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一、搜索二叉树
1.1 搜索二叉树概念
二、模拟实现二叉搜索树
2.1 框架
2.2 构造函数
2.2.1 构造函数
2.2.2 拷贝构造
2.2.3 赋值拷贝
2.3 插入函数
2.3.1 insert()
2.3.2 RcInsert() 递归实现
2.4 删除结点函数 2.4.1 Erase()
2.4.2 RcErase()
2.5 中序遍历…目录
一、搜索二叉树
1.1 搜索二叉树概念
二、模拟实现二叉搜索树
2.1 框架
2.2 构造函数
2.2.1 构造函数
2.2.2 拷贝构造
2.2.3 赋值拷贝
2.3 插入函数
2.3.1 insert()
2.3.2 RcInsert() 递归实现
2.4 删除结点函数 2.4.1 Erase()
2.4.2 RcErase()
2.5 中序遍历
2.6 查找函数find()
2.7 析构函数
2.8 测试函数
三、AVL算法实现平衡二叉搜索树
3.1 普通搜索二叉树的性能分析
3.2 AVL树概念与性质
3.3 AVL树结点的定义
3.4 AVL树结点插入
3.5 AVL树旋转算法保持树平衡
3.5.1 新节点插入较高左子树的左侧---左左右单旋
3.5.2 新节点插入较高右子树的右侧---右右左单旋
3.5.3 新节点插入较高左子树的右侧---左右先左单旋再右单旋
3.5.4 新节点插入较高右子树的左侧---右左先右单旋再左单旋
3.6 判断一个搜索二叉树是否为平衡
3.7 测试AVL树 一、搜索二叉树
1.1 搜索二叉树概念 百度 搜索二叉树或者是一棵空树或者是具有下列性质的二叉树 若它的左子树不空则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值 若它的右子树不空则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值 。 二、模拟实现二叉搜索树
2.1 框架
namespace K
{//结点类template class Tclass BSNode{public:BSNode(const T data T()):_data(data),_left(nullptr),_right(nullptr){}public:T _data;BSNodeT* _left;BSNodeT* _right;};//搜索二叉树templateclass Tclass BSTree{public:typedef BSNodeT Node;BSTree();BSTree(const BSTreeT t);BSTreeT operator(BSTreeT tmp);~BSTree();bool insert(const T x T());//中序遍历(从小到大)void InOrder()bool find(const T x)bool Erase(const T x);//recursive 递归实现bool RcFind(const T x);bool RcInsert(const T x);bool RcErase(const T x);private:Node* root;};
}
2.2 构造函数
2.2.1 构造函数
BSTree():root(nullptr)
{} 2.2.2 拷贝构造
void copyTree(const Node* r)
{if (r nullptr)return;insert(r-_data);copyTree(r-_left);copyTree(r-_right);
}BSTree(const BSTreeT t):root(nullptr)
{copyTree(t.root);
} 2.2.3 赋值拷贝
BSTreeT operator(BSTreeT tmp)
{swap(root, tmp.root);return *this;
} 2.3 插入函数
2.3.1 insert()
bool insert(const T x T())
{if (root nullptr){root new Node(x);return true;}//root!nullprtNode* cur root;Node* prev nullptr;while (cur){prev cur;//比根大往右子树走if (x cur-_data){cur cur-_right;}//比根小往左子树走else if (x cur-_data){cur cur-_left;}//相等不符合规则返回falseelsereturn false;}//链接比根小链左边比根大链右边cur new Node(x);if (x prev-_data) prev-_right cur;else prev-_left cur;return true;
} 2.3.2 RcInsert() 递归实现 public:
bool RcInsert(const T x)
{return _RcInsert(root, x);//因为根的私有性我们用间接调用的方式实现函数功能
}private:
bool _RcInsert(Node* root, const T x)
{if (root nullptr){root new Node(x);return true;}if (x root-_data) _RcInsert(root-_right, x);else if (x root-_data) _RcInsert(root-_left, x);else return false;
} 2.4 删除结点函数 2.4.1 Erase()
bool Erase(const T x)
{if (root nullptr)return false;Node* cur root;Node* prev nullptr;// 找到要删除的结点while (cur){if (x cur-_data){prev cur;cur cur-_right;}else if (x cur-_data){prev cur;cur cur-_left;}else break;}//情况cif (cur-_left nullptr){if (prev nullptr){root cur-_right;}else{if (cur-_data prev-_data)prev-_right cur-_right;else prev-_left cur-_right;}delete cur;}//情况belse if (cur-_right nullptr){if (prev nullptr){root cur-_left;}else{if (cur-_data prev-_data)prev-_right cur-_left;else prev-_left cur-_left;}delete cur;}//情况delse{Node* minRight cur-_right;prev cur;while (minRight-_left){prev minRight;minRight minRight-_left;}cur-_data minRight-_data;//千万要记得先将minRight的右结点和其父节点链接在一起if (minRight prev-_left)prev-_left minRight-_right;else prev-_right minRight-_right;delete minRight;}return true;
