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贝尔曼方程
贝尔曼方程#xff08;Bellman Equation#xff09;是动态规划中的一个核心概念#xff0c;用于解决最优决策问题。贝尔曼方程通过递归的方式#xff0c;将问题分解为子问题#xff0c;从而使得最优策略的求解变得可行。贝尔曼方程广泛应用…马尔科夫决策过程
贝尔曼方程
贝尔曼方程Bellman Equation是动态规划中的一个核心概念用于解决最优决策问题。贝尔曼方程通过递归的方式将问题分解为子问题从而使得最优策略的求解变得可行。贝尔曼方程广泛应用于马尔科夫决策过程MDP中用于计算状态值或行动值。
贝尔曼方程的基本形式
在马尔科夫决策过程中贝尔曼方程有两种主要形式状态价值函数形式和行动价值函数形式。
1. 状态价值函数形式
状态价值函数 ( V(s) ) 表示在状态 ( s ) 下遵循策略 ( \pi ) 所能获得的预期累计奖励。对于一个给定的策略 ( \pi )贝尔曼方程为 V π ( s ) ∑ a ∈ A π ( a ∣ s ) ∑ s ′ ∈ S P ( s ′ ∣ s , a ) [ R ( s , a ) γ V π ( s ′ ) ] V^\pi(s) \sum_{a \in A} \pi(a \mid s) \sum_{s \in S} P(s \mid s, a) \left[ R(s, a) \gamma V^\pi(s) \right] Vπ(s)a∈A∑π(a∣s)s′∈S∑P(s′∣s,a)[R(s,a)γVπ(s′)] 其中 π ( a ∣ s ) 在状态 s 下选择动作 a 的概率 \pi(a \mid s)在状态 s 下选择动作 a 的概率 π(a∣s)在状态s下选择动作a的概率 P ( s ′ ∣ s , a ) 在状态 s 下采取动作 a 后转移到状态 s ′ 的概率。 P(s \mid s, a) 在状态 s 下采取动作 a 后转移到状态 s 的概率。 P(s′∣s,a)在状态s下采取动作a后转移到状态s′的概率。 R ( s , a ) 在状态 s 下采取动作 a 所获得的即时奖励 R(s, a) 在状态 s 下采取动作 a 所获得的即时奖励 R(s,a)在状态s下采取动作a所获得的即时奖励 γ 折现因子用于平衡当前奖励与未来奖励。 \gamma 折现因子用于平衡当前奖励与未来奖励。 γ折现因子用于平衡当前奖励与未来奖励。
最优状态价值函数 ( V^*(s) ) 是在所有策略中使得状态 ( s ) 下累计奖励最大的价值函数 V ∗ ( s ) max a ∑ s ′ ∈ S P ( s ′ ∣ s , a ) [ R ( s , a ) γ V ∗ ( s ′ ) ] V^*(s) \max_a \sum_{s \in S} P(s \mid s, a) \left[ R(s, a) \gamma V^*(s) \right] V∗(s)amaxs′∈S∑P(s′∣s,a)[R(s,a)γV∗(s′)]
2. 行动价值函数形式
行动价值函数 ( Q(s, a) ) 表示在状态 ( s ) 下采取动作 ( a ) 后遵循策略 ( \pi ) 所能获得的预期累计奖励。贝尔曼方程为 Q π ( s , a ) ∑ s ′ ∈ S P ( s ′ ∣ s , a ) [ R ( s , a ) γ ∑ a ′ ∈ A π ( a ′ ∣ s ′ ) Q π ( s ′ , a ′ ) ] Q^\pi(s, a) \sum_{s \in S} P(s \mid s, a) \left[ R(s, a) \gamma \sum_{a \in A} \pi(a \mid s) Q^\pi(s, a) \right] Qπ(s,a)s′∈S∑P(s′∣s,a)[R(s,a)γa′∈A∑π(a′∣s′)Qπ(s′,a′)] 最优行动价值函数 ( Q^*(s, a) ) 是在所有策略中使得在状态 ( s ) 下采取动作 ( a ) 后累计奖励最大的价值函数 Q ∗ ( s , a ) ∑ s ′ ∈ S P ( s ′ ∣ s , a ) [ R ( s , a ) γ max a ′ Q ∗ ( s ′ , a ′ ) ] Q^*(s, a) \sum_{s \in S} P(s \mid s, a) \left[ R(s, a) \gamma \max_{a} Q^*(s, a) \right] Q∗(s,a)s′∈S∑P(s′∣s,a)[R(s,a)γa′maxQ∗(s′,a′)]
