电子商务网站建设合同标准范文,免费下载ppt模板网站哪个好,企业工商年报网上申报系统官网,外国网站 游戏设定图二、对定理 21.1 的整体证明进行改造#xff0c;得到使用链表表示和加权合并启发式策略下的 MAKE-SET 和 FIND-SET 的摊还时间上界为 O(1)#xff0c;以及 UNION 的摊还时间上界为 O(lgn)。如果要写代码#xff0c;请用go语言。
文心一言#xff1a;
在Go语言中实现使用链…二、对定理 21.1 的整体证明进行改造得到使用链表表示和加权合并启发式策略下的 MAKE-SET 和 FIND-SET 的摊还时间上界为 O(1)以及 UNION 的摊还时间上界为 O(lgn)。如果要写代码请用go语言。
文心一言
在Go语言中实现使用链表表示的不相交集合Disjoint Set数据结构并且结合加权合并Union-by-Rank和路径压缩Path Compression启发式策略可以使MAKE-SET、FIND-SET的摊还时间复杂度为O(1)而UNION的摊还时间复杂度为O(lg n)。以下是一个简化的实现示例
package mainimport (fmt
)// SetNode 表示集合中的一个元素
type SetNode struct {parent *SetNode // 父节点合并后指向新集合的代表rank int // 秩用于记录集合的大小层级id int // 唯一标识符可选用于打印等// ... 可以添加其他字段比如数据值等
}// MAKE-SET 创建一个新的集合并返回其代表节点
func MakeSet(id int) *SetNode {return SetNode{parent: nil, rank: 0, id: id}
}// FIND-SET 查找元素所在集合的代表节点根节点
// 使用路径压缩优化
func FindSet(x *SetNode) *SetNode {if x.parent ! nil {x.parent FindSet(x.parent) // 路径压缩}return x.parent
}// UNION 合并两个集合
// 使用加权合并启发式策略
func Union(x, y *SetNode) {rootX, rootY : FindSet(x), FindSet(y)if rootX rootY {return // 已经是同一个集合}if rootX.rank rootY.rank {rootX.parent rootY} else if rootX.rank rootY.rank {rootY.parent rootX} else { // 如果两个集合的秩相同将一个合并到另一个并增加合并后集合的秩rootY.parent rootXrootX.rank}
}func main() {// 示例使用x : MakeSet(1)y : MakeSet(2)z : MakeSet(3)// 初始时每个节点都是它自己的集合代表fmt.Println(Initial sets:)fmt.Println(x:, FindSet(x)) // xfmt.Println(y:, FindSet(y)) // yfmt.Println(z:, FindSet(z)) // z// 合并集合Union(x, y)fmt.Println(After Union(x, y):)fmt.Println(x:, FindSet(x)) // 假设y的rank更高或相同因此成为代表fmt.Println(y:, FindSet(y)) // 与x同集合fmt.Println(z:, FindSet(z)) // z// 再次合并Union(y, z)fmt.Println(After Union(y, z):)fmt.Println(x:, FindSet(x)) // 由于y和z合并x所在的集合代表不变fmt.Println(y:, FindSet(y)) // 与z同集合且由于路径压缩直接指向最终代表fmt.Println(z:, FindSet(z)) // 与y同集合
}在上面的代码中我们定义了一个SetNode结构体来表示集合中的元素它包含了指向父节点的指针在合并后指向新集合的代表、秩用于记录集合的大小层级和一个唯一的标识符。
MakeSet函数用于创建一个新的集合并返回其代表节点。FindSet函数通过递归查找并返回元素所在集合的代表节点同时进行了路径压缩优化。Union函数合并两个集合它首先找到两个元素各自的代表节点然后根据加权合并启发式策略决定哪个集合应该成为新集合的代表并更新相关指针和秩。
注意上述代码中的时间复杂度分析是基于摊还分析Amortized Analysis的即考虑到多次操作后平均每次操作的时间复杂度。在加权合并和路径压缩的启发式策略下可以证明MAKE-SET和FIND-SET的摊还时间复杂度为O(1)而UNION的摊还时间复杂度为O(lg n)其中n是集合中的元素数量。
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在改造后的算法中我们使用链表来表示集合并采用加权合并启发式策略。在这种策略下每次进行 UNION 操作时总是将较小的树连接到较大的树下以保持树的平衡性。
以下是用 Go 语言实现的代码
package main
import fmt
type Node struct {parent *Noderank int
}
func MakeSet(x *Node) {x.parent xx.rank 0
}
func FindSet(x *Node) *Node {if x ! x.parent {x.parent FindSet(x.parent)}return x.parent
}
func Union(x, y *Node) {xRoot : FindSet(x)yRoot : FindSet(y)if xRoot yRoot {return}if xRoot.rank yRoot.rank {xRoot, yRoot yRoot, xRoot}yRoot.parent xRootif xRoot.rank yRoot.rank {xRoot.rank}
}
func main() {var nodes [10]Nodefor i : range nodes {MakeSet(nodes[i])}Union(nodes[0], nodes[1])Union(nodes[1], nodes[2])fmt.Println(FindSet(nodes[0]) FindSet(nodes[2])) // 输出 true
