企业内部网站建设方案,女孩子奖励自己的资料,企业网站网络推广怎么做,东宁做木耳招工人网站算法导论—SAT、NP、NP-Hard、NPC问题SAT 问题基本定义问题复杂性P、NP、NP-Hard、NP-Complete#xff08;NPC#xff09;证明NP-Hard关系图NP问题的概念约化的定义NPC问题NP-Hard问题SAT 问题基本定义 SAT 问题 (Boolean satisfiability problem, 布尔可满足性问题,SAT): 给…
算法导论—SAT、NP、NP-Hard、NPC问题SAT 问题基本定义问题复杂性P、NP、NP-Hard、NP-CompleteNPC证明NP-Hard关系图NP问题的概念约化的定义NPC问题NP-Hard问题SAT 问题基本定义 SAT 问题 (Boolean satisfiability problem, 布尔可满足性问题,SAT): 给定布尔 (Boolean) 表达式 (由 AND, OR, NOT, 变量, 和括号构成), 是否存在对变量 TRUE 或 FALSE 的赋值, 使得整个表达式真。 SAT 问题 (Propositional satisfiability problem, 命题可满足问题, SAT): 给定命题逻辑公式 (propositional formula), 是否可满足 (存在一个模型)。 (¬(x1→¬x2)→x3)→(x1→(x2→x3))(¬(x1 → ¬x2) → x3) → (x1 → (x2 → x3))(¬(x1→¬x2)→x3)→(x1→(x2→x3)) 任意布尔表达式和命题逻辑公式都可以等价转换为合取范 式。
问题复杂性 P、NP、NP-Hard、NP-CompleteNPC 证明NP-Hard P: 能在多项式时间内解决的问题 NP: 不能在多项式时间内解决或不确定能不能在多项式时间内解决但能在多项式时间验证的问题 NPC: NP完全问题所有NP问题在多项式时间内都能约化(Reducibility)到它的NP问题即解决了此NPC问题所有NP问题也都得到解决。 NP hard:NP难问题所有NP问题在多项式时间内都能约化(Reducibility)到它的问题(不一定是NP问题)。
关系图 P问题属于NP问题NPC问题属于NP问题。 NPC问题同时属于NP hard问题是NP与NPhard的交集。
NP问题的概念
NP问题不是非P类问题。NP问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题。NP问题的另一个定义是可以在多项式的时间里猜出一个解的问题。比方说我RP很好在程序中需要枚举时我可以一猜一个准。现在某人拿到了一个求最短路径的问题问从起点到终点是否有一条小于100个单位长度的路线。它根据数据画好了图但怎么也算不出来于是来问我你看怎么选条路走得最少我说我RP很好肯定能随便给你指条很短的路出来。然后我就胡乱画了几条线说就这条吧。那人按我指的这条把权值加起来一看嘿神了路径长度98比100小。于是答案出来了存在比100小的路径。别人会问他这题怎么做出来的他就可以说因为我找到了一个比100 小的解。在这个题中找一个解很困难但验证一个解很容易。验证一个解只需要O(n)的时间复杂度也就是说我可以花O(n)的时间把我猜的路径的长度加出来。那么只要我RP好猜得准我一定能在多项式的时间里解决这个问题。我猜到的方案总是最优的不满足题意的方案也不会来骗我去选它。这就是NP问题。当然有不是NP问题的问题即你猜到了解但是没用因为你不能在多项式的时间里去验证它。下面我要举的例子是一个经典的例子它指出了一个目前还没有办法在多项式的时间里验证一个解的问题。很显然前面所说的Hamilton回路是NP问题因为验证一条路是否恰好经过了每一个顶点非常容易。但我要把问题换成这样试问一个图中是否不存在Hamilton回路。这样问题就没法在多项式的时间里进行验证了因为除非你试过所有的路否则你不敢断定它“没有Hamilton回路”。
之所以要定义NP问题是因为通常只有NP问题才可能找到多项式的算法。我们不会指望一个连多项式地验证一个解都不行的问题存在一个解决它的多项式级的算法。相信读者很快明白信息学中的号称最困难的问题——“NP问题”实际上是在探讨NP问题与P类问题的关系。
很显然所有的P类问题都是NP问题。也就是说能多项式地解决一个问题必然能多项式地验证一个问题的解——既然正解都出来了验证任意给定的解也只需要比较一下就可以了。关键是人们想知道是否所有的NP问题都是P类问题。我们可以再用集合的观点来说明。如果把所有P类问题归为一个集合P中把所有 NP问题划进另一个集合NP中那么显然有P属于NP。现在所有对NP问题的研究都集中在一个问题上即究竟是否有PNP通常所谓的“NP问题”其实就一句话证明或推翻PNP。
NP问题一直都是信息学的巅峰。巅峰意即很引人注目但难以解决。在信息学研究中这是一个耗费了很多时间和精力也没有解决的终极问题好比物理学中的大统一和数学中的歌德巴赫猜想等。
