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θ和它的导数符号是通过 Julia 中的变量命名方式实现的 变量 θ 的输入#xff1a; 在 Julia 中#xff0c;θ 是一个合法的变量名#xff0c;就像普通的字母 x 或 y 一样。要输入 θ#xff0c;可以使用以下方法#xff1a; 在 Jupyter Notebook 或 Julia REP…Lecture 2
θ和它的导数符号是通过 Julia 中的变量命名方式实现的 变量 θ 的输入 在 Julia 中θ 是一个合法的变量名就像普通的字母 x 或 y 一样。要输入 θ可以使用以下方法 在 Jupyter Notebook 或 Julia REPL 中直接键入 \theta然后按 Tab 键Julia 会自动将其转化为 θ。这是 Julia 支持的 Unicode 字符的一部分可以直接作为变量名。 变量 θ̇ 的输入 θ̇ 是带点的变量表示导数它也是 Julia 的一个合法变量名。键入 \theta后按 Tab 键,键入 \dot后按 Tab 键 变量 θ̈ 的输入 θ̈ 是加速度带两个点的变量名。键入 \theta后按 Tab 键,键入 \ddot后按 Tab 键
θ 和 θ̇ 是 Julia 中的 Unicode 变量名可以通过快捷输入实现。在代码中这些符号只是普通变量名它们的含义通过上下文和赋值来表达 θ 是角度。θ̇ 是角速度。θ̈ 是角加速度计算公式是 − ( g / l ) sin ( θ ) -(g/l) \sin(θ) −(g/l)sin(θ)。 . 使得操作符能够逐个元素地应用于整个数组或集合而不需要显式地使用循环
在 Julia 中等号前面的 . 是一个 广播broadcasting 操作符它的作用是让一个操作应用于整个数组或容器而不仅仅是单一的元素。这是 Julia 中非常常见和强大的特性。
x_hist[:,1] . x0x_hist[:,1]这是对 x_hist 数组的访问表示提取 x_hist 的第一列所有行第一列。.这是广播赋值操作符。它表示对 x_hist[:,1] 的每个元素执行赋值操作等价于逐元素地把 x0 的每个值赋给 x_hist[:,1] 的每个元素。x0这是一个向量通常是初始状态向量比如 [0.1; 0]表示摆的初始角度和角速度。
示例
假设 x0 是 [0.1, 0]而 x_hist[:,1] 是一个长度为 2 的列向量例如 [0, 0]那么 无广播普通赋值 如果直接使用 没有点操作符会发生维度不匹配的错误因为你不能将一个列向量直接赋值给数组的某一列。 x_hist[:,1] x0 # 这会报错使用广播赋值 使用 . 后x0 的每个元素都会依次赋值给 x_hist[:,1] 的每个元素 x_hist[:,1] . x0 # 正确x0 的每个元素逐个赋值给 x_hist[:,1]总结
. 操作符使得赋值操作可以应用到整个数组或容器的每个元素而不仅仅是简单的元素赋值。. 用于广播赋值使得多个值可以逐元素地赋给目标数组或集合。
这种广播机制使得在 Julia 中处理数组和矩阵时更加简洁高效。 解释匿名函数 x - fd_pendulum_rk4(x, 0.1)
在 Julia 中匿名函数是一种无需命名的函数通常用于临时计算。形式为
x - expression其中x 是输入参数expression 是处理该参数的表达式。
代码部分
x - fd_pendulum_rk4(x, 0.1)这是一个匿名函数具体含义如下 输入参数 x 是匿名函数的输入参数代表当前状态变量通常为一个向量。例如对于摆动系统x 可能是 x [ angle ; angular velocity ] x [\text{angle}; \text{angular velocity}] x[angle;angular velocity]角度和角速度。 调用 fd_pendulum_rk4: 匿名函数内部调用了 fd_pendulum_rk4 函数这是一个实现四阶龙格-库塔RK4积分方法的函数。fd_pendulum_rk4(x, 0.1) 的两个参数 x: 当前状态例如 x [ 角度 ; 角速度 ] x [\text{角度}; \text{角速度}] x[角度;角速度]。0.1: 时间步长 h h h表示模拟的离散时间间隔。 输出结果 函数返回 RK4 方法计算的状态更新结果即从状态 x x x 经一步积分后的新状态 x n 1 x_{n1} xn1。该结果是一个新的状态向量表示在给定时间步长下系统从状态 x x x 演化到的下一个状态。
用途
匿名函数 x - fd_pendulum_rk4(x, 0.1) 的核心作用是
