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对于普通的数学工作者而言#xff0c;掌握矩阵、线性空间的基本性质和用法比领会抽象的概念更实用。数学专业的同学需要全面深入学习近世代数的理论和演绎法则#xff0c;例如模的概念和运算。 总之#xff0c;我个人认为#xff0c;不论是微积分、还是线性代数…前言
对于普通的数学工作者而言掌握矩阵、线性空间的基本性质和用法比领会抽象的概念更实用。数学专业的同学需要全面深入学习近世代数的理论和演绎法则例如模的概念和运算。 总之我个人认为不论是微积分、还是线性代数或者是统计学多从有形的例子着手学习最核心最实用的部分辅以一定数量的习题练习是一种有效的学习方法。
向量空间-线性变换-线性变换的表示矩阵
线性代数的核心思想
任何一个n维空间中的元素都可以通过一个向量(x1,x2,...,xn)(x_1, x_2, ...,x_n)(x1,x2,...,xn)来定位或者说n维空间中每个点都有一个坐标。有的书上也把这种n维空间叫向量空间。
矩阵是什么以下几种理解都是正确的
一个矩阵可以表示从n维空间到m维空间的线性变换或者叫映射一个矩阵对应了一个运动一个矩阵对应了一个坐标系。因为运动既可以看成是点的运动也可以看成是坐标系的运动。如果选取了某个坐标系作为标准坐标系或者叫参照坐标系那其它坐标系的基就可以表示成这个参照系的线性组合也就是每个基对应一个向量那所有基的坐标就构成了一个矩阵。
所以一个矩阵乘以一个向量: A∗xA*xA∗x 就是把一个向量映射到一个新的向量。这个矩阵的每一行对应的是新的坐标系的基的坐标。为什么矩阵乘法定义为向量内积的方式因为内积代表着新的向量在旧的向量上的投影。
这里需要举个例子才能说得更明白。
基本概念
特征值特征向量行列式trace。
矩阵的乘法
基本性质
行列式为0 不满秩 不可逆行列式等于特征值的乘积二维矩阵的行列式等于平行四边形的面积三维矩阵的行列式对应的是平行六面体的体积…更高维度上也可以延伸出同样的类似于“体积”的定义。对称矩阵的特征向量相互之间正交矩阵的迹(trace)等于特征值之和
矩阵的相似
TODO
矩阵的分解和分块计算
A 有n 个相异的特征值, 则A 可对角化
书籍推荐
线性代数方法导引-屠伯埙高等代数-屠伯埙 我本科时的线性代数教材屠伯埙亲自指导上课。