目前为止这个问题还“啃不动”。但是一个总的趋势、一个大方向是有的。人们普遍认为PNP不成立也就是说多数人相信存在至少一个不可能有多项式级复杂度的算法的NP问题。人们如此坚信P≠NP是有原因的就是在研究NP问题的过程中找出了一类非常特殊的NP问题叫做NP-完全问题也即所谓的 NPC问题。C是英文单词“完全”的第一个字母。正是NPC问题的存在使人们相信P≠NP。下文将花大量篇幅介绍NPC问题你从中可以体会到NPC问题使PNP变得多么不可思议。
约化的定义
为了说明NPC问题我们先引入一个概念——约化(Reducibility有的资料上叫“归约”)。
简单地说一个问题A可以约化为问题B的含义即是可以用问题B的解法解决问题A或者说问题A可以“变成”问题B。《算法导论》上举了这么一个例子。比如说现在有两个问题求解一个一元一次方程和求解一个一元二次方程。那么我们说前者可以约化为后者意即知道如何解一个一元二次方程那么一定能解出一元一次方程。我们可以写出两个程序分别对应两个问题那么我们能找到一个“规则”按照这个规则把解一元一次方程程序的输入数据变一下用在解一元二次方程的程序上两个程序总能得到一样的结果。这个规则即是两个方程的对应项系数不变一元二次方程的二次项系数为0。按照这个规则把前一个问题转换成后一个问题两个问题就等价了。同样地我们可以说Hamilton回路可以约化为TSP问题(Travelling Salesman Problem旅行商问题)在Hamilton回路问题中两点相连即这两点距离为0两点不直接相连则令其距离为1于是问题转化为在TSP问题中是否存在一条长为0的路径。Hamilton回路存在当且仅当TSP问题中存在长为0的回路。
“问题A可约化为问题B”有一个重要的直观意义B的时间复杂度高于或者等于A的时间复杂度。也就是说问题A不比问题B难。这很容易理解。既然问题A能用问题B来解决倘若B的时间复杂度比A的时间复杂度还低了那A的算法就可以改进为B的算法两者的时间复杂度还是相同。正如解一元二次方程比解一元一次方程难因为解决前者的方法可以用来解决后者。
很显然约化具有一项重要的性质约化具有传递性。如果问题A可约化为问题B问题B可约化为问题C则问题A一定可约化为问题C。这个道理非常简单就不必阐述了。
现在再来说一下约化的标准概念就不难理解了如果能找到这样一个变化法则对任意一个程序A的输入都能按这个法则变换成程序B的输入使两程序的输出相同那么我们说问题A可约化为问题B。
当然我们所说的“可约化”是指的可“多项式地”约化(Polynomial-time Reducible)即变换输入的方法是能在多项式的时间里完成的。约化的过程只有用多项式的时间完成才有意义。
好了从约化的定义中我们看到一个问题约化为另一个问题时间复杂度增加了问题的应用范围也增大了。通过对某些问题的不断约化我们能够不断寻找复杂度更高但应用范围更广的算法来代替复杂度虽然低但只能用于很小的一类问题的算法。再回想前面讲的P和NP问题联想起约化的传递性自然地我们会想问如果不断地约化上去不断找到能“通吃”若干小NP问题的一个稍复杂的大NP问题那么**最后是否有可能找到一个时间复杂度最高并且能“通吃”所有的 NP问题的这样一个超级NP问题**答案居然是肯定的。也就是说存在这样一个NP问题所有的NP问题都可以约化成它。换句话说只要解决了这个问题那么所有的NP问题都解决了。这种问题的存在难以置信并且更加不可思议的是这种问题不只一个它有很多个它是一类问题。这一类问题就是传说中的NPC 问题也就是NP-完全问题。NPC问题的出现使整个NP问题的研究得到了飞跃式的发展。我们有理由相信NPC问题是最复杂的问题。再次回到全文开头我们可以看到人们想表达一个问题不存在多项式的高效算法时应该说它“属于NPC问题”。
NPC问题
NPC问题的定义非常简单。同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。
首先它得是一个NP问题然后所有的NP问题都可以约化到它。 证明一个问题是 NPC问题也很简单。先证明它至少是一个NP问题再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它由约化的传递性则NPC问题定义的第二条也得以满足至于第一个NPC问题是怎么来的下文将介绍这样就可以说它是NPC问题了。
既然所有的NP问题都能约化成NPC问题那么只要任意一个NPC问题找到了一个多项式的算法那么所有的NP问题都能用这个算法解决了NP也就等于P了。因此给NPC找一个多项式算法太不可思议了。因此前文才说“正是NPC问题的存在使人们相信P≠NP”。我们可以就此直观地理解NPC问题目前没有多项式的有效算法只能用指数级甚至阶乘级复杂度的搜索。
NP-Hard问题
NP-Hard问题。NP-Hard问题是这样一种问题它满足NPC问题定义的第二条所有的NP问题都可以约化到它但不一定要满足第一条就是说NP-Hard问题要比 NPC问题的范围广。NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法但它不列入我们的研究范围因为它不一定是NP问题。即使NPC问题发现了多项式级的算法NP-Hard问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。事实上由于NP-Hard放宽了限定条件它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难以解决。