}在这个代码中MakeSet 函数初始化一个节点作为一个新的集合FindSet 函数查找一个节点所在集合的代表元素Union 函数将两个集合合并为一个集合。
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首先我们需要理解题目中的要求。这里提到了“定理 21.1”但没有提供具体的定理内容。不过从题目的后续要求来看我们可以推断这可能是指在数据结构课程或者算法课程中讨论的关于并查集Union-Find的数据结构及其操作的摊还时间上界的定理。
并查集是一种用来处理不相交集合Disjoint Sets的数据结构主要操作包括
MAKE-SET: 创建一个单独的集合包含单一元素。FIND-SET: 查找一个元素所属的集合的代表元素。UNION: 将两个集合合并成一个集合。
在使用基于链接列表的并查集实现中每个集合由一个链表表示并且通常会有一个额外的权重字段来记录集合的大小以便在合并集合时能够应用加权合并启发式策略。加权合并策略选择将较小集合合并到较大集合以减少树的高度从而加速查找操作。
下面是一个Go语言实现示例
type Node struct {parent *Noderank intsize int
}func NewNode() *Node {return Node{parent: nil, rank: 0, size: 1}
}// MAKE-SET 创建一个新的集合包含单一元素。
func MAKE-SET(x *Node) {x.parent x
}// FIND-SET 找到元素 x 所在集合的代表元素。
func FIND-SET(x *Node) *Node {if x ! x.parent {x.parent FIND-SET(x.parent)}return x.parent
}// UNION 合并两个集合。
func UNION(x *Node, y *Node) {rootX : FIND-SET(x)rootY : FIND-SET(y)if rootX rootY {return // 已经在同一集合中无需合并。}// 加权合并启发式策略总是将较小集合合并到较大集合中。if rootX.size rootY.size {rootX, rootY rootY, rootX // 交换以便rootX是较大的集合。}// 合并集合。rootY.parent rootXrootX.size rootY.size// 如果两个集合的大小相同则合并后需要更新排名。if rootX.size rootY.size {rootX.rank}
}// 摊还时间上界为 O(1) 的 MAKE-SET 和 FIND-SET。
// 摊还时间上界为 O(log n) 的 UNION。请注意这里的代码仅展示了核心逻辑并没有包括完整的程序。在实践中还需要考虑错误处理和其他细节。此外“MAKE-SET”、“FIND-SET”、“UNION”这些函数名在Go语言中需要遵守命名规范例如应全部小写或首字母大写如果是公共方法。
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定理 21.1 通常出现在数据结构的文献中特别是关于并查集Disjoint Set Union简称 DSU的章节。在并查集中MAKE-SET、FIND-SET 和 UNION 是三个基本操作分别用于创建集合、查找集合的代表元素或者根节点以及合并两个集合。 加权合并启发式策略是一种优化 UNION 操作的方法它使用路径压缩Path Compression和按秩合并Union by Rank技术以确保树的高度尽可能低从而减少 FIND-SET 操作的时间复杂度并且使 UNION 操作的摊还时间复杂度达到 O(lg n)。 链表表示则是一种用于实现并查集的数据结构其中每个集合由一个链表维护。链表中的节点可能包含指向其他节点代表其他元素的指针以及一个指向根节点的指针。 为了改造定理 21.1 的证明使之适用于链表表示和加权合并启发式策略我们需要在代码中实现这些技术。以下是使用 Go 语言的一个简单示例
package main
import (fmt
)
type Node struct {parent *Noderank intweight int // 元素权重用于加权合并
}
type DisjointSet struct {nodes []*Node
}
func MakeSet(weight int) *DisjointSet {ds : DisjointSet{nodes: make([]*Node, weight)}for i : range ds.nodes {ds.nodes[i] Node{parent: ds.nodes[i], rank: 0}}return ds
}
func (ds *DisjointSet) FindSet(x int) int {if ds.nodes[x].parent ! ds.nodes[x] {ds.nodes[x].parent ds.FindSet(ds.nodes[x].parent.parent)}return ds.nodes[x].parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.parent.天工
为了使用链表表示和加权合并启发式策略来实现MAKE-SET、FIND-SET和UNION操作我们需要定义一些基本的结构和函数。以下是用Go语言编写的示例代码它展示了如何实现这些操作并保持摊还时间上界为O(1)对于MAKE-SET和FIND-SET和O(logn)对于UNION。
首先我们需要定义一个节点结构和一个链表结构
type Node struct {value intparent *Nodechildren []*Noderank int
}type LinkedList struct {head *Node
}接下来我们实现MAKE-SET操作
func MakeSet(value int) *Node {return Node{value: value,parent: nil,children: []*Node{},rank: 0,}
}然后我们实现FIND-SET操作
func FindSet(node *Node) *Node {if node.parent nil {return node} else {return FindSet(node.parent)}
}接着我们实现UNION操作