} 2.4.2 RcErase()
public:
bool RcErase(const T x)
{return _RcErase(root, x);
}
private:
bool _RcErase(Node* root, const T x)
{if (root nullptr)return false;if (x root-_data) _RcErase(root-_right, x);else if (x root-_data) _RcErase(root-_left, x);else{Node* tmp root;if (root-_left nullptr){root root-_right;delete tmp;}else if (root-_right nullptr){Node* tmp root;root root-_left;delete tmp;}else{Node* minRight root-_right;while (minRight-_left){minRight minRight-_left;}root-_data minRight-_data;//递归删除minright_RcErase(root-_right, root-_data);}}return true;
} 2.5 中序遍历
public:
void InOrder()
{_InOrder(root);cout endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{if (root nullptr)return;_InOrder(root-_left);cout root-_data ;_InOrder(root-_right);
} 2.6 查找函数find()
bool find(const T x)
{if (root nullptr)return false;Node* cur root;while (cur){if (x cur-_data)cur cur-_right;else if (x cur-_data)cur cur-_left;else return true;}return false;
} 2.7 析构函数
public:
~BSTree()
{Destroy(root);
}
private:
void Destroy(Node* root)
{if (root nullptr)return;Destroy(root-_left);Destroy(root-_right);delete root;
} 2.8 测试函数
void TestBSTree1()
{int arr[] { 7,3,5,2,1,9,4,8,6 };K::BSTreeint tree;for (auto e : arr){tree.insert(e);}tree.InOrder();for (int i 1;i 9;i){tree.Erase(i);tree.InOrder();}
}void TestBSTree2()
{int arr[] { 7,3,5,2,1,9,4,8,6 };K::BSTreeint tree1;for (auto e : arr){tree1.RcInsert(e);}tree1.InOrder();K::BSTreeint tree2;tree2 tree1;tree2.InOrder();
} 三、AVL算法实现平衡二叉搜索树
3.1 普通搜索二叉树的性能分析 最优情况下二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)其平均比较次数为logN 最差情况下二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)其平均比较次数为O(N) 3.2 AVL树概念与性质 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树查找元素相当于在顺序表中搜索元素效率低下。 因此两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法当向二叉搜索树中插入新结点后如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)即可降低树的高度从而减少平均搜索长度。 性质 1.它的左右子树都是AVL树 2.左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1) 高度差右树高 - 左树高 3.AVL树的查找效率为O(logN) 3.3 AVL树结点的定义
template class T
struct AVLTreeNode
{
public:AVLTreeNode(const T data):_data(data),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}AVLTreeNodeT* _left;AVLTreeNodeT* _right;AVLTreeNodeT* _parent;T _data;int _bf;//树的平衡因子
}; 3.4 AVL树结点插入
bool insert(const T data)
