网站二维码代码,做淘宝客需要建网站吗,无极在线最新招聘信息兼职,桂林论坛网七星区数学建模笔记——TOPSIS[优劣解距离法] TOPSIS(优劣解距离)法1. 基本概念2. 模型原理3. 基本步骤4. 典型例题4.1 矩阵正向化4.2 正向矩阵标准化4.3 计算得分并归一化4.4 python代码实现 TOPSIS(优劣解距离)法
1. 基本概念
C. L.Hwang和 K.Yoon于1981年首次提出 TOPSIS(Techni… 数学建模笔记——TOPSIS[优劣解距离法] TOPSIS(优劣解距离)法1. 基本概念2. 模型原理3. 基本步骤4. 典型例题4.1 矩阵正向化4.2 正向矩阵标准化4.3 计算得分并归一化4.4 python代码实现 TOPSIS(优劣解距离)法
1. 基本概念
C. L.Hwang和 K.Yoon于1981年首次提出 TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution),可翻译为逼近理想解排序法,国内常简称为优劣解距离法。
TOPSIS法是一种常用的综合评价方法,能充分利用原始数据的信息,其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
TOPSIS法引入了两个基本概念:
理想解:设想的最优的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值;负理想解:设想的最劣的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较,若其中有一个方案最接近理想解,而同时又远离负理想解,则该方案是备选方案中最好的方案。TOPSIS通过最接近理想解且最远离负理想解来确定最优选择。 2. 模型原理
TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序选优技术,在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后(去量纲化)的数据规范化矩阵,找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理归想一解化和反理想解表示),分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,获得各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在0~1之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平;反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。
3. 基本步骤 将原始矩阵正向化 将原始矩阵正向化就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标 将正向化矩阵标准化 标准化的方法有很多种其主要目的就是去除量纲的影响保证不同评价指标在同一数量级且数据大小排序不 计算得分并归一化 S i D i − D i D i − S_{i}\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{}D_{i}^{-}} SiDiDi−Di−,其中 S i S_{i} Si为得分, D i {D_{i}^{}} Di为评价对象与最大值的距离 D i − D_{i}^{-} Di−
为评价对象与最小值的距离。
4. 典型例题 明星Kun想找一个对象但喜欢他的人太多不知道怎么选经过层层考察留下三个候选人。他认为身高165是最好的体重在90-100斤是最好的。 候选人颜值牌气(争吵次数)身高体重A910175120B8716480C6315790 4.1 矩阵正向化
常见的指标类型
指标名称指标特点例子极大型 (效益型) 指标越大(多)越好成绩、 GDP增速、 企业利润极小型 (成本型) 指标越小(少)越好费用、 坏品率、污染程度中间型指标越接近某个值越好水质量评估时的PH值区间型指标落在某个区间最好体温、 水中植物性营养物量
在 TOPSIS 方法中就是要将所有指标进行统一正向化即统一转化为极大型指标。 那么就需要极小型、中间型以及区间型的指标进行转化为极大型指标。
指标名称公式极大型(效益型)指标/极小型(成本型)指标 x ~ m a x − x \tilde{x} max-x x~max−x, x ~ \tilde{x} x~为指标值, m a x max max为指标最大值, x x x为指标值中间型指标 { x i } \{x_i\} {xi} 是一组中间型序列最优值是 x b e s t x_{best} xbest$M max{区间型指标 x i {x_i} xi是一组区间型序列最佳区间为 [ a , b ] [a,b] [a,b]正向化公式如下 M m a x { a − m i n { x i } , m a x { x i } − b } , x ~ i { 1 − a − x i M , x i a 1 , a ≤ x i ≤ b 1 − x i − b M , x i b Mmax\{a-min\{x_i\}, max\{x_i\}-b\}, \widetilde{x}_i\begin{cases}1-\frac{a-x_i}{M}, x_ia\\1, a\leq x_i\leq b\\1-\frac{x_i-b}{M}, x_ib\end{cases} Mmax{a−min{xi},max{xi}−b},x i⎩ ⎨ ⎧1−Ma−xi,xia1,a≤xi≤b1−Mxi−b,xib 颜值为极大型指标 脾气为极小型指标 候选人颜值 m a x max max m a x − x max-x max−xA10100B7103C3107 身高为中间型指标 候选人身高 x b e s t x_{best} xbest| x i − x b e s t x_i-x_{best} xi−xbest| x ^ i \hat{x}_i x^iA175165101B16416511/10C15716588/10 体重为区间型指标 候选人体重 M M M x ^ i \hat{x}_i x^iA120200B80201/2C90201
