和先锋影音和做的网站,网站建设现状,免费起名网最好的网站,平台是什么意思有哪些Title: [笔记] 仿射变换性质的代数证明 文章目录 I. 仿射变换的代数表示II. 仿射变换的性质III. 同素性的代数证明1. 点变换为点2. 直线变换为直线 IV. 结合性的代数证明1. 直线上一点映射为直线上一点2. 直线外一点映射为直线外一点 V. 保持单比的代数证明VI. 平行性的代数证明…Title: [笔记] 仿射变换性质的代数证明 文章目录 I. 仿射变换的代数表示II. 仿射变换的性质III. 同素性的代数证明1. 点变换为点2. 直线变换为直线 IV. 结合性的代数证明1. 直线上一点映射为直线上一点2. 直线外一点映射为直线外一点 V. 保持单比的代数证明VI. 平行性的代数证明参考文献 I. 仿射变换的代数表示
平面上点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 经过仿射变换 T T T 变为点 P ′ ( x ′ , y ′ ) P(x, y) P′(x′,y′), 则两点坐标 ( x , y ) (x,y ) (x,y) 和 ( x ′ , y ′ ) (x, y) (x′,y′) 之间的关系即为仿射变换的代数表示. 需注意仿射坐标系不一定是直角坐标系.
平面上的仿射变换在仿射坐标系下的代数表示为 { x ′ a 11 x a 12 y a 13 y ′ a 21 x a 22 y a 23 (I-1) \left\{ \begin{aligned} x a_{11} x a_{12} y a_{13}\\ y a_{21} x a_{22} y a_{23} \end{aligned} \right. \tag{I-1} {x′a11xa12ya13y′a21xa22ya23(I-1) 其中 Δ ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ ≠ 0 (I-2) \Delta \left|\begin{matrix}a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{matrix}\right| \neq 0 \tag{I-2} Δ a11a21a12a22 0(I-2) 也就是仿射变换是可逆变换, 其逆变换可以写成 { x a 11 ′ x ′ a 12 ′ y ′ a 13 ′ y a 21 ′ x ′ a 22 ′ y ′ a 23 ′ (I-3) \left\{ \begin{aligned} x a_{11} x a_{12} y a_{13}\\ y a_{21} x a_{22} y a_{23} \end{aligned} \right. \tag{I-3} {xa11′x′a12′y′a13′ya21′x′a22′y′a23′(I-3) 其中 Δ ′ ∣ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ∣ ≠ 0 (I-4) \Delta \left|\begin{matrix}a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{matrix}\right| \neq 0 \tag{I-4} Δ′ a11′a21′a12′a22′ 0(I-4) 可知 [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ 1 0 0 1 ] (I-5) \begin{bmatrix}a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 0 \\ 0 1 \end{bmatrix} \tag{I-5} [a11a21a12a22][a11′a21′a12′a22′][1001](I-5) 及 [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ 1 0 0 1 ] (I-6) \begin{bmatrix}a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 0 \\ 0 1 \end{bmatrix} \tag{I-6} [a11′a21′a12′a22′][a11a21a12a22][1001](I-6) II. 仿射变换的性质
- 保持同素性 (点变换为点, 直线变换为直线)
- 保持结合性 (点和直线的结合关系)
- 保持共线三点的单比不变
- 保持直线的平行性 III. 同素性的代数证明
1. 点变换为点
定义式 (I-1) 即是证明. 2. 直线变换为直线
假设有一直线方程为 a x b y c 0 (III-2-1) ax by c 0 \tag{III-2-1} axbyc0(III-2-1) 其中 a 2 b 2 ≠ 0 a^2 b^2 \neq 0 a2b20.