贝尔曼方程的应用
贝尔曼方程在求解最优策略时具有重要作用特别是在以下方面 价值迭代 通过反复更新状态价值函数 V ( s ) 直到收敛到最优值 V ∗ ( s ) 从而找到最优策略。 通过反复更新状态价值函数 V(s)直到收敛到最优值 V^*(s) 从而找到最优策略。 通过反复更新状态价值函数V(s)直到收敛到最优值V∗(s)从而找到最优策略。 策略迭代 通过交替进行策略评估使用贝尔曼方程计算 V π ( s ) 和策略改进逐步逼近最优策略 π ∗ 。 通过交替进行策略评估使用贝尔曼方程计算 V^\pi(s) 和策略改进逐步逼近最优策略 \pi^* 。 通过交替进行策略评估使用贝尔曼方程计算Vπ(s)和策略改进逐步逼近最优策略π∗。 Q-learning 强化学习中通过更新 Q ( s , a ) 的值来逐渐学习最优策略 π ∗ 。 强化学习中通过更新 Q(s, a) 的值来逐渐学习最优策略 \pi^* 。 强化学习中通过更新Q(s,a)的值来逐渐学习最优策略π∗。
总结
贝尔曼方程通过递归地定义价值函数将复杂的决策问题分解为一系列更简单的子问题。这使得在不确定环境中求解最优策略成为可能是动态规划和强化学习中的关键工具。
马尔科夫决策过程
马尔科夫决策过程Markov Decision Process, MDP是马尔科夫过程的一个扩展主要用于建模在不确定环境中进行决策的过程。MDP广泛应用于强化学习、优化控制等领域帮助决策者在动态环境中选择最佳策略以最大化长期收益。
马尔科夫决策过程的组成部分
一个典型的马尔科夫决策过程由以下五个元素组成 状态空间State Space, ( S ) 系统可能处于的所有状态的集合。每个状态代表系统在某一时刻的具体情况。 动作空间Action Space, ( A ) 在每个状态下决策者可以采取的所有可能行动的集合。 **状态转移概率State Transition Probability, ** P ( s ′ ∣ s , a ) P(s \mid s, a) P(s′∣s,a) 系统在采取某一动作 ( a ) 后从当前状态 ( s ) 转移到下一状态 ( s’ ) 的概率。这个转移概率反映了系统的动态行为。 奖励函数Reward Function, ( R(s, a) ) 奖励函数表示在状态 ( s ) 下执行动作 ( a ) 所得到的即时奖励。奖励可以是正值、负值或零用于衡量某个行动的短期收益。 **策略Policy, ** π ( a ∣ s ) \pi(a \mid s) π(a∣s) 策略描述了在每个状态下应该采取哪种行动的规则。策略可以是确定性的每个状态对应一个唯一的动作或随机性的在每个状态下按一定概率选择动作。
马尔科夫决策过程的目标
MDP 的目标是在不同状态下选择合适的动作以最大化累计奖励通常是折现累计奖励即 G t R t 1 γ R t 2 γ 2 R t 3 … G_t R_{t1} \gamma R_{t2} \gamma^2 R_{t3} \dots GtRt1γRt2γ2Rt3… 其中 γ 是折现因子 ( 0 ≤ γ ≤ 1 它决定了未来奖励的重要性 其中 \gamma 是折现因子( 0 \leq \gamma \leq 1 它决定了未来奖励的重要性 其中γ是折现因子(0≤γ≤1它决定了未来奖励的重要性
求解马尔科夫决策过程的方法
求解 MDP 的过程就是寻找最优策略 使得在每个状态下累计的期望奖励最大化。常见的求解方法包括 动态规划 利用贝尔曼方程Bellman Equation进行递归计算包括价值迭代Value Iteration和策略迭代Policy Iteration两种主要方法。 蒙特卡罗方法 通过模拟多个轨迹直接估计每个状态的价值然后根据这些估计值更新策略。 强化学习 在未知环境中智能体通过与环境的交互学习最优策略常用的算法有 Q-learning 和 SARSA。
马尔科夫决策过程的应用
MDP 被广泛应用于以下领域
强化学习用来建模智能体与环境的交互以学习最优策略。机器人导航机器人通过选择路径避免障碍并到达目标。运营管理在动态环境中优化资源分配和调度。经济决策建模投资、定价等动态决策问题。
通过马尔科夫决策过程决策者可以在不确定的环境中制定长期最优策略以应对复杂的决策问题。