正向化后的矩阵为
候选人颜值牌气(争吵次数)身高体重A9000B830.90.5C670.21
4.2 正向矩阵标准化
标准化的目的是消除不同指标量纲的影响
假设有n个要评价的对象m个评价指标已经正向化了构成的正向化矩阵如下 X [ x 11 x 12 ⋯ x 1 m x 21 x 22 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 x n 2 ⋯ x n m ] X\begin{bmatrix}x_{11}x_{12}\cdotsx_{1m}\\x_{21}x_{22}\cdotsx_{2m}\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\x_{n1}x_{n2}\cdotsx_{nm}\end{bmatrix} X x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1mx2m⋮xnm 那么对其标准化后的矩阵记为ZZ的每一个元素 z i j x i j ∑ i 1 n x i j 2 z_{ij}\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i1}^nx_{ij}^2}} zij∑i1nxij2 xij 即每一个元素/根号下所在列元素的平方和得到标准化矩阵Z: Z [ z 11 z 12 ⋯ z 1 m z 21 z 22 ⋯ z 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n m ] Z\begin{bmatrix}z_{11}z_{12}\cdotsz_{1m}\\z_{21}z_{22}\cdotsz_{2m}\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\z_{n1}z_{n2}\cdotsz_{nm}\end{bmatrix} Z z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm 标准化后还需要给不同指标加上权重采用的权重确定方法有层次分析法、熵权法、Delphi法、对数最小二乘法。这里认为各个指标权重相同。
对上述矩阵进行标准化得
候选人颜值牌气(争吵次数)身高体重A0.669000B0.5950.3940.9760.447C0.4460.9190.2170.894
4.3 计算得分并归一化
定义最大值 Z ( m a x { z 11 , z 21 , ⋯ , z n 1 } , m a x { z 12 , z 22 , ⋯ , z n 2 } , ⋯ , m a x { z 1 m , z 2 m , ⋯ , z n m } ) Z^(max\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,max\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\}) Z(max{z11,z21,⋯,zn1},max{z12,z22,⋯,zn2},⋯,max{z1m,z2m,⋯,znm}) 定义最小值 Z − ( m i n { z 11 , z 21 , ⋯ , z n 1 } , m i n { z 12 , z 22 , ⋯ , z n 2 } , ⋯ , m i n { z 1 m , z 2 m , ⋯ , z n m } ) Z^-(min\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,min\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\}) Z−(min{z11,z21,⋯,zn1},min{z12,z22,⋯,zn2},⋯,min{z1m,z2m,⋯,znm}) 定义第i (i1,2,…,n) 个评价对象与最大值的距离 D i ∑ j 1 m ( Z j − z i j ) 2 D_i^\sqrt{\sum_{j1}^m(Z_j^-z_{ij})^2} Dij1∑m(Zj−zij)2 定义第i (i1,2,…,n) 个评价对象与最小值的距离 D i − ∑ j 1 m ( Z j − − z i j ) 2 D_i^-\sqrt{\sum_{j1}^m(Z_j^--z_{ij})^2} Di−j1∑m(Zj−−zij)2 那么我们可以计算得出第 i( i1,2,…,n) 个评价对象未归一化的得分 S i D i − D i D i − S_i\frac{D_i^-}{D_i^D_i^-} SiDiDi−Di−
很明显 0≤Si≤1,且 Si 越大 Di 越小即越接近最大值。
我们可以将得分归一化并换成百分制 S i ~ S i ∑ i 1 n S i × 100 \widetilde{S_{\mathrm{i}}}\frac{S_{\mathrm{i}}}{\sum_{i1}^{n}S_{\mathrm{i}}}\times100 Si ∑i1nSiSi×100
4.4 python代码实现
import numpy as np# 从用户输入参评数目和指标数目
