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2023年11月4日 #algebra 文章目录 坐标变换与相似矩阵1. 基变换与坐标变换2. 相似变换下链 1. 基变换与坐标变换
坐标变换与基变换都要通过过渡矩阵 A A A 来实现。设有一向量 f ⃗ \vec f f #xff0c; x x x 是在基 α \alpha α 下该向量的坐标…坐标变换与相似矩阵
2023年11月4日 #algebra 文章目录 坐标变换与相似矩阵1. 基变换与坐标变换2. 相似变换下链 1. 基变换与坐标变换
坐标变换与基变换都要通过过渡矩阵 A A A 来实现。设有一向量 f ⃗ \vec f f x x x 是在基 α \alpha α 下该向量的坐标 y y y 是在新基 β \beta β 下该向量的坐标则基变换为 β α A , A α − 1 β \beta\alpha A \,\,,\,\, A \alpha^ {-1} \beta βαA,Aα−1β 式中的基也是矩阵。当原基 α I \alpha I αI 过渡矩阵的每一列列向量相当于新的坐标轴的基向量。 坐标变换通过原坐标向量左乘过渡矩阵的逆得到即 y A − 1 x y A^{-1}x yA−1x 而注意矩阵在某组基下的表示意味着相似变换。如矩阵 X X X 在基 β \beta β 下的表示为 Y Y Y意味着 X β β Y , Y β − 1 X β X \beta\beta Y \,\,,\,\, Y\beta^{-1} X \beta XββY,Yβ−1Xβ 相当于矩阵的坐标变换原基相当于单位阵。如果 X X X 又是矩阵 F F F 在某组基 α \alpha α 下的表示则有 F α α X , X α − 1 F α F \alpha \alpha X \,\,,\,\, X \alpha^{-1}F \alpha FααX,Xα−1Fα Y ( α − 1 β ) − 1 F ( α − 1 β ) A − 1 F A Y( \alpha^{-1} \beta)^{-1}F( \alpha^{-1} \beta)A^{-1}FA Y(α−1β)−1F(α−1β)A−1FA F F F 的基是单位阵。 2. 相似变换
如果存在可逆矩阵 P {P} P 使得 B P − 1 A P BP^{-1}AP BP−1AP 则称矩阵 A {A} A 与 B {B} B 相似记为 A ∼ B {A\sim B} A∼B 并称 P {P} P 为把 A {A} A 变成B的相似变换矩阵。显然相似即等价。 相似变换与逆矩阵有关相似变换前后的矩阵为相似矩阵。 性质如下
反身性 A ∼ A A\sim A A∼A对称性 A ∼ B → B ∼ A A\sim B\to B \sim A A∼B→B∼A传递性 A ∼ B , B ∼ C → A ∼ C A\sim B \,\,,\,\, B\sim C\to A\sim C A∼B,B∼C→A∼C
几条定理若 A ∼ B A\sim B A∼B rank ( A ) rank ( B ) , ∣ A ∣ ∣ B ∣ \text{rank}(A) \text{rank}(B) \,\,,\,\, |A||B| rank(A)rank(B),∣A∣∣B∣ det ( λ I − A ) det ( λ I − B ) \det( \lambda I-A)\det( \lambda I-B) det(λI−A)det(λI−B)即特征相同 A − 1 ∼ B − 1 , A T ∼ B T , f ( A ) ∼ f ( B ) A^{-1}\sim B^{-1} \,\,,\,\, A^ \mathrm T\sim B^ \mathrm T \,\,,\,\, f(A)\sim f(B) A−1∼B−1,AT∼BT,f(A)∼f(B)
说明
相似对角化 如果 A n {A_n} An 有 n {n} n 个线性无关的特征向量特征值可以相同则相似变换可以把 A {A} A 变成对角阵实对称矩阵 A {A} A 可以相似对角化 rank ( A ) \text{rank}(A) rank(A) 等于非零特征值的个数上/下三角矩阵主对角线元素相同则不能相似对角化 n {n} n 阶方阵 A {A} A 满足的二次方程有两个互异实根则因式分解后秩的和为 n {n} n 且 A {A} A 可相似对角化 证明 A 2 − 3 A 2 I 0 → ( A − I ) ( A − 2 I ) 0 A^2-3A2I0\to(A-I)(A-2I)0 A2−3A2I0→(A−I)(A−2I)0 ∴ rank ( A − I ) rank ( A − 2 I ) ≤ n \therefore \text{rank}(A-I) \text{rank}(A-2I) \le n ∴rank(A−I)rank(A−2I)≤n 又 rank ( A − I ) rank ( A − 2 I ) ≥ rank ( A − I 2 I − A ) rank ( I ) n \text{又}\, \text{rank}(A-I) \text{rank}(A-2I)\ge \text{rank}(A-I2I-A) \text{rank}(I)n 又rank(A−I)rank(A−2I)≥rank(A−I2I−A)rank(I)n ∴ rank ( A − I ) rank ( A − 2 I ) n \therefore \text{rank}(A-I) \text{rank}(A-2I)n ∴rank(A−I)rank(A−2I)n A {A} A 的线性无关特征向量的个数为 n − rank ( A − I ) n − rank ( A − 2 I ) 2 n − n n n- \text{rank}(A-I) n- \text{rank}(A-2I)2n-nn n−rank(A−I)n−rank(A−2I)2n−nn相似没有充要条件有充分条件矩阵有相同的相似对角化矩阵也有必要条件相似则1. 特征值相同 2. 秩相同。如果特征值相同而两个矩阵都不可对角化且秩相同则不能判断矩阵是否相似。