在仿射变换下有式 (I-3), 代入式 (III-2-1) 得到 a ( a 11 ′ x ′ a 12 ′ y ′ a 13 ′ ) b ( a 21 ′ x ′ a 22 ′ y ′ a 23 ′ ) c 0 ⇒ ( a a 11 ′ b a 21 ′ ) x ′ ( a a 12 ′ b a 22 ′ ) y ′ ( a a 13 ′ b a 23 ′ c ) 0 (III-2-2) \begin{aligned} a(a_{11} x a_{12} y a_{13}) b(a_{21} x a_{22} y a_{23}) c 0\\ \Rightarrow \quad (a a_{11} b a_{21}) x (aa_{12} b a_{22}) y (a a_{13} b a_{23} c) 0 \end{aligned} \tag{III-2-2} a(a11′x′a12′y′a13′)b(a21′x′a22′y′a23′)c0⇒(aa11′ba21′)x′(aa12′ba22′)y′(aa13′ba23′c)0(III-2-2) 另外, 由仿射变换的可逆性质式 (I-3) 可知 ∣ a 11 ′ a 21 ′ a 12 ′ a 22 ′ ∣ ≠ 0 (III-2-3) \left|\begin{matrix} a_{11} a_{21} \\ a_{12} a_{22} \end{matrix} \right| \neq 0 \tag{III-2-3} a11′a12′a21′a22′ 0(III-2-3) 则使得下式 [ a a 11 ′ b a 21 ′ a a 12 ′ b a 22 ′ ] [ a 11 ′ a 21 ′ a 12 ′ a 22 ′ ] [ a b ] [ 0 0 ] (III-2-4) \begin{bmatrix}a a_{11} b a_{21} \\ aa_{12} b a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11} a_{21} \\ a_{12} a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix} \tag{III-2-4} [aa11′ba21′aa12′ba22′][a11′a12′a21′a22′][ab][00](III-2-4) 成立的解仅为 ( a , b ) ( 0 , 0 ) (a, b) (0, 0) (a,b)(0,0), 但与条件矛盾. 故 ( a a 11 ′ b a 21 ′ ) (a a_{11} b a_{21}) (aa11′ba21′) 与 ( a a 12 ′ b a 22 ′ ) (aa_{12} b a_{22}) (aa12′ba22′) 不能同时为零.
即式 (III-2-2) 中变量 x ′ x x′ 和 y ′ y y′ 前的系数满足 ( a a 11 ′ b a 21 ′ ) 2 ( a a 12 ′ b a 22 ′ ) 2 ≠ 0 (III-2-5) (a a_{11} b a_{21})^2 (aa_{12} b a_{22})^2 \neq 0 \tag{III-2-5} (aa11′ba21′)2(aa12′ba22′)20(III-2-5) 即式 (III-2-2) 必然为直线方程. 所以直线方程经过仿射变换后仍然为直线方程, 直线经过仿射变换后仍为直线. IV. 结合性的代数证明
1. 直线上一点映射为直线上一点
已知一点 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 在直线 a x b y c 0 axbyc 0 axbyc0 上 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ 满足 a x 1 b y 1 c 0 ax_1 by_1 c 0 ax1by1c0.
下面证明仿射变换后的新点在仿射变换后的新直线上.
点 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 经过仿射变换后得到新点 ( x 1 ′ , y 1 ′ ) (x_1, y_1) (x1′,y1′) { x 1 ′ a 11 x 1 a 12 y 1 a 13 y 1 ′ a 21 x 1 a 22 y 1 a 23 (IV-1-1) \left\{ \begin{aligned} x_1 a_{11} x_1 a_{12} y_1 a_{13}\\ y_1 a_{21} x_1 a_{22} y_1 a_{23} \end{aligned} \right. \tag{IV-1-1} {x1′a11x1a12y1a13y1′a21x1a22y1a23(IV-1-1) 由同素性式 (III-2-2), 直线 a x b y c 0 axbyc 0 axbyc0 经过仿射变换后得到新的直线方程 ( a a 11 ′ b a 21 ′ ) x ′ ( a a 12 ′ b a 22 ′ ) y ′ ( a a 13 ′ b a 23 ′ c ) 0 (IV-1-2) (a a_{11} b a_{21}) x (aa_{12} b a_{22}) y (a a_{13} b a_{23} c) 0 \tag{IV-1-2} (aa11′ba21′)x′(aa12′ba22′)y′(aa13′ba23′c)0(IV-1-2) 将仿射变换后的新点坐标式 (IV-1-1) 代入上式的左侧得到 LHS ( a a 11 ′ b a 21 ′ ) ( a 11 x 1 a 12 y 1 a 13 ) ‾ ( a a 12 ′ b a 22 ′ ) ( a 21 x 1 a 22 y 1 a 23 ) ‾ ( a a 13 ′ b a 23 ′ c ) ( a a 11 ′ b a 21 ′ ) a 11 x 1 ( a a 12 ′ b a 22 ′ ) a 21 x 1 ( a a 11 ′ b a 21 ′ ) a 12 y 1 ( a a 12 ′ b a 22 ′ ) a 22 y 1 ( a a 11 ′ b a 21 ′ ) a 13 ( a a 12 ′ b a 22 ′ ) a 23 ( a a 13 ′ b a 23 ′ c ) ( a a 11 ′ a 11 a a 12 ′ a 21 b a 21 ′ a 11 b a 22 ′ a 21 ) x 1 ( a a 11 ′ a 12 a a 12 ′ a 22 b a 21 ′ a 12 b a 22 ′ a 22 ) y 1 ( a a 11 ′ a 13 a a 12 ′ a 23 a a 13 ′ b a 21 ′ a 13 b a 22 ′ a 23 b a 23 ′ ) c [ a b ] [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 11 a 21 ] x 1 [ a b ] [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 12 a 22 ] y 1 [ a b ] { [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 13 a 23 ] [ a 13 ′ a 23 ′ ] } c (IV-1-3) \begin{aligned} \text{LHS}\ \ (a a_{11} b a_{21})\underline{(a_{11} x_1 a_{12} y_1 a_{13})} (aa_{12} b a_{22}) \underline{(a_{21} x_1 a_{22} y_1 a_{23})} (a a_{13} b a_{23} c)\\ \ (a a_{11} b a_{21})a_{11} x_1 (aa_{12} b a_{22}) a_{21} x_1 \\ {} (a a_{11} b a_{21}) a_{12} y_1 (aa_{12} b a_{22}) a_{22} y_1 \\ {} (a a_{11} b a_{21}) a_{13} (aa_{12} b a_{22}) a_{23} (a a_{13} b a_{23} c)\\ \ (a a_{11}a_{11} aa_{12} a_{21} b a_{21}a_{11} b a_{22} a_{21}) x_1 \\ {} (a a_{11}a_{12} a a_{12} a_{22} b a_{21} a_{12} b a_{22} a_{22}) y_1\\ {} (a a_{11} a_{13} aa_{12} a_{23} a a_{13} b a_{21} a_{13} b a_{22} a_{23} b a_{23}) \\ c\\ \ \begin{bmatrix} a b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21}\end{bmatrix} x_1 \\ {} \begin{bmatrix} a b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22}\end{bmatrix} y_1 \\ {} \begin{bmatrix} a b\end{bmatrix} \left\{\begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{13} \\ a_{23}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{13} \\ a_{23}\end{bmatrix}\right\} \\ {} c \end{aligned} \tag{IV-1-3} LHS (aa11′ba21′)(a11x1a12y1a13)(aa12′ba22′)(a21x1a22y1a23)(aa13′ba23′c)(aa11′ba21′)a11x1(aa12′ba22′)a21x1(aa11′ba21′)a12y1(aa12′ba22′)a22y1(aa11′ba21′)a13(aa12′ba22′)a23(aa13′ba23′c)(aa11′a11aa12′a21ba21′a11ba22′a21)x1(aa11′a12aa12′a22ba21′a12ba22′a22)y1(aa11′a13aa12′a23aa13′ba21′a13ba22′a23ba23′)c[ab][a11′a21′a12′a22′][a11a21]x1[ab][a11′a21′a12′a22′][a12a22]y1[ab]{[a11′a21′a12′a22′][a13a23][a13′a23′]}c(IV-1-3) 由式 (I-6) 可知 [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 11 a 21 ] [ 1 0 ] (IV-1-4) \begin{bmatrix}a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{IV-1-4} [a11′a21′a12′a22′][a11a21][10](IV-1-4) 和 [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 12 a 22 ] [ 0 1 ] (IV-1-5) \begin{bmatrix}a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{12} \\ a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} \tag{IV-1-5} [a11′a21′a12′a22′][a12a22][01](IV-1-5) 