漯河网站建设哪家,做交易平台的网站需要哪些技术,w98免费服务器,怎么做网站和注册域名文章目录 3D数学基础矢量/向量什么是向量点与矢量的关系 向量基础运算 向量加法向量基础运算 数乘 线性组合 - 坐标系的基如果选择不同的基向量会怎么样#xff1f;- 张成(Span)的空间三维向量的张成空间线性相关与线性相关 矩阵与线性变换矩阵-几何意义线性变换矩阵乘法与线性… 文章目录 3D数学基础矢量/向量什么是向量点与矢量的关系 向量基础运算 向量加法向量基础运算 数乘 线性组合 - 坐标系的基如果选择不同的基向量会怎么样- 张成(Span)的空间三维向量的张成空间线性相关与线性相关 矩阵与线性变换矩阵-几何意义线性变换矩阵乘法与线性变换复合 3D数学基础
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矢量/向量
在笔记中
变量使用小写字母表示a由于笔记中画上箭头表示向量比较麻烦这里小写字母加粗显示a矩阵变量使用粗体大写字母表示A 线性代数围绕向量加法向量数乘两种基本运算。行矩阵和列矩阵都可以描述向量在本笔记中没有特殊说明都是采用行矩阵。 什么是向量 在线性代数中Vector被称为向量在几何中Vector被称为矢量文中向量矢量都在使用。数字 标量通常用于缩放向量。 向量是空间中的箭头在线代中向量经常以原点作为起点。向量的数组表示法[x,y]表示从原点出发(向量起点)如何到达向量终点。
矢量意义 矢量是具有大小和方向的有向线段。
矢量的大小矢量的长度非负值。矢量的方向描述矢量在空间中指向的方向。
图形上每个矢量是位置无关的比如使用笛卡尔坐标描述矢量时每个坐标相当于描述对应维度(x、y或其他)中有符号位移。 比如三维矢量[3,-1,2]可以表示为①向x轴平移3个单位②向y轴平移-1个单位(或者-y轴平移1个单位)③向z轴平移2个单位。其实顺序不重要移动的总量是一样的。
矢量可以理解为某种运动方式(二维中沿x轴怎么运动沿y轴怎么运动)
零矢量矢量中唯一没有方向的可以理解为无位移(而不是一个点因为矢量不描述一点)
点与矢量的关系
假设有点(x,y)与矢量[x,y] 如果从原点开始按照矢量[x,y]指定的量移动最终将到达点(x,y)的位置。或者说矢量[x,y]给出了原点到点(x,y)的位移。 向量基础运算 向量加法
比如vw三角形法则几何理解为从一个点开始应用由c指定的位移然后再应用由w指定的位移与直接应用vw指定的位移效果一致。 比如在一维轴上先向右走2步再向右走5步的效果等于直接从原点向右走7步。
假设v[1,2]、w[3,-1],vw表示先沿x轴移动13个位移再沿y轴移动2(-1)个位移
向量基础运算 数乘
运算式k[x,y,z] [x,y,z]k [kx,ky,kz] 数字 标量通常用于缩放向量。 kv表示向量沿指定方向缩放k倍从数字的角度看对应于将每一个分量分别*k。 向量与标量相乘就是将向量中的每个分类与标量相乘。 线性组合 - 坐标系的基
假设 i和j是坐标系的基向量 其中 x方向的单位向量i长度为1指向x方向 y方向的单位向量j长度为1指向y方向 并不是说基向量一定是单位向量空间的一组基严格定义向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集合 利用坐标系的基我们可以从另一个角度描述向量。向量可以表示为缩放坐标系的基向量并相加向量两个经过缩放的向量和。
将向量v[3,-2]的分量想象成标量3表示拉伸i为原来的3倍-2表示反向拉伸j为原来的两倍。所以向量v 3i(-2)j。
如果选择不同的基向量会怎么样- 张成(Span)的空间
任选两个基向量使用任意两个标量缩放基向量然后两基向量相加可以得到所有的二维向量。 当用数字(坐标)描述向量时都依赖于我们正在使用的基。 比如描述物体的运动时要依赖参考系。所以用数字描述向量时要看是在哪个基向量下。 两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合
