网站建设将新建用户授权为管理员,网站建设管理需要招聘什么人才,贵阳住房和城乡建设部网站,网站站欣赏文章目录1 引入2 泰勒中值定理2.1 泰勒多项式3.2 泰勒中值定理13.3 泰勒中值定理22.4 误差估计4 麦克劳林公式5 常见麦克劳林公式6 泰勒公式相关例题6.1 将函数展成指定的泰勒公式6.1.1 公式法6.1.2 间接展法#xff08;变量替换#xff09;6.2 利用泰勒公式求极限6.3 确定无…
文章目录1 引入2 泰勒中值定理2.1 泰勒多项式3.2 泰勒中值定理13.3 泰勒中值定理22.4 误差估计4 麦克劳林公式5 常见麦克劳林公式6 泰勒公式相关例题6.1 将函数展成指定的泰勒公式6.1.1 公式法6.1.2 间接展法变量替换6.2 利用泰勒公式求极限6.3 确定无穷小的阶数6.4 求f(n)(x0)f^{(n)}(x_0)f(n)(x0)即f(x)f(x)f(x)的n阶导在某一点的值6.5 证明题7 后记1 引入
对于一些复杂函数我们希望用一些简单的函数幂函数-多项式函数来近似表达。
前面我们在学习微分时有f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)o(x−x0)f(x)f(x_0)f^{}(x_0)(x-x_0)o(x-x_0)f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)o(x−x0)误差
⇒f(x)≈f(x0)f′(x0)(x−x0)\Rightarrow f(x)\approx f(x_0)f^{}(x_0)(x-x_0)⇒f(x)≈f(x0)f′(x0)(x−x0)
但是这种近似有缺点
近似精确度不高有误差无法估计
2 泰勒中值定理
2.1 泰勒多项式
设函数f(x)在x0f(x)在x_0f(x)在x0处有n阶导数试找出一个关于(x−x0)的n(x-x_0)的n(x−x0)的n次多项式
pn(x)a0a1(x−x0)a2(x−x0)2⋯an(x−x0)np_n(x)a_0a_1(x-x_0)a_2(x-x_0)^2\cdotsa_n(x-x_0)^npn(x)a0a1(x−x0)a2(x−x0)2⋯an(x−x0)n (3-1)
来近似表达f(x)f(x)f(x)要求Pn(x)与f(x)P_n(x)与f(x)Pn(x)与f(x)之差是当x→x0时比(x−x0)nx\to x_0时比(x-x_0)^nx→x0时比(x−x0)n高阶的无穷小。
要满足上述要求我们假设Pn(x)在x0P_n(x)在x_0Pn(x)在x0处的函数值及它直到n阶导数在x0x_0x0处的值依次与f(x0),f′(x0),⋯,f(n)(x0)f(x_0),f^{}(x_0),\cdots,f^{(n)}(x_0)f(x0),f′(x0),⋯,f(n)(x0)相等即
pn(x0)f(x0),Pn′(x0)f′(x0),Pn′′(x0)f′′(x0),⋯,Pn(n)(x0)f(n)(x0)p_n(x_0)f(x_0),P^{}_n(x_0)f^{}(x_0),P^{}_n(x_0)f^{}(x_0),\cdots,P^{(n)}_n(x_0)f^{(n)}(x_0)pn(x0)f(x0),Pn′(x0)f′(x0),Pn′′(x0)f′′(x0),⋯,Pn(n)(x0)f(n)(x0)
对3-1式求各阶导数导入上式得
a0f(x0),a1f′(x0),a2f′(x0)2!,⋯,anf(n)(x0)n!a_0f(x_0),a_1f^{}(x_0),a_2\frac{f^{}(x_0)}{2!},\cdots,a_n\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}a0f(x0),a1f′(x0),a22!f′(x0),⋯,ann!f(n)(x0)
pn(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)f′(x0)2!(x−x0)2⋯f(n)(x0)n!(x−x0)np_n(x)f(x_0)f^{}(x_0)(x-x_0)\frac{f^{}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\cdots\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^npn(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′(x0)(x−x0)2⋯n!f(n)(x0)(x−x0)n (3-2)
下面的定理表明多项式3-2的确是我们要找的n次多项式。