由仿射变换式 (I-1) 可知原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的像为 ( a 13 , a 23 ) (a_{13}, a_{23}) (a13,a23), 即 { x o ′ a 11 0 a 12 0 a 13 a 13 y o ′ a 21 0 a 22 0 a 23 a 23 (IV-1-6) \left\{ \begin{aligned} x_{o} a_{11} 0 a_{12} 0 a_{13} a_{13}\\ y_{o} a_{21} 0 a_{22} 0 a_{23} a_{23} \end{aligned} \right. \tag{IV-1-6} {xo′a110a120a13a13yo′a210a220a23a23(IV-1-6) 相反地, 原点的像 ( a 13 , a 23 ) (a_{13}, a_{23}) (a13,a23) 经过仿射变换逆映射式 (I-3) 后回到原点, 即 { 0 a 11 ′ a 13 a 12 ′ a 23 a 13 ′ 0 a 21 ′ a 13 a 22 ′ a 23 a 23 ′ (IV-1-7) \left\{ \begin{aligned} 0 a_{11} a_{13} a_{12} a_{23} a_{13}\\ 0 a_{21} a_{13} a_{22} a_{23} a_{23} \end{aligned} \right. \tag{IV-1-7} {0a11′a13a12′a23a13′0a21′a13a22′a23a23′(IV-1-7) 上式写成矩阵形式为 [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 13 a 23 ] [ a 13 ′ a 23 ′ ] [ 0 0 ] (IV-1-8) \begin{bmatrix}a_{11} a_{12}\\a_{21} a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{13} \\ a_{23} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{13} \\ a_{23} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix} \tag{IV-1-8} [a11′a21′a12′a22′][a13a23][a13′a23′][00](IV-1-8) 将式 (IV-1-4)、(IV-1-5)、(IV-1-8) 代入式 (IV-1-3), 即仿射变换后的新点坐标式 (IV-1-1) 左侧为 LHS [ a b ] [ 1 0 ] x 1 [ a b ] [ 0 1 ] y 1 [ a b ] [ 0 0 ] c a x 1 b y 1 c 0 (IV-1-9) \begin{aligned} \text{LHS}\ \ \begin{bmatrix} a b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} x_1 {} \begin{bmatrix} a b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} y_1 {} \begin{bmatrix} a b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix} {} c\\ \ a x_1 {} b y_1 {} c\\ \ 0 \end{aligned} \tag{IV-1-9} LHS [ab][10]x1[ab][01]y1[ab][00]cax1by1c0(IV-1-9) 也就是说, 点 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 经过仿射变换后得到的新点 ( x 1 ′ , y 1 ′ ) (x_1, y_1) (x1′,y1′) 满足直线 a x b y c 0 axbyc 0 axbyc0 进过仿射变换后得到的新直线方程式 (IV-1-2).
即直线上一点经过仿射变换后仍然在经过仿射变换后的直线上. 2. 直线外一点映射为直线外一点
如果存在仿射变换 φ \varphi φ 可以将直线 l l l 外一点 P P P 映射为直线 l ′ l l′ 上一点 P ′ P P′, 即 φ : l ↦ l ′ φ : P ↦ P ′ P ∉ l , P ′ ∈ l ′ (IV-2-1) \varphi:l \mapsto l\\ \varphi:P \mapsto P \\ P \notin l, P \in l\tag{IV-2-1} φ:l↦l′φ:P↦P′P∈/l,P′∈l′(IV-2-1) 因为仿射变换的逆变换仍然是仿射变换, 即 φ − 1 \varphi^{-1} φ−1 仍然是仿射变换.
由已证明的 “直线上一点映射为直线上一点”, 可知经过逆仿射变换 φ − 1 \varphi^{-1} φ−1, 直线 l ′ l l′ 上点 P ′ P P′ 映射为直线 l l l 上点 P P P.
即已知像点 P ′ P P′ 在直线 l ′ l l′ 上时, 原像点 P P P 必在直线 l l l 上.
假设矛盾, 证毕. V. 保持单比的代数证明