将输入状态 x x x如摆的当前角度和角速度映射为通过 RK4 方法计算得到的下一个状态。在调用 ForwardDiff.jacobian 时匿名函数为 ForwardDiff 提供了所需的输入-输出关系。
示例
假设
初始状态为 x [ π / 4 ; 0 ] x [\pi/4; 0] x[π/4;0]角度 π / 4 \pi/4 π/4角速度 0。时间步长 h 0.1 h 0.1 h0.1。
匿名函数的计算流程如下
# 定义匿名函数
f x - fd_pendulum_rk4(x, 0.1)# 调用匿名函数
new_state f([pi/4; 0])结果 new_state 是通过 RK4 积分计算出的下一步状态新的角度和角速度。
为什么使用匿名函数 简洁性 不需要显式定义一个新函数而是直接将 fd_pendulum_rk4 封装成满足特定需求的函数固定步长为 0.1。 灵活性 匿名函数可以动态封装不同的参数和逻辑。例如步长可以通过匿名函数灵活指定。 与 ForwardDiff.jacobian 配合 ForwardDiff.jacobian 需要输入一个函数该函数的输入是状态 x x x输出是对应的更新结果。匿名函数很好地满足这一要求。
总结
匿名函数 x - fd_pendulum_rk4(x, 0.1) 将状态变量 x x x 映射为通过 RK4 方法计算得到的下一个状态。它的主要作用是为 ForwardDiff.jacobian 提供输入-输出映射关系以计算状态更新过程的雅可比矩阵。 Lecture 3
∂r \ r 表示 矩阵左除
在 Julia 中表达式 ∂r \ r 表示 矩阵左除也就是 求解线性方程组 的一种简洁方式。
线性方程组的求解
线性方程组的一般形式是 A ⋅ x b A \cdot x b A⋅xb
其中 A A A 是系数矩阵这里对应 ∂r。 x x x 是未知量向量这里对应 Δ x \Delta x Δx。 b b b 是右侧的已知向量这里对应 r。
A \ x 的含义是 求解 x x x 的值即 x A − 1 ⋅ b x A^{-1} \cdot b xA−1⋅b
这相当于将 A A A 的逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1 左乘到 b b b 上求解 x x x 的值。
但是显式求逆即 A − 1 A^{-1} A−1的计算代价很高且可能会引入数值不稳定性。因此∂r \ r 使用了一种数值高效的方式解决这个问题。
Julia 的 \ 运算符
在 Julia 中A \ b 是求解线性方程组 A ⋅ x b A \cdot x b A⋅xb 的符号表示“将矩阵 A A A 左除向量 b b b”。实现时Julia 使用优化的数值线性代数方法如 LU 分解、QR 分解或 Cholesky 分解来高效求解而不是直接计算矩阵的逆。
数值计算的优势
高效性: 求解 A ⋅ x b A \cdot x b A⋅xb 的方法通常比显式逆矩阵的计算更高效。数值稳定性: 显式计算逆矩阵可能会导致数值不稳定性尤其当矩阵接近奇异时而直接求解方程组能够减少误差。灵活性: Julia 的 \ 运算符会自动选择最适合的分解算法如 LU、QR 或其他方法来解决问题适用于稠密矩阵或稀疏矩阵。 梯度和雅可比矩阵在 Julia 中的使用规则
梯度 (gradient): 用于标量值函数返回一个列向量。雅可比矩阵 (jacobian): 用于矢量值函数返回一个矩阵。在实际使用中必须明确函数的输入和输出维度误用可能导致报错。
1. 梯度gradient
梯度是用于标量值函数的它返回的是一个列向量。
例子
using ForwardDiff# 定义一个标量函数
f(x) x[1]^2 x[2]^2 x[3]^2# 对 f 求梯度
x [1.0, 2.0, 3.0]
grad ForwardDiff.gradient(f, x)
println(梯度: , grad)输出 解析: 函数 f ( x ) x 1 2 x 2 2 x 3 2 f(x) x_1^2 x_2^2 x_3^2 f(x)x12x22x32。梯度为 ∇ f [ ∂ f ∂ x 1 , ∂ f ∂ x 2 , ∂ f ∂ x 3 ] T [ 2 x 1 , 2 x 2 , 2 x 3 ] T \nabla f [\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}]^T [2x_1, 2x_2, 2x_3]^T ∇f[∂x1∂f,∂x2∂f,∂x3∂f]T[2x1,2x2,2x3]T。结果为 [2.0, 4.0, 6.0]。 2. 雅可比矩阵Jacobian