3.2 泰勒中值定理1 如果函数f(x)在x0处具有nf(x)在x_0处具有nf(x)在x0处具有n阶导数那么存在x0x_0x0的一个邻域对于改邻域内的任一xxx,有 f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)f′(x0)2!(x−x0)2⋯f(n)(x0)n!(x−x0)nRn(x)f(x)f(x_0)f^{}(x_0)(x-x_0)\frac{f^{}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\cdots\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nR_n(x)f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′(x0)(x−x0)2⋯n!f(n)(x0)(x−x0)nRn(x) (3-3) 其中Rn(x)o((x−x0)n)R_n(x)o((x-x_0)^n)Rn(x)o((x−x0)n) (3-4) 证明记Rn(x)f(x)−Pn(x),则Rn(x0)Rn′(x0)R′′(x0)⋯R(n)(x0)0由于f(x)在x0处具有你阶导数从而Rn(x)也在该邻域内n阶可导反复应用洛必达法则得limx→x0Rn(x)(x−x0)nlimx→x0Rn′(x)n(x−x0)n−1limx→x0Rn′(x)n(x−x0)n−1⋯limx→x0Rn(n−1)(x)n!(x−x0)1n!R(n)(x0)0因此Rn(x)o((x−x0)n)证明 \\ 记R_n(x)f(x)-P_n(x),则 \\ R_n(x_0)R_n^{}(x_0)R^{}(x_0)\cdotsR^{(n)}(x_0)0 \\ 由于f(x)在x_0处具有你阶导数从而R_n(x)也在该邻域内n阶可导反复应用洛必达法则得 \\ \lim\limits_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}\lim\limits_{x\to x_0}\frac{R_n^{}(x)}{n(x-x_0)^{n-1}}\lim\limits_{x\to x_0}\frac{R_n^{}(x)}{n(x-x_0)^{n-1}} \\ \cdots\lim\limits_{x\to x_0}\frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)}\frac{1}{n!}R^{(n)}(x_0)0 \\ 因此R_n(x)o((x-x_0)^n) 证明记Rn(x)f(x)−Pn(x),则Rn(x0)Rn′(x0)R′′(x0)⋯R(n)(x0)0由于f(x)在x0处具有你阶导数从而Rn(x)也在该邻域内n阶可导反复应用洛必达法则得x→x0lim(x−x0)nRn(x)x→x0limn(x−x0)n−1Rn′(x)x→x0limn(x−x0)n−1Rn′(x)⋯x→x0limn!(x−x0)Rn(n−1)(x)n!1R(n)(x0)0因此Rn(x)o((x−x0)n)
注
Rn(x)o((x−x0)n)称为f(x)在x0处R_n(x)o((x-x_0)^n)称为f(x)在x_0处Rn(x)o((x−x0)n)称为f(x)在x0处的佩亚诺余项
3.3 泰勒中值定理2 如果函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的某个邻域U(x0)U(x_0)U(x0)内具有(n1)(n1)(n1)阶导数那么对于任一x∈U(x0)x\in U(x_0)x∈U(x0)有 f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)f′(x0)2!(x−x0)2⋯f(n)(x0)n!(x−x0)nRn(x)f(x)f(x_0)f^{}(x_0)(x-x_0)\frac{f^{}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\cdots\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nR_n(x)f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′(x0)(x−x0)2⋯n!f(n)(x0)(x−x0)nRn(x) (3-5) 其中Rn(x)f(n1)(ξ)(n1)!(x−x0)n1R_n(x)\frac{f^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}(x-x_0)^{n1}Rn(x)(n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1 (3-6) 这里ξ是x与x0\xi是x与x_0ξ是x与x0直接的某个值 证明记Rn(x)f(x)−Pn(x),则只需证明Rn(x)f(n1)(ξ)(n1)!(x−x0)n1由假设可知Rn(x0)Rn′(x0)R′′(x0)⋯R(n)(x0)0对于2个函数Rn(x)及(x−x0)n1在以x0和x为端点的区间上应用柯西中值定理这2个函数满足柯西中值定理条件Rn(x)(x−x0)n1Rn(x)−Rn(x0)(x−x0)n1−(x0−x0)n1Rn′(ξ1)(n1)(ξ1−x0)n(ξ1在x0与x之间)在对这2个函数以ξ1和x0为端点的区间应用柯西中值定理Rn′(ξ1)(n1)(ξ1−x0)nRn′(ξ1)−Rn′(x0)(n1)(ξ1−x0)n−(n1)(x0−x0)nRn′′(ξ2)(n1)n(ξ2−x0)n−1(ξ2在ξ1与x0之间)重复应用柯西中值定理经过(n1)次后得Rn(x)(x−x0)n1Rn(n1)(ξ)(n1)!