{if (_root nullptr){_root new Node(data);return true;}//找到插入位置Node* cur _root;Node* parent nullptr;while (cur){parent cur;if (data cur-_data)cur cur-_right;else if (data cur-_data)cur cur-_left;elsereturn false;}//插入新节点并建立链接cur new Node(data);cur-_parent parent;if (cur-_data parent-_data){parent-_right cur;}else{parent-_left cur;}//判断平衡因子while (parent){if (cur parent-_left){parent-_bf--;}else{parent-_bf;}if (parent-_bf 0)break;else if (parent-_bf -1 || parent-_bf 1){cur parent;parent parent-_parent;}else if (parent-_bf -2 || parent-_bf 2){//右高 右右if (parent-_bf 2 cur-_bf 1)RotateL(parent);//左高 左左else if (parent-_bf -2 cur-_bf -1)RotateR(parent);//右高 右左else if (parent-_bf 2 cur-_bf -1)RotateRL(cur);//左高 左右else if (parent-_bf -2 cur-_bf 1)RotateLR(cur);//任何其他情况都直接报错else assert(false);break;}else{assert(false);}}return true;
}
3.5 AVL树旋转算法保持树平衡
3.5.1 新节点插入较高左子树的左侧---左左右单旋 情况一左边高且插入结点在父节点左边 以30结点为轴将30的右结点与父节点链接然后将60做30的右结点这样就可以使树保持为平衡搜索树 void RotateR(Node* parent)
{Node* SubL parent-_left;//父节点的左孩子Node* SubLR SubL-_right;//左孩子的右孩子parent-_left SubLR;//将左孩子的右孩子与父节点的左链接if (SubLR) SubLR-_parent parent;//右孩子不为空则找父亲//下面准备更新SubL为父节点记录祖父节点Node* gparent parent-_parent;//更新的节点是根节点则直接改变rootif (parent _root){_root SubL;SubL-_parent nullptr;}else {//判断父节点与祖父节点的关系if (parent gparent-_left)gparent-_left SubL;else gparent-_right SubL;//与祖父节点链接SubL-_parent parent-_parent;}//与原父节点链接其链接在新父节点右SubL-_right parent;parent-_parent SubL;//更新平衡因子parent-_bf SubL-_bf 0;
} 3.5.2 新节点插入较高右子树的右侧---右右左单旋 情况二右边高且插入结点在父节点的右边 以60为轴将60的左结点与父节点30的右链接将父节点30与60的左链接 void RotateL(Node* parent)
{Node* SubR parent-_right;Node* SubRL SubR-_left;parent-_right SubRL;if (SubRL) SubRL-_parent parent;Node* gparent parent-_parent;if (parent _root){_root SubR;SubR-_parent nullptr;}else {if (parent gparent-_left)gparent-_left SubR;else gparent-_right SubR;SubR-_parent gparent;}SubR-_left parent;parent-_parent SubR;parent-_bf SubR-_bf 0;
} 3.5.3 新节点插入较高左子树的右侧---左右先左单旋再右单旋 先以60为轴进行左旋然后以60为轴进行右旋 这里插入新节点后60节点的平衡因子对最后的的3090平衡因子右影响 如果60的平衡因子是-1最后90的平衡因子就是130的平衡因子是0。 如果60的平衡因子是1最后90的平衡因子就是030的平衡因子是-1。 如果60的平衡因子是0.最后3090的平衡因子都是0。 void RotateLR(Node* parent) //parent -- 30节点
{Node* SubR parent-_right;int bf SubR-_bf; //记录插入新节点后的60的平衡因子Node* gparent parent-_parent; //gparent -- 90节点RotateL(parent); //30以60为轴左旋RotateR(gparent); //90以60为轴右旋if (bf 1){SubR-_bf 0;parent-_bf 0;gparent-_bf -1;}else if (bf -1){SubR-_bf 0;parent-_bf 0;gparent-_bf 1;}else {SubR-_bf parent-_bf gparent-_bf 0;}
} 3.5.4 新节点插入较高右子树的左侧---右左先右单旋再左单旋 先以60为轴进行右旋然后以60为轴进行左旋 同样我们3090最后平衡因子的更新需要判断60的平衡因子 void RotateRL(Node* parent)
{Node* SubL parent-_left;int bf SubL-_bf;Node* gparent parent-_parent;RotateR(parent);RotateL(gparent);if (bf 1){SubL-_bf 0;parent-_bf -1;gparent-_bf 0;}else if (bf -1){SubL-_bf 0;parent-_bf 0;gparent-_bf 1;}else {SubL-_bf parent-_bf gparent-_bf 0;}
} 3.6 判断一个搜索二叉树是否为平衡
//深层遍历计算每个节点的高度
int TreeHeight(Node* root)
{if (root nullptr)return 0;int Left_height TreeHeight(root-_left);int Right_height TreeHeight(root-_right);//返回左右子树的最大高度 1(自己本身) 此节点的高度return Left_height Right_height ? Left_height 1 : Right_height 1;
}
bool IsBalanceTree(Node* root)
{if (root nullptr)return true;int Left_height TreeHeight(root-_left);int Right_height TreeHeight(root-_right);//判断 1.此时高度下是否满足平衡 2.左子树是否满足 3.右子树是否满足return abs(Left_height - Right_height) 1 IsBalanceTree(root-_left) IsBalanceTree(root-_right);
} 3.7 测试AVL树