雅可比矩阵用于矢量值函数返回的是一个矩阵。
例子
using ForwardDiff# 定义一个矢量值函数
g(x) [x[1]^2, x[1]*x[2], x[2]^2]# 对 g 求雅可比矩阵
x [1.0, 2.0]
jacobian ForwardDiff.jacobian(g, x)
println(雅可比矩阵: )
println(jacobian)输出 解析: 函数 g ( x ) [ x 1 2 , x 1 x 2 , x 2 2 ] g(x) [x_1^2, x_1 x_2, x_2^2] g(x)[x12,x1x2,x22]。 雅可比矩阵为 J [ ∂ g 1 ∂ x 1 ∂ g 1 ∂ x 2 ∂ g 2 ∂ x 1 ∂ g 2 ∂ x 2 ∂ g 3 ∂ x 1 ∂ g 3 ∂ x 2 ] J \begin{bmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} \frac{\partial g_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} \frac{\partial g_2}{\partial x_2} \\ \frac{\partial g_3}{\partial x_1} \frac{\partial g_3}{\partial x_2} \end{bmatrix} J ∂x1∂g1∂x1∂g2∂x1∂g3∂x2∂g1∂x2∂g2∂x2∂g3 [ 2 x 1 0 x 2 x 1 0 2 x 2 ] \begin{bmatrix} 2x_1 0 \\ x_2 x_1 \\ 0 2x_2 \end{bmatrix} 2x1x200x12x2 在 x [ 1.0 , 2.0 ] x [1.0, 2.0] x[1.0,2.0] 时结果为 [ 2.0 0.0 2.0 1.0 0.0 4.0 ] \begin{bmatrix} 2.0 0.0 \\ 2.0 1.0 \\ 0.0 4.0 \end{bmatrix} 2.02.00.00.01.04.0
3. 错误调用的情况
错误调用 gradient 对矢量值函数
如果尝试对矢量值函数调用 gradient 会导致报错因为梯度只适用于标量值函数。
例子
g(x) [x[1]^2, x[1]*x[2], x[2]^2]
x [1.0, 2.0]
grad ForwardDiff.gradient(g, x) # 错误报错信息 原因: gradient 只能对标量值函数使用而这里的 g ( x ) g(x) g(x) 是矢量值函数。
错误调用 jacobian 对标量值函数
如果尝试对标量值函数调用 jacobian理论上应返回梯度的转置但通常会导致报错。
例子
f(x) x[1]^2 x[2]^2
x [1.0, 2.0]
jacobian ForwardDiff.jacobian(f, x) # 错误报错信息 原因: jacobian 期望输入是矢量值函数而这里的 f ( x ) f(x) f(x) 是标量值函数。 Lecture 4
Kronecker 积Kronecker Product
Kronecker 积的定义
给定两个矩阵 A ∈ R m × n A \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n 和 B ∈ R p × q B \in \mathbb{R}^{p \times q} B∈Rp×q它们的 Kronecker 积 A ⊗ B A \otimes B A⊗B 是一个大小为 ( m p ) × ( n q ) (mp) \times (nq) (mp)×(nq) 的矩阵。具体构造规则如下 A ⊗ B A \otimes B A⊗B 将矩阵 A A A 的每个元素 a i j a_{ij} aij 替换为该元素与矩阵 B B B 的乘积 a i j B a_{ij}B aijB。
数学表达为 A ⊗ B [ a 11 B a 12 B … a 1 n B a 21 B a 22 B … a 2 n B ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 B a m 2 B … a m n B ] A \otimes B \begin{bmatrix} a_{11} B a_{12} B \dots a_{1n} B \\ a_{21} B a_{22} B \dots a_{2n} B \\ \vdots \vdots \vdots \\ a_{m1} B a_{m2} B \dots a_{mn} B \\ \end{bmatrix} A⊗B a11Ba21B⋮am1Ba12Ba22B⋮am2B………a1nBa2nB⋮amnB