(ξ在ξn与x0之间因此也在x0与x之间)Rn(n1)(ξ)[f(ξ)−Pn(ξ)](n1)f(n1)(ξ)−Pn(n1)(ξ)其中Pn(n)(x)为常数Pn(n1)(ξ)0所以Rn(n1)(ξ)f(n1)(ξ)即Rn(x)f(n1)(ξ)(n1)!(x−x0)n1(ξ在x0与x之间)证明\\ 记R_n(x)f(x)-P_n(x),则 \\ 只需证明R_n(x)\frac{f^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}(x-x_0)^{n1} \\ 由假设可知\quad R_n(x_0)R_n^{}(x_0)R^{}(x_0)\cdotsR^{(n)}(x_0)0 \\ 对于2个函数Rn(x)及(x-x_0)^{n1}在以x_0和x为端点的区间上应用柯西中值定理这2个函数满足柯西中值定理条件 \\ \frac{Rn(x)}{(x-x_0)^{n1}}\frac{Rn(x)-Rn(x_0)}{(x-x_0)^{n1}-(x_0-x_0)^{n1}} \\ \frac{Rn^{}(\xi_1)}{(n1)(\xi_1-x_0)^{n}}(\xi_1在x_0与x之间) \\ 在对这2个函数以\xi_1和x_0为端点的区间应用柯西中值定理 \\ \frac{Rn^{}(\xi_1)}{(n1)(\xi_1-x_0)^{n}}\frac{Rn^{}(\xi_1)-Rn^{}(x_0)}{(n1)(\xi_1-x_0)^{n}-(n1)(x_0-x_0)^{n}} \\ \frac{Rn^{}(\xi_2)}{(n1)n(\xi_2-x_0)^{n-1}}(\xi_2在\xi_1与x_0之间) \\ 重复应用柯西中值定理经过(n1)次后得 \\ \frac{Rn(x)}{(x-x_0)^{n1}}\frac{Rn^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}(\xi在\xi_n与x_0之间因此也在x_0与x之间) \\ Rn^{(n1)}(\xi)[f(\xi)-Pn(\xi)]^{(n1)}f^{(n1)(\xi)}-Pn^{(n1)(\xi)} \\ 其中Pn^{(n)}(x)为常数Pn^{(n1)(\xi)}0 \\ 所以Rn^{(n1)}(\xi)f^{(n1)(\xi)} 即\\ R_n(x)\frac{f^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}(x-x_0)^{n1}(\xi在x_0与x之间) 证明记Rn(x)f(x)−Pn(x),则只需证明Rn(x)(n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1由假设可知Rn(x0)Rn′(x0)R′′(x0)⋯R(n)(x0)0对于2个函数Rn(x)及(x−x0)n1在以x0和x为端点的区间上应用柯西中值定理这2个函数满足柯西中值定理条件(x−x0)n1Rn(x)(x−x0)n1−(x0−x0)n1Rn(x)−Rn(x0)(n1)(ξ1−x0)nRn′(ξ1)(ξ1在x0与x之间)在对这2个函数以ξ1和x0为端点的区间应用柯西中值定理(n1)(ξ1−x0)nRn′(ξ1)(n1)(ξ1−x0)n−(n1)(x0−x0)nRn′(ξ1)−Rn′(x0)(n1)n(ξ2−x0)n−1Rn′′(ξ2)(ξ2在ξ1与x0之间)重复应用柯西中值定理经过(n1)次后得(x−x0)n1Rn(x)(n1)!Rn(n1)(ξ)(ξ在ξn与x0之间因此也在x0与x之间)Rn(n1)(ξ)[f(ξ)−Pn(ξ)](n1)f(n1)(ξ)−Pn(n1)(ξ)其中Pn(n)(x)为常数Pn(n1)(ξ)0所以Rn(n1)(ξ)f(n1)(ξ)即Rn(x)(n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1(ξ在x0与x之间)
注
该公式称为f(x)在x0f(x)在x_0f(x)在x0处带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式也称为将f(x)在x0f(x)在x_0f(x)在x0处展成带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式或称为f(x)按(x−x0)f(x)按(x-x_0)f(x)按(x−x0)的幂展成带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式n0时f(x)f(x0)f′(ξ)(x−x0)n0时f(x)f(x_0)f^{}(\xi)(x-x_0)n0时f(x)f(x0)f′(ξ)(x−x0),即为拉格朗日中值定理公式
2.4 误差估计
由泰勒中值定理2知我们用Pn(x)近似表达函数f(x)f(x)f(x)时其误差为∣Rn(x)∣|Rn(x)|∣Rn(x)∣。如果对于某个固定的n当x∈U(x0)时∣f(n1)(x)∣≤Mx\in U(x_0)时|f^{(n1)}(x)|\le Mx∈U(x0)时∣f(n1)(x)∣≤M,那么有估计式
