北京网站改版,微信营销app,做网站一般什么价格,竞价可以做两个网站吗目录 1.向量
1.1向量的定义
1.2向量的运算
1.2.1向量加法
1.2.2向量数乘
1.2.3向量点积
1.3矩阵的特征值和特征向量
1.4向量的模
1.4.1向量的模的定义
1.4.2向量的模的几何解释
1.4.3向量的模的性质
1.5向量的内积
1.5.1向量的内积的定义
1.5.2向量的内积的几何解…目录 1.向量
1.1向量的定义
1.2向量的运算
1.2.1向量加法
1.2.2向量数乘
1.2.3向量点积
1.3矩阵的特征值和特征向量
1.4向量的模
1.4.1向量的模的定义
1.4.2向量的模的几何解释
1.4.3向量的模的性质
1.5向量的内积
1.5.1向量的内积的定义
1.5.2向量的内积的几何解释
1.5.3向量的内积的性质 1.向量
1.1向量的定义
向量可以用多种方式定义以下是几种常见的定义 几何定义向量是一个有方向和大小的量通常用箭头表示。向量的起点称为原点终点称为向量的端点。 代数定义向量是一个有序的数组通常表示为列向量或行向量。
例如一个 n 维列向量可以表示为 一个 n 维行向量可以表示为 其中 v1,v2,…,vn是向量的分量。
行向量和列向量再本质上没有区别。
向量的表示
向量可以用多种方式表示以下是几种常见的表示方法 几何表示在二维或三维空间中向量通常用箭头表示箭头的方向表示向量的方向箭头的长度表示向量的大小。 代数表示向量可以用列向量或行向量表示如上所述。 坐标表示在二维或三维空间中向量可以用坐标表示。例如二维向量 v(v1,v2)v(v1,v2) 表示在 x 轴和 y轴上的分量。
1.2向量的运算
向量有几种基本的运算包括加法、数乘、点积和叉积。
1.2.1向量加法
向量加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。例如两个 n 维向量 u 和 v 的加法为 1.2.2向量数乘
向量数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量得到一个新的向量。例如一个 n 维向量 v 与标量 k 的数乘为 1.2.3向量点积
向量点积内积是将两个向量的对应分量相乘然后将结果相加得到一个标量。例如两个 n 维向量 u 和 v 的点积为 1.3矩阵的特征值和特征向量
设 A 是一个 n×n 的方阵。如果存在一个非零列向量 v 和一个标量 λ使得
那么 λ 称为矩阵 A的特征值v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。
注λ可以为0而v不能为0并且v是列向量。因为A是n维矩阵如果v是行向量则维数是1xn不满足矩阵相乘。
将定义中的等式移项得到
由于v是非零列向量相当于求上述方程的非零解由方程有非零解的充要条件是行列式为0的定理可知 说明(A-λE)特征矩阵|A-λE|特征行列式或特征多项式|A-λE|0特征方程
结论
1.λ是A的特征值v是对应λ的一个特征向量则cv也是λ的一个特征向量c为不等于0的标量。
根据定义 等式两边同乘以c 所以cv也是λ的一个特征向量。
1.4向量的模
1.4.1向量的模的定义
向量 v 的模记作 ∥v∥计算公式为 1.4.2向量的模的几何解释
在二维空间中向量 v(v1,v2)的模表示从原点到点 (v1,v2)的距离。在三维空间中向量 v(v1,v2,v3)的模表示从原点到点 (v1,v2,v3)的距离。
||v||1叫做单位向量的模。如v(1,0,0)
1.4.3向量的模的性质
非负性
∥v∥≥0并且 ∥v∥0 当且仅当 v0零向量。
齐次性
对于任意标量 k∥kv∥∣k∣∥v∥。
三角不等式
对于任意向量 u 和 v∥uv∥≤∥u∥∥v∥。 1.5向量的内积
1.5.1向量的内积的定义
对于两个 n 维向量 a(a1,a2,…,an) 和 b(b1,b2,…,bn)它们的内积点积表示为 a⋅b计算公式为 1.5.2向量的内积的几何解释
在几何上内积也可以通过向量的模和它们之间的夹角来表示。具体来说如果 θ 是向量 a 和 b 之间的夹角那么内积可以表示为 其中 ∥a∥ 和 ∥b∥ 分别是向量 a 和 b 的模长度。 cos(θ)是夹角 θ 的余弦值。
结论
向量内积的几何解释其实就是余弦相似度算法的公式当cos(θ)1时表示两个向量重合当cos(θ)0时表示两个向量垂直。
如果使用两个向量分别近似表示两个文本或图像
两个向量的cos(θ)越接近1表示这两个文本内容越相似cos(θ)越接近0表示这两个文本内容越不相似。
1.5.3向量的内积的性质
交换律a⋅bb⋅a分配律a⋅(bc)a⋅ba⋅c数乘结合律(ka)⋅bk(a⋅b)a⋅(kb)正定性a⋅a≥0并且 a⋅a0 当且仅当 a0。