为什么叫线性如果固定住其中一个向量让另一个向量自由变化那么向量的终点会描出一条直线。
如果同时缩放两个向量这两个向量并不共线且都不是零向量那么就可以得到平面中的所有位置。如果两个初始向量共线产生的向量终点被限制在一条过原点的直线上。如果两个初始向量为零向量那么产生的向量终点就是原点。 任意两个不共线的向量可以作为平面空间的基底 张成(Span)的空间 v和w全部线性组合构成的向量集合 是扩张成张开形成?的空间吗感觉这里的张成应该是一个动词对大部分向量v和w来说他们张成的空间是所有二维向量的集合对共线的v和w来说他们张成的空间是终点落在一条直线上的向量的集合。 三维向量的张成空间
两个三维向量张成的空间是一个过原点的平面所有终点落在这个平面上的向量的集合就是这两个向量张成的空间。 三个三维向量张成的空间
第三个向量恰好落在前两个向量所张成的平面上(第三个向量由前两个线性组合形成可以想象成二维的共线)张成的空间不会变化还是之前的两个三维向量的张成空间。如果没有落在前两个向量张成的空间上这三个三维向量可以描述所有的三维向量(当缩放第三个向量时前两个向量张成的平面沿着第三个向量的方向来回移动)
线性相关与线性相关
在二维空间的案例中两个向量共线在三维空间的案例中第三个向量恰好落在前两个向量所张成的平面上。
从几何的角度解释线性相关 当有多个向量时移除其中一个而步减小张成的空间称这组向量是线性相关的。 其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合因为这个向量已经落在其他向量张成的空间中。 线性无关 二维中的表示就是不共线 三维中的表示就是其中一个向量不在另外两个向量张成的空间中
矩阵与线性变换
线性变换将输入的向量映射之后输出新的向量比如映射F(a)b 表示映射F将a映射到b。 使用变换暗示了可以将这种映射想象成一种运动比如旋转。
定义当F满足线性映射时,F(ab) F(a)F(b) 且 F(ka) F(kb) 描述将两个矢量相加然后执行变换 单独对两个矢量执行变换然后将变换后的矢量加载一起。缩放一个矢量然后执行变换 先变换后缩放
线性变换需要同时具备的性质 1.直线在变换后仍然保持为直线不能弯曲 2.原点保持固定
矩阵-几何意义线性变换
记录两个基向量i和j变换后的位置就可以计算出任意向量经过变换后的位置 重要性质线性变换保持组合系数不变 因为向量之间的关系没变(标量不变)变的只是基向量 组合系数是特征值 矩阵只是一个记号描述了一个线性变换的信息或者说记录变换后的基向量
案例 假设存在v[-1,2]v-1i2j线性变换保持组合系数不变所以转换后的v -1转换后的i 2转换后的j
方阵的几何意义:如果知道一对基如何变换等于知道整个坐标系怎么变换了
方阵的行(如果基向量是列向量则是方阵的列)可以理解为坐标空间变换之后的基向量将向量从原始空间变化到新坐标空间的方法是向量 * 矩阵矩阵向量乘法就是计算线性变化作用于定向量的一种途径。可通过可视化变化后坐标空间的基矢量来可视化矩阵。
另一个角度理解矩阵乘法的定义
矩阵乘法与线性变换复合
AB先执行A变换然后执行B变换 如果采用列矩阵表示向量则先执行B变换再执行A变换。
渲染案例 世界上任何位置和方向都有一个对象假设希望给定的任意位置和方向上的相机渲染此对象。 前提取得该对象的顶点(很多顶点) 步骤 1.模型变换将对象的顶点从对象空间变换到世界空间中 2.视图变换将世界空间顶点变换到相机空间
Pwld Pobj Mobj-wld
Pcam PwldMwld-camPcam Pobj(Mobj-wldMwld-cam)Pcam Pobj(Mobj-cam)AB 不一定等于 BA 可以将这种变换想象成函数f(g(x))由于f(g(x)) 不一定等于g(f(x))所以AB 不一定等于 BA。(AB)C A(BC)可以将括号理解为将两次变化步骤一次性合并了但变换的顺序还是一致的。