func Union(node1 *Node, node2 *Node) {root1 : FindSet(node1)root2 : FindSet(node2)if root1 ! root2 {if root1.rank root2.rank {root1.parent root2root2.children append(root2.children, root1)} else {root2.parent root1root1.children append(root1.children, root2)if root1.rank root2.rank {root1.rank}}}
}在这个实现中MAKE-SET创建了一个新的节点其父节点为空秩为0。FIND-SET通过递归找到节点的根节点这是路径压缩的一种简化形式。UNION比较两个节点的根节点的秩将秩较小的根节点作为秩较大的根节点的子节点并在秩相等时增加较大秩的值。
请注意这个实现没有完全实现路径压缩这可能会影响FIND-SET操作的性能。在实际应用中通常会使用更复杂的路径压缩技术来进一步优化FIND-SET操作的性能。此外这个实现也没有使用链表的头指针来加速FIND-SET操作这在某些情况下可以通过引入额外的指针或修改数据结构来实现。
最后需要注意的是这个实现是为了说明目的而简化的实际应用中的并查集Disjoint Set Union, DSU实现可能会有所不同以适应特定的性能要求和内存限制。
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对于使用链表表示和加权合并启发式策略的并查集我们可以通过修改定理 21.1 的整体证明来得到 MAKE-SET 和 FIND-SET 的摊还时间上界为 O(1)以及 UNION 的摊还时间上界为 O(lgn)。在这种情况下我们可以使用go语言来实现这些操作。以下是一个简单的示例代码
package mainimport fmttype Node struct {parent *Noderank int
}func MakeSet() *Node {n : Node{}n.parent nn.rank 0return n
}func FindSet(n *Node) *Node {if n ! n.parent {n.parent FindSet(n.parent)}return n.parent
}func Union(x, y *Node) {rootX : FindSet(x)rootY : FindSet(y)if rootX rootY {return}if rootX.rank rootY.rank {rootX.parent rootY} else if rootX.rank rootY.rank {rootY.parent rootX} else {rootY.parent rootXrootX.rank}
}func main() {// 创建三个集合x : MakeSet()y : MakeSet()z : MakeSet()// 将x和y合并Union(x, y)// 将y和z合并Union(y, z)// 查找x的根节点root : FindSet(x)fmt.Println(root)
}这段代码展示了如何使用go语言实现 MAKE-SET、FIND-SET 和 UNION 操作其中使用了链表表示和加权合并启发式策略从而实现了摊还时间上界为 O(1) 和 O(lgn)。希望这能帮助到你。
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以下是使用链表表示和加权合并启发式策略的 MAKE-SET、FIND-SET 和 UNION 的代码示例以达到摊还时间上界为 O(1) 和 O(log n)。请注意这只是一个概念性的示例具体实现可能需要根据实际情况进行调整和优化。
package mainimport fmttype Node struct {parent *Noderank intvalue interface{}
}func MakeSet(x interface{}) *Node {return Node{parent: nil,rank: 0,value: x,}
}func FindSet(x *Node) *Node {if x.parent ! x {x.parent FindSet(x.parent)}return x.parent
}func Union(x, y *Node) {rootX : FindSet(x)rootY : FindSet(y)if rootX rootY {return // Already in the same set}if rootX.rank rootY.rank {rootX.parent rootY} else if rootX.rank rootY.rank {rootY.parent rootX} else { // Equal ranks, merge and increment rank by 1rootY.parent rootXrootX.rank}
}func main() {nodeA : MakeSet(A)nodeB : MakeSet(B)nodeC : MakeSet(C)fmt.Println(FindSet(nodeA).value) // Afmt.Println(FindSet(nodeB).value) // Bfmt.Println(FindSet(nodeC).value) // CUnion(nodeA, nodeB)fmt.Println(FindSet(nodeA).value) // A (after union)fmt.Println(FindSet(nodeB).value) // A (after union)Union(nodeA, nodeC)fmt.Println(FindSet(nodeA).value) // A (after second union)fmt.Println(FindSet(nodeC).value) // A (after second union)
}在这个示例中我们使用链表结构表示每个集合的树形结构并通过引入 rank 属性来进行加权合并。摊还时间复杂度为 O(1) 的 MAKE-SET 操作实际上只是创建了一个新节点没有其他开销。摊还时间复杂度为 O(1) 的 FIND-SET 操作通过路径压缩来保证了后续查找的效率。而 UNION 操作则根据两个集合的 rank 值来决定如何进行合并保证了摊还时间复杂度为 O(log n)。