使用相似变换求解LTI微分方程 [!example]- { d d t x 1 x 2 d d t x 2 x 3 d d t x 3 − 6 x 1 − 11 x 2 − 6 x 3 \begin{cases} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}x_1x_2\\ \frac{\mathrm d }{\mathrm dt}x_2x_3\\ \frac{\mathrm d }{\mathrm dt}x_3-6x_1-11x_2-6x_3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧dtdx1x2dtdx2x3dtdx3−6x1−11x2−6x3 解 A [ 0 1 0 0 0 1 − 6 − 11 − 6 ] , det ( λ I − A ) ( λ 1 ) ( λ 2 ) ( λ 3 ) A \begin{bmatrix} 0 1 0 \\ 0 0 1 \\ -6 -11 -6 \end{bmatrix} \,\,,\,\, \det(\lambda I-A)( \lambda1)( \lambda2)( \lambda3) A 00−610−1101−6 ,det(λI−A)(λ1)(λ2)(λ3) 有三个不同的特征值 A {A} A 可对角化。分别解 ( λ k I − A ) x 0 , k 1 , 2 , 3 (\lambda_k I-A)x0 \,\,,\,\, k1,2,3 (λkI−A)x0,k1,2,3得变换矩阵 P ( α 1 , α 2 , α 3 ) [ 1 1 1 − 1 − 2 − 3 1 4 9 ] P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{bmatrix} 1 1 1 \\ -1 -2 -3 \\ 1 4 9 \end{bmatrix} P(α1,α2,α3) 1−111−241−39 D P − 1 A P [ − 1 0 0 0 − 2 0 0 0 − 3 ] DP^{-1}AP \begin{bmatrix} -1 0 0 \\ 0 -2 0 \\ 0 0 -3 \end{bmatrix} DP−1AP −1000−2000−3 由于 d d t x A x \frac{\mathrm d }{\mathrm dt}xAx dtdxAx令 x P y xPy xPy有 d y d t P − 1 d x d t P − 1 A x P − 1 A P y D y [ − y 1 − 2 y 2 − 3 y 3 ] \frac{\mathrm d y}{\mathrm dt}P^{-1} \frac{\mathrm d x}{\mathrm dt}P^{-1}AxP^{-1}APyDy \begin{bmatrix} -y_1\\-2y_2\\-3y_3 \end{bmatrix} dtdyP−1dtdxP−1AxP−1APyDy −y1−2y2−3y3 y 1 ′ ( t ) − y 1 , y 2 ′ ( t ) − 2 y 2 , y 3 ′ ( t ) − 3 y 3 y_1(t)-y_1 \,\,,\,\, y_2(t)-2y_2 \,\,,\,\, y_3(t)-3y_3 y1′(t)−y1,y2′(t)−2y2,y3′(t)−3y3 y 1 ( t ) c 1 e − t , y 2 ( t ) c 2 e − 2 t , y 3 ( t ) c 3 e − 3 t y_1(t)c_1e^{-t} \,\,,\,\, y_2(t)c_2e^{-2t} \,\,,\,\, y_3(t)c_3e^{-3t} y1(t)c1e−t,y2(t)c2e−2t,y3(t)c3e−3t x P y [ c 1 e − t c 2 e − 2 t c 3 e − 3 t − c 1 e − t − 2 c 2 e − 2 t − 3 c 3 e − 3 t c 1 e − t 4 c 2 e − 2 t 9 c 3 e − 3 t ] xPy \begin{bmatrix} c_1e^{-t}c_2e^{-2t} c_3e^{-3t}\\ -c_1e^{-t}-2c_2e^{-2t}-3c_3e^{-3t}\\ c_1e^{-t}4c_2e^{-2t}9 c_3e^{-3t} \end{bmatrix} xPy c1e−tc2e−2tc3e−3t−c1e−t−2c2e−2t−3c3e−3tc1e−t4c2e−2t9c3e−3t 下链
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