim χ²(n_1),χ²_2\sim χ²(n_2) χ12∼χ2(n1),χ22∼χ2(n2)且 χ 1 2 χ²_1 χ12与 χ 2 2 χ²_2 χ22相互独立则 χ 1 2 χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 1 n 2 ) χ²_1χ²_2\simχ²(n_1n_2) χ12χ22∼χ2(n1n2) 例题1
分析
答案 1 20 \dfrac{1}{20} 201、 1 100 \dfrac{1}{100} 1001、2 例题211年23.(2) 2.t分布
1.t分布定义 设 X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) X\sim N(0,1), Y\sim χ^2(n) X∼N(0,1),Y∼χ2(n)且X,Y相互独立则把统计量 t X Y n t\dfrac{X}{\sqrt{\dfrac{Y}{n}}} tnY X 服从的分布称为自由度为n的t分布记作 t ∼ t ( n ) t\sim t(n) t∼t(n)
t(n)的概率密度h(t)关于t0对称。当自由度n→∞时t分布的极限就是标准正态分布n≥30即可 2.t分布的上α分位点 x t α ( n ) xt_α(n) xtα(n)右侧的面积(概率)为α则称 t α ( n ) t_α(n) tα(n)为上α分位点 x t 1 − α ( n ) xt_{1-α}(n) xt1−α(n)右侧的面积(概率)为1-α则称 t 1 − α ( n ) t_{1-α}(n) t1−α(n)为上1-α分位点 t分布的概率密度是偶函数 3.t分布性质 1. E ( t ) 0 E(t)0 E(t)0 2.上α分位点 t 1 − α ( n ) − t α ( n ) t_{1-α}(n)-t_α(n) t1−α(n)−tα(n) 3.F分布
1.F分布定义 设 X ∼ χ 2 ( n 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n 2 ) X\sim χ^2(n_1),Y\sim χ^2(n_2) X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2)且X,Y相互独立则把随机变量 F X n 1 Y n 2 F\dfrac{\dfrac{X}{n_1}}{\dfrac{Y}{n_2}} Fn2Yn1X
服从的分布称为自由度为(n1,n2)的F分布其中n1称为第一自由度n2称为第二自由度记作 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F\sim F(n_1,n_2) F∼F(n1,n2) 2.F分布性质 1.若 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F\sim F(n_1,n_2) F∼F(n1,n2)则 1 F ∼ F ( n 2 , n 1 ) \dfrac{1}{F}\sim F(n_2,n_1) F1∼F(n2,n1)
2.上α分位点 1 F α ( n 1 , n 2 ) F 1 − α ( n 2 , n 1 ) \dfrac{1}{F_α(n_1,n_2)}F_{1-α}(n_2,n_1) Fα(n1,n2)1F1−α(n2,n1) 3.t分布与F分布的关系 若 t ∼ t ( n ) 则 t 2 ∼ F ( 1 , n ) 1 t 2 ∼ F ( n , 1 ) 若t\sim t(n)则t^2\sim F(1,n)\dfrac{1}{t^2}\sim F(n,1) 若t∼t(n)则t2∼F(1,n)t21∼F(n,1) 例题103年12. t分布与F分布的关系
分析 X ∼ t ( n ) X 2 ∼ F ( 1 , n ) 1 X 2 ∼ F ( n , 1 ) X\sim t(n)X²\sim F(1,n)\dfrac{1}{X²}\sim F(n,1) X∼t(n)X2∼F(1,n)X21∼F(n,1)
答案C 例题213年8.
分析X~t(n), 则 X²Y~F(1n) ∴P{Yc²}P{X²c²}P{Xc}P{X-c}αα2α
答案C (四) 抽样分布定理
设总体 X ∼ N ( μ σ 2 ) X\sim N(μσ²) X∼N(μσ2)样本为 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn独立同分布于总体
1.单个正态总体
1.样本均值 X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \bar{X}\sim N(μ,\dfrac{σ²}{n}) Xˉ∼N(μ,nσ2) X ˉ − μ σ n ( X ˉ − μ ) n σ ∼ N ( 0 , 1 ) \dfrac{\bar{X}-μ}{\dfrac{σ}{\sqrt{n}}}\dfrac{(\bar{X}-μ)\sqrt{n}}{σ}\sim N(0,1) n σXˉ−μσ(Xˉ−μ)n ∼N(0,1) 2. ∑ i 1 n ( X i − μ σ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \sum\limits_{i1}^n(\dfrac{X_i-μ}{σ})^2\sim \chi^2(n) i1∑n(σXi−μ)2∼χ2(n) 3. ∑ i 1 n ( X i − X ‾ σ ) 2 \sum\limits_{i1}^n(\dfrac{X_i-\overline{X}}{σ})^2 i1∑n(σXi−X)2 ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \dfrac{(n-1)S^2}{σ^2}\sim \chi^2(n-1) σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)
∴ E ( S 2 ) σ 2 D ( S 2 ) 2 σ 4 n − 1 E(S²)σ²D(S²)\dfrac{2σ^4}{n-1} E(S2)σ2D(S2)n−12σ4 4. ( X ˉ − μ ) S n n ( X ˉ − μ ) S ∼ t ( n − 1 ) \dfrac{(\bar{X}-μ)}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}\dfrac{\sqrt{n}(\bar{X}-μ)}{S}\sim t(n-1) n S(Xˉ−μ)Sn (Xˉ−μ)∼t(n−1)
∴ n ( X ˉ − μ ) 2 S 2 ∼ F ( 1 , n − 1 ) \dfrac{n(\bar{X}-μ)^2}{S^2}\sim F(1,n-1) S2n(Xˉ−μ)2∼F(1,n−1) 5.样本均值 X ˉ \bar{X} Xˉ与样本方差 S 2 S^2 S2相互独立即 E ( X ˉ S ) E ( X ˉ ) E ( S ) E(\bar{X}S)E(\bar{X})E(S) E(XˉS)E(Xˉ)E(S) 例题123李林四(四)16.
分析样本均值 X ˉ \bar{X} Xˉ与样本方差 S 2 S^2 S2相互独立即 E ( X ˉ S ) E ( X ˉ ) E ( S ) E(\bar{X}S)E(\bar{X})E(S) E(XˉS)E(Xˉ)E(S) 答案 1 n 3 1 n 2 \dfrac{1}{n^3}\dfrac{1}{n^2} n31n21 例题205年14. 抽样分布定理、F分布
分析由抽样分布定理得ABC均错的很离谱。 D X i ∼ N ( 0 , 1 ) X_i\sim N(0,1) Xi∼N(0,1)即 X i X_i Xi服从标准正态分布 X 1 2 1 ∑ i 2 n X i 2 n − 1 ∼ F ( 1 , n − 1 ) \dfrac{\frac{X_1^2}{1}}{\frac{\sum\limits_{i2}^nX_i^2}{n-1}}\sim F(1,n-1) n−1i2∑nXi21X12∼F(1,n−1)D正确
答案D 例题317年8. 抽样分布定理
分析
答案B 例题423李林六套卷(六)10.
分析AB明显正确 C. ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∑ i 1 n ( X i − X ˉ σ ) 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \dfrac{(n-1)S^2}{σ^2}\sum\limits_{i1}^n(\dfrac{X_i-\bar{X}}{σ})^2\simχ^2(n-1) σ2(n−1)S2i1∑n(σXi−Xˉ)2∼χ2(n−1)且卡方分布具有独立可加性∴C正确 D.应该改为2n-2
答案D 2.两个正态总体