print(请输入参评数目)
n int(input())
print(请输入指标数目)
m int(input())# 接受用户输入的类型矩阵
print(请输入类型矩阵1. 极大型 2. 极小型 3. 中间型 4.区间型)
kind input().split( )# 接受用户输入的矩阵并转化为向量
print(请输入矩阵)
A np.zeros(shape(n, m))
for i in range(n):A[i] input().split( )A[i] list(map(float, A[i]))
print(输入矩阵为\n{}.format(A))# 极小型指标转化为极大型指标的函数def minTomax(maxx, x):x list(x)ans [[(maxx-e) for e in x]]return np.array(ans)# 中间型指标转化为极大型指标的函数def midTomax(bestx, x):x list(x)h [abs(e-bestx) for e in x]M max(h)if M 0:M 1 # 防止最大差值为0的情况ans [[1-(e/M) for e in h]]return np.array(ans)# 区间型指标转化为极大型指标的函数def regTomax(lowx, highx, x):x list(x)M max(lowx-min(x), max(x)-highx)if M 0:M 1 # 防止最大差值为0的情况ans []for i in range(len(x)):if x[i] lowx:ans.append(1-(lowx-x[i])/M)elif x[i] highx:ans.append(1-(x[i]-highx)/M)else:ans.append(1)return np.array([ans])# 同一指标类型将所有指标转化为极大型指标
X np.zeros(shape(n, 1))
for i in range(m):if kind[i] 1:v np.array(A[:, i])elif kind[i] 2:maxA max(A[:, i])v minTomax(maxA, A[:, i])elif kind[i] 3:print(类型三请输入最优值)bestA eval(input())v midTomax(bestA, A[:, i])elif kind[i] 4:print(类型四请输入区间[a,b]值a)lowA eval(input())print(类型四请输入区间[a,b]值b)highA eval(input())v regTomax(lowA, highA, A[:, i])if i 0:X v.reshape(-1, 1) # 如果是第一个指标直接赋值else:X np.hstack((X, v.reshape(-1, 1))) # 如果不是第一个指标横向拼接
print(统一指标后矩阵为\n{}.format(X))# 对统一指标后的矩阵进行标准化处理
X X.astype(float) # 将X转化为浮点型
for i in range(m):X[:, i] X[:, i]/np.sqrt(sum(X[:, i]**2)) # 对每一列进行归一化处理即除以该列的欧几里得范数
print(标准化后矩阵为\n{}.format(X))# 最大值和最小值距离的计算
x_max np.max(X, axis0) # 计算每一列的最大值
x_min np.min(X, axis0) # 计算每一列的最小值
# 计算每一个参评对象与最优情况的距离d
d_z np.sqrt(np.sum(np.square(X-np.tile(x_max, (n, 1))), axis1))
# 计算每一个参评对象与最差情况的距离d-
d_f np.sqrt(np.sum(np.square(X-np.tile(x_min, (n, 1))), axis1))
print(每个指标的最大值为{}.format(x_max))
print(每个指标的最小值为{}.format(x_min))# 计算每一个参评对象的综合得分
s d_f/(d_fd_z) # 根据d和d-计算每一个参评对象的得分其中s接近1表示越好接近0表示越差
Score 100*s/sum(s) # 将得分转换为百分制
for i in range(n):print(f第{i1}个参评对象的得分为{Score[i]})
输入
请输入参评数目
3
请输入指标数目
4
请输入类型矩阵1. 极大型 2. 极小型 3. 中间型 4.区间型
1 2 3 4
请输入矩阵
9 10 175 120
8 7 164 80
6 3 157 90
输入矩阵为
[[ 9. 10. 175. 120.][ 8. 7. 164. 80.][ 6. 3. 157. 90.]]
类型三请输入最优值
165
类型四请输入区间[a,b]值a
90
类型四请输入区间[a,b]值b
100输出:
统一指标后矩阵为
[[9. 0. 0. 0. ][8. 3. 0.9 0.5][6. 7. 0.2 1. ]]
标准化后矩阵为
[[0.66896473 0. 0. 0. ][0.59463532 0.3939193 0.97618706 0.4472136 ][0.44597649 0.91914503 0.21693046 0.89442719]]
每个指标的最大值为[0.66896473 0.91914503 0.97618706 0.89442719]
每个指标的最小值为[0.44597649 0. 0. 0. ]
第1个参评对象的得分为8.886366735657832
第2个参评对象的得分为45.653341055701134
第3个参评对象的得分为45.46029220864103