共线三点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)、 P 1 ( x 1 , y 1 ) P_1(x_1, y_1) P1(x1,y1)、 P 2 ( x 2 , y 2 ) P_2(x_2, y_2) P2(x2,y2) 的单比为 ( P 1 P 2 P ) x − x 1 x − x 2 y − y 1 y − y 2 k (V-1) (P_1 P_2 P) \frac{x-x_1}{x - x_2}\frac{y-y_1}{y-y_2}k \tag{V-1} (P1P2P)x−x2x−x1y−y2y−y1k(V-1) 即 x − x 1 k ( x − x 2 ) y − y 1 k ( y − y 2 ) (V-2) {x-x_1} k(x - x_2)\\ {y-y_1} k(y-y_2) \tag{V-2} x−x1k(x−x2)y−y1k(y−y2)(V-2) 经过仿射变换后得到 P ′ ( x ′ , y ′ ) P(x,y) P′(x′,y′)、 P 1 ′ ( x 1 ′ , y 1 ′ ) P_1(x_1, y_1) P1′(x1′,y1′)、 P 2 ′ ( x 2 ′ , y 2 ′ ) P_2(x_2, y_2) P2′(x2′,y2′). 由仿射变换的结合性可知, P ′ P P′、 P 1 ′ P_1 P1′、 P 2 ′ P_2 P2′ 三点仍然共线. 共线三点可计算单比 ( P 1 ′ P 2 ′ P ′ ) x ′ − x 1 ′ x ′ − x 2 ′ y ′ − y 1 ′ y ′ − y 2 ′ k ′ (V-3) (P_1 P_2 P) \frac{x-x_1}{x - x_2}\frac{y-y_1}{y-y_2}k \tag{V-3} (P1′P2′P′)x′−x2′x′−x1′y′−y2′y′−y1′k′(V-3) 由仿射变换式 (I-1) 并结合式 (V-2), 可知 k ′ x ′ − x 1 ′ x ′ − x 2 ′ a 11 x a 12 y a 13 − ( a 11 x 1 a 12 y 1 a 13 ) a 11 x a 12 y a 13 − ( a 11 x 2 a 12 y 2 a 13 ) a 11 ( x − x 1 ) a 12 ( y − y 1 ) a 11 ( x − x 2 ) a 12 ( y − y 2 ) k a 11 ( x − x 2 ) k a 12 ( y − y 2 ) a 11 ( x − x 2 ) a 12 ( y − y 2 ) k (V-4) \begin{aligned} k \frac{x-x_1}{x - x_2} \\ \frac{a_{11} x a_{12} y a_{13} - (a_{11} x_1 a_{12} y_1 a_{13})}{a_{11} x a_{12} y a_{13} - (a_{11} x_2 a_{12} y_2 a_{13})}\\ \frac{a_{11} (x-x_1) a_{12} (y-y_1)}{a_{11} (x-x_2) a_{12} (y-y_2)}\\ \frac{k a_{11} (x-x_2) k a_{12} (y-y_2)}{a_{11} (x-x_2) a_{12} (y-y_2)}\\ k \end{aligned}\tag{V-4} k′x′−x2′x′−x1′a11xa12ya13−(a11x2a12y2a13)a11xa12ya13−(a11x1a12y1a13)a11(x−x2)a12(y−y2)a11(x−x1)a12(y−y1)a11(x−x2)a12(y−y2)ka11(x−x2)ka12(y−y2)k(V-4) 即单比保持不变. VI. 平行性的代数证明
已知两条直线 l 1 l_1 l1 和 l 2 l_2 l2 平行, 则该两条直线的方程可写为 { l 1 : a x b y c 1 0 l 2 : a x b y c 2 0 (VI-1) \left\{ \begin{aligned} l_1: axbyc_10\\ l_2: axbyc_20 \end{aligned} \right. \tag{VI-1} {l1:axbyc10l2:axbyc20(VI-1) 其中 c 1 ≠ c 2 c_1 \neq c_2 c1c2. (注意仿射坐标系不一定为直角坐标系)
由同素性证明中式 (III-1-2) , 直线 l 1 l_1 l1 和 l 2 l_2 l2 经过仿射变换的方程式分别为 l 1 ′ : ( a a 11 ′ b a 21 ′ ) x ′ ( a a 12 ′ b a 22 ′ ) y ′ ( a a 13 ′ b a 23 ′ c 1 ) 0 l 2 ′ : ( a a 11 ′ b a 21 ′ ) x ′ ( a a 12 ′ b a 22 ′ ) y ′ ( a a 13 ′ b a 23 ′ c 2 ) 0 l_1: (a a_{11} b a_{21}) x (aa_{12} b a_{22}) y (a a_{13} b a_{23} c_1) 0\\ l_2: (a a_{11} b a_{21}) x (aa_{12} b a_{22}) y (a a_{13} b a_{23} c_2) 0 l1′:(aa11′ba21′)x′(aa12′ba22′)y′(aa13′ba23′c1)0l2′:(aa11′ba21′)x′(aa12′ba22′)y′(aa13′ba23′c2)0 其中 a a 13 ′ b a 23 ′ c 1 ≠ a a 13 ′ b a 23 ′ c 2 a a_{13} b a_{23} c_1 \neq a a_{13} b a_{23} c_2 aa13′ba23′c1aa13′ba23′c2, 而两者的方向数相同.
可知经过仿射变换后 l 1 ′ l_1 l1′ 和 l 2 ′ l_2 l2′ 仍然平行. 参考文献
[1] 梅向明, 刘增贤, 王汇淳, 王智秋, 高等几何(第四版), 高等教育出版社, 2020 版权声明本文为博主原创文章遵循 CC 4.0 BY 版权协议转载请附上原文出处链接和本声明。 本文链接https://blog.csdn.net/woyaomaishu2/article/details/142771571 本文作者wzfrobotics_notes