Kronecker 积的计算方法
假设 A [ 1 2 3 4 ] , B [ 0 5 6 7 ] A \begin{bmatrix} 1 2 \\ 3 4 \\ \end{bmatrix}, \quad B \begin{bmatrix} 0 5 \\ 6 7 \\ \end{bmatrix} A[1324],B[0657]
计算 A ⊗ B A \otimes B A⊗B A ⊗ B [ 1 ⋅ B 2 ⋅ B 3 ⋅ B 4 ⋅ B ] [ [ 0 5 6 7 ] [ 0 10 12 14 ] [ 0 15 18 21 ] [ 0 20 24 28 ] ] A \otimes B \begin{bmatrix} 1 \cdot B 2 \cdot B \\ 3 \cdot B 4 \cdot B \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 5 \\ 6 7 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 10 \\ 12 14 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 15 \\ 18 21 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 20 \\ 24 28 \\ \end{bmatrix} \\ \end{bmatrix} A⊗B[1⋅B3⋅B2⋅B4⋅B] [0657][0181521][0121014][0242028]
最终结果为 A ⊗ B [ 0 5 0 10 6 7 12 14 0 15 0 20 18 21 24 28 ] A \otimes B \begin{bmatrix} 0 5 0 10 \\ 6 7 12 14 \\ 0 15 0 20 \\ 18 21 24 28 \\ \end{bmatrix} A⊗B 0601857152101202410142028
Kronecker 积的性质
尺寸 如果 A A A 是 m × n m \times n m×n B B B 是 p × q p \times q p×q那么 A ⊗ B A \otimes B A⊗B 的大小为 ( m p ) × ( n q ) (mp) \times (nq) (mp)×(nq)。分布律 ( A C ) ⊗ B A ⊗ B C ⊗ B (A C) \otimes B A \otimes B C \otimes B (AC)⊗BA⊗BC⊗B结合律 ( A ⊗ B ) ⊗ C A ⊗ ( B ⊗ C ) (A \otimes B) \otimes C A \otimes (B \otimes C) (A⊗B)⊗CA⊗(B⊗C)与标量的关系 ( α A ) ⊗ B A ⊗ ( α B ) (\alpha A) \otimes B A \otimes (\alpha B) (αA)⊗BA⊗(αB)
Kronecker 积的应用 生成重复矩阵 在 Julia 中kron(ones(m), A) 会生成一个矩阵其中矩阵 A A A 的每一行重复 m m m 次。类似地kron(ones(m), A) 会生成一个矩阵其中矩阵 A A A 的每一列重复 m m m 次。 向量化操作 Kronecker 积常用于将向量化表达与矩阵展开结合。比如将矩阵 A A A 的每一项与另一个矩阵 B B B 关联。 量子计算 Kronecker 积在量子力学中用于描述复合量子系统的状态和操作比如计算张量积态。 系统理论和信号处理 Kronecker 积用于构造大规模系统矩阵特别是在多维信号处理中的应用。
在 Julia 中的实现
在 Julia 中kron 函数用于计算 Kronecker 积语法为
C kron(A, B)在equality-constraints.ipynb代码中的作用
在 plot_landscape 函数中Kronecker 积被用来生成网格点
kron(ones(Nsamp), LinRange(-4, 4, Nsamp)) 生成一个矩阵其中每一行是从 − 4 -4 −4 到 4 4 4 的序列表示 x x x 坐标。 kron(ones(Nsamp), LinRange(-4, 4, Nsamp)) 生成一个矩阵其中每一列是从 − 4 -4 −4 到 4 4 4 的序列表示 y y y 坐标。
这样通过 Kronecker 积可以快速构造二维网格用于绘制等高线图。
