杭州设计师网站,公司网页制作具体做什么,企业网站建设如何选择网络公司,wordpress收录不好吗目录 1.牛顿法1.1 牛顿法介绍1.2 算法步骤 2. 具体算例3.总结 1.牛顿法
1.1 牛顿法介绍 牛顿法#xff08;Newton’s method#xff09;#xff0c;也被称为牛顿-拉夫森方法#xff08;Newton-Raphson method#xff09;#xff0c;是一种用于数值逼近根的迭代方法。它是… 目录 1.牛顿法1.1 牛顿法介绍1.2 算法步骤 2. 具体算例3.总结 1.牛顿法
1.1 牛顿法介绍 牛顿法Newton’s method也被称为牛顿-拉夫森方法Newton-Raphson method是一种用于数值逼近根的迭代方法。它是由英国科学家艾萨克·牛顿在17世纪提出的。 牛顿法的基本思想是通过不断迭代来逼近一个函数的根。它利用函数的局部线性逼近通过找到切线与x轴的交点来逼近函数的根。具体而言牛顿法使用一个初始猜测值作为起点然后根据函数和它的导数在该点的值计算出切线与x轴的交点作为下一个猜测值。通过不断重复这个过程可以更接近函数的根。
1.2 算法步骤 Step1: 选择一个初始猜测值选择一个接近函数 f ( x ) f(x) f(x)零点的 x 0 x_0 x0。 Step2: 计算在点 x 0 x_0 x0处的函数值 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)和导数 f ′ ( x 0 ) f\prime\left( x_0 \right) f′(x0)。 Step3: 计算穿过点 ( x 0 , f ( x 0 ) (x_0,f(x_0) (x0,f(x0)且斜率为 f ′ ( x 0 ) f\prime\left( x_0 \right) f′(x0)的直线与 x x x轴的交点 x 1 x_1 x1也就是方程 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f ( x 0 ) 0 f \prime(x_0)(x-x_0)f(x_0)0 f′(x0)(x−x0)f(x0)0的解即 x 1 x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) x_1x_0-\frac{f\left( x_0 \right)}{f\prime\left( x_0 \right)} x1x0−f′(x0)f(x0)。 Step4: 使用牛顿法的迭代公式 x n 1 x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n1}x_n-\frac{f\left( x_n \right)}{f\prime\left( x_n \right)} xn1xn−f′(xn)f(xn)进行迭代等到 f ( x n ) f(x_n) f(xn)足够小时可以设置一个终止条件就认为数值解足够接近真实解然后停止迭代。
2. 具体算例
利用牛顿法求 e x 2 e^x2 ex2的解选取初始点 x 0 1 x_01 x01然后利用牛顿法迭代公式进行求解。 具体的python程序如下:
import numpy as np
def hanshu(x):return np.exp(x)-2
def daoshu(x):return np.exp(x)
def newtown(x0):dhanshu(x0)count0while d0.000001 and count100:x1x0-d/daoshu(x0)x0x1dhanshu(x0)count1return x0,count
print(newtown(1))求解结果(0.6931475810597714, 3) 方程 e x 2 e^x2 ex2的实际解为0.6931471805599453可见利用牛顿法迭代了3次就得到了一个精度很高的结果收敛速度比较快。
3.总结
牛顿法在数学和科学工程领域广泛应用特别是在求解非线性方程、最优化问题和曲线拟合等任务中。牛顿法具有快速收敛的特点但它对初始值的选择比较敏感可能会陷入局部最优解。因此在使用牛顿法时需要考虑初始值的选择和算法的收敛性分析。