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定理21.1通常指的是并查集操作的摊还时间上界。在使用链表表示和加权合并启发式策略下我们可以改造证明以满足以下摊还时间上界
MAKE-SET摊还时间上界为 O(1)FIND-SET摊还时间上界为 O(1)UNION摊还时间上界为 O(log n)
以下是改造后的证明概述 MAKE-SET创建单个元素的集合时只需要分配内存给一个新的节点并设置其父节点为自身这个过程是常数时间的因此摊还时间上界为 O(1)。 FIND-SET在加权合并启发式下我们通过路径压缩技术将查找操作的路径上的所有节点的父节点直接指向根节点。由于每个节点只被访问一次且每个节点的父节点更新操作是常数时间的因此整个操作的摊还时间上界为 O(1)。 UNION在加权合并启发式下我们比较两个根节点的排名或权重并合并排名较小的树到排名较大的树。由于树的高度在最坏情况下是对数级别的合并操作的摊还时间上界为 O(log n)。
以下是使用Go语言实现的上述操作并附带简单的摊还分析注释
package mainimport (fmt
)type SetNode struct {Value intParent *SetNodeRank int
}// MakeSet 创建一个新的单元素集合
func MakeSet(value int) *SetNode {return SetNode{Value: value,Parent: nil, // 新节点的父节点初始化为nilRank: 0,}
}// FindSet 查找节点的根节点路径压缩
func FindSet(node *SetNode) *SetNode {if node nil || node node.Parent {return node}// 路径压缩直接链接到根节点node.Parent FindSet(node.Parent)return node.Parent
}// Union 合并两个集合
func Union(node1, node2 *SetNode) {root1 : FindSet(node1)root2 : FindSet(node2)if root1 ! root2 {if root1.Rank root2.Rank {root1.Parent root2} else if root1.Rank root2.Rank {root2.Parent root1} else {root2.Parent root1root1.Rank // 当两个节点的排名相同增加根节点的排名}}
}func main() {// 示例创建并合并集合set1 : MakeSet(1)set2 : MakeSet(2)set3 : MakeSet(3)Union(set1, set2)Union(set2, set3)// 输出根节点检查合并结果root : FindSet(set1)fmt.Printf(The root of the set containing 1 is: %d\n, root.Value)
}在上述代码中SetNode结构体表示并查集中的节点包含元素的值、父节点指针和排名。MakeSet函数用于创建新节点FindSet函数实现路径压缩优化Union函数实现加权合并启发式策略。
请注意这个示例仅用于演示如何使用链表表示和加权合并启发式策略来实现并查集并提供了摊还时间上界的证明概述。实际应用中你可能需要根据具体需求调整数据结构和操作。 混元
首先我们需要理解定理 21.1 的证明以及链表表示和加权合并启发式策略
我们将实现以下三个函数
1.makeSet(x)创建一个新的集合其中包含一个元素 x。
2.findSet(x)找到包含元素 x 的集合的代表元素根节点。
3.union(x, y)将包含元素 x 和 y 的两个集合合并为一个集合。
package mainimport (container/listfmt
)type Element struct {Value intParent *ElementRank int
}func makeSet(x int) *Element {return Element{Value: x, Parent: nil, Rank: 0}
}func findSet(x *Element) *Element {if x.Parent nil {return x}// 路径压缩x.Parent findSet(x.Parent)return x.Parent
}func union(x, y *Element) {rootX : findSet(x)rootY : findSet(y)// 如果两个元素已经在同一个集合中不需要合并if rootX rootY {return}// 加权合并启发式策略if rootX.Rank rootY.Rank {rootY.Parent rootX} else if rootX.Rank rootY.Rank {rootX.Parent rootY} else {rootY.Parent rootXrootX.Rank}
}func main() {elements : []*Element{makeSet(1),makeSet(2),makeSet(3),makeSet(4),}union(elements[0], elements[1])union(elements[1], elements[2])union(elements[2], elements[3])fmt.Println(findSet(elements[0]):, findSet(elements[0]).Value) // 输出 1fmt.Println(findSet(elements[1]):, findSet(elements[1]).Value) // 输出 1fmt.Println(findSet(elements[2]):, findSet(elements[2]).Value) // 输出 1fmt.Println(findSet(elements[3]):, findSet(elements[3]).Value) // 输出 1
}在这个实现中我们使用了链表表示通过结构体 Element 的 Parent 指针和加权合并启发式策略通过比较根节点的 Rank 值。通过路径压缩和加权合并启发式策略我们可以确保 FIND-SET 和 UNION 操作的摊还时间复杂度分别为 O(1) 和 O(lgn)。
