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一元线性回归 解#xff1a; #xff08;1#xff09;y a ^ \hat{a} a^ b ^ \hat{b} b^x#xff0c;求线性回归方程即求出 a ^ \hat{a} a^和 b ^ \hat{b} b^ 而 b ^ \hat{b} b^ L x y L x x { {L_{xy}} \over {L_{xx}} } LxxLxy 所以我们首先需要计算 L x…例一 例二
一元线性回归 解 1y a ^ \hat{a} a^ b ^ \hat{b} b^x求线性回归方程即求出 a ^ \hat{a} a^和 b ^ \hat{b} b^ 而 b ^ \hat{b} b^ L x y L x x { {L_{xy}} \over {L_{xx}} } LxxLxy 所以我们首先需要计算 L x y {L_{xy}} Lxy 和 L x x {L_{xx}} Lxx
所以 b ^ \hat{b} b^ L x y L x x { {L_{xy}} \over {L_{xx}} } LxxLxy4.185 a ^ \hat{a} a^ y ˉ \bar{y} yˉ- b ^ x ˉ \hat{b}\bar{x} b^xˉ319.086
所以回归方程为 y ^ \hat{y} y^319.0864.185x
2显著性检验需要我们计算出 T 0 {T_0} T0所以依次计算出 L y y {L_{yy}} Lyy、 σ ^ \hat{σ} σ^计算得 T 0 {T_0} T0如下 而 F 0 {F_0} F0 T 0 2 {T_0^2} T0214.438 F α {F_α} Fα(1,n-2) F 0.05 {F_{0.05}} F0.05(1,10)4.965因此拒绝 H 0 {H_0} H0即回归效果是显著的。
3预测值直接把 x 0 {x_0} x035代入回归方程即可 y 0 ^ \hat{y_0} y0^319.0864.185*35465.571 而预测区间需要计算出以下值 其实难度不大主要是记住公式就行。
例三
多元线性回归
X [ 0 0 1 1 1 1 − 1 1 2 0 ] \begin{bmatrix} 0 0 \\ 1 1 \\ 1 1 \\ -1 1 \\ 2 0 \end{bmatrix} 011−1201110 Y [ 0.01 2.98 3.04 − 1.97 4.96 ] \begin{bmatrix} 0.01 \\ 2.98 \\ 3.04 \\ -1.97 \\ 4.96 \end{bmatrix} 0.012.983.04−1.974.96
设y β 1 {β_1} β1 x 1 {x_1} x1 β 2 {β_2} β2 x 2 {x_2} x2ε 求 1试求β 2Y的预测值 Y ^ \hat{Y} Y^ ε ^ \hat{ε} ε^以及残差平方和Q 3决定系数 R 2 {R^2} R2 和 回归平方和U 这题可以算是比较典型的一道多元回归了无论是什么情境下我们都可以总结出X和Y两个矩阵题目无非是要我们求β、Q、U和R²只要记住公式计算正确一般没什么问题。
解 求回归方程YXβε即 求β和ε因为X和Y我们可以从题目中总结出来 首先我们需要求β记住以下公式 β ( X ′ X ) − 1 X ′ Y β{(XX)^{-1}}XY β(X′X)−1X′Y X和Y都是已知的先求X’X再求其逆矩阵一般情况下题目给出的都是二阶矩阵而二阶矩阵的逆矩阵的计算公式为 A − 1 {A^{-1}} A−1 A ∗ ∣ A ∣ {A^*} \over |A| ∣A∣A∗ 即A的伴随矩阵除以A的行列式而二阶矩阵的伴随矩阵有个口诀是“主交换副变号”意思是主对角线的元素对换副对角线的元素变成其相反数。
所以我们计算得到X’X [ 7 1 1 3 ] \begin{bmatrix} 7 1 \\ 1 3 \\ \end{bmatrix} [7113]它的伴随矩阵就是 [ 3 − 1 − 1 7 ] \begin{bmatrix} 3 -1 \\ -1 7 \\ \end{bmatrix} [3−1−17]再除以行列式值为20所以它的逆矩阵 ( X ′ X ) − 1 {(XX)^{-1}} (X′X)−1 [ 0.15 − 0.05 − 0.05 0.35 ] \begin{bmatrix} 0.15 -0.05 \\ -0.05 0.35 \\ \end{bmatrix} [0.15−0.05−0.050.35]
接着再依次乘上X’、Y最终结果为 β [ 2.484 0.522 ] β\begin{bmatrix} 2.484 \\ 0.522 \\ \end{bmatrix} β[2.4840.522]
于是我们就可以把 Y的预测值 计算出来 Y ^ \hat{Y} Y^Xβ [ 0 0 1 1 1 1 − 1 1 2 0 ] \begin{bmatrix} 0 0 \\ 1 1 \\ 1 1 \\ -1 1 \\ 2 0 \end{bmatrix} 011−1201110 [ 2.484 0.522 ] \begin{bmatrix} 2.484 \\ 0.522 \\ \end{bmatrix} [2.4840.522] [ 0 3.006 3.006 − 1.962 4.968 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 3.006 \\ 3.006\\ -1.962 \\ 4.968 \end{bmatrix} 03.0063.006−1.9624.968 ε ^ \hat{ε} ε^ Y {Y} Y- Y ^ \hat{Y} Y^ [ 0.01 − 0.026 0.034 − 0.008 − 0.008 ] \begin{bmatrix} 0.01\\ -0.026 \\ 0.034\\ -0.008 \\ -0.008 \end{bmatrix} 0.01−0.0260.034−0.008−0.008
残差平方和Q 就是 ε ^ \hat{ε} ε^中元素的平方和即 Q ε ^ \hat{ε} ε^ ε ^ \hat{ε} ε^0.00206
接下来计算 回归平方和U等于总偏差平方和-残差平方和 通过矩阵Y和Y的均值 Y ˉ \bar{Y} Yˉ我们可以首先把总偏差平方和算出来 TSS( Y − Y ˉ Y-\bar{Y} Y−Yˉ)( Y − Y ˉ Y-\bar{Y} Y−Yˉ) 或TSS Y ′ Y YY Y′Y-n Y 2 ˉ \bar{Y^2} Y2ˉ 用第一个式子算出TSS30.33252 所以UTSS-Q30.33046
决定系数 为 R 2 U T S S {R^2}{U \over TSS} R2TSSU 所以 R 2 {R^2} R230.33046/30.332520.999932