∣Rn(x)∣∣f(n1)(ξ)(n1)!(x−x0)n1∣≤M(n1)!(∣x−x0∣)n1|Rn(x)||\frac{f^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}(x-x_0)^{n1}|\le\frac{M}{(n1)!}(|x-x_0|)^{n1}∣Rn(x)∣∣(n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1∣≤(n1)!M(∣x−x0∣)n1
4 麦克劳林公式
如果取x00x_00x00,那么泰勒公式变为 f(x)f(0)f′(0)⋅xf′(0)2!x2⋯f(n)(0)n!xnRn(x)Rn(x){o(xn)佩亚诺型余项fn1(ξ)(n1)!xn1(ξ在x0与x之间)拉格朗日型余项f(x)f(0)f^{}(0)\cdot x\frac{f^{}(0)}{2!}x^2\cdots\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^nR_n(x) \\ Rn(x) \begin{cases} o(x^n)\quad 佩亚诺型余项 \\ \frac{f^{n1}(\xi)}{(n1)!}x^{n1}(\xi在x_0与x之间)\quad 拉格朗日型余项 \\ \end{cases} f(x)f(0)f′(0)⋅x2!f′(0)x2⋯n!f(n)(0)xnRn(x)Rn(x){o(xn)佩亚诺型余项(n1)!fn1(ξ)xn1(ξ在x0与x之间)拉格朗日型余项 此公式称为f(x)的n阶f(x)的n阶f(x)的n阶麦克劳林公式。
注
ξ\xiξ可以写成θx(0θ1)\theta x(0\lt\theta\lt1)θx(0θ1)相应的误差估计∣Rn(x)∣≤M(n1)!∣x∣n1|Rn(x)|\le\frac{M}{(n1)!}|x|^{n1}∣Rn(x)∣≤(n1)!M∣x∣n1麦克劳林公式函数f(x)按x的幂f(x)按x的幂f(x)按x的幂展开
5 常见麦克劳林公式
ex1xx22!⋯xnn!eθx(n1)!(o(xn))sinxx−x33!x55!−⋯(−1)m−1x2m−1(2m−1)!(−1)mcosθx(2m1)!x2m1(o(x2m−1))cosx1−x22!x44!−⋯(−1)mx2m(2m)!(−1)m1cosθx(2m2)!x2m2(o(x2m))ln(1x)x−x22!x33!−⋯(−1)n−1xnn!(−1)n(n1)(1θx)n1(o(xn))(1x)α1αxα(α−1)2!x2⋯α(α−1)⋯(α−n1)n!xnα(α−1)⋯(α−n)(n1)!(1θx)α−n−1xn1(o(xn))e^x1x\frac{x^2}{2!}\cdots\frac{x^n}{n!}\frac{e^{\theta x}}{(n1)!}(o(x^n )) \\ \sin xx-\frac{x^3}{3!}\frac{x^5}{5!}-\cdots(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}(-1)^m\frac{\cos\theta x}{(2m1)!}x^{2m1} (o(x^{2m-1}))\\ \cos x1-\frac{x^2}{2!}\frac{x^4}{4!}-\cdots(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}(-1)^{m1}\frac{\cos\theta x}{(2m2)!}x^{2m2}(o(x^{2m})) \\ \ln(1x)x-\frac{x^2}{2!}\frac{x^3}{3!}-\cdots(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n!}\frac{(-1)^n}{(n1)(1\theta x)^{n1}}(o(x^n)) \\ (1x)^{\alpha}1\alpha x\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2\cdots\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n1)}{n!}x^n\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n)}{(n1)!}(1\theta x)^{\alpha-n-1}x^{n1}(o(x^n)) \\ ex1x2!x2⋯n!xn(n1)!eθx(o(xn))sinxx−3!x35!x5−⋯(−1)m−1(2m−1)!x2m−1(−1)m(2m1)!cosθxx2m1(o(x2m−1))cosx1−2!x24!x4−⋯(−1)m(2m)!x2m(−1)m1(2m2)!cosθxx2m2(o(x2m))ln(1x)x−2!x23!x3−⋯(−1)n−1n!xn(n1)(1θx)n1(−1)n(o(xn))(1x)α1αx2!α(α−1)x2⋯n!α(α−1)⋯(α−n1)xn(n1)!α(α−1)⋯(α−n)(1θx)α−n−1xn1(o(xn))
6 泰勒公式相关例题
6.1 将函数展成指定的泰勒公式
6.1.1 公式法
直接利用泰勒公式或者麦克劳林公式
6.1.2 间接展法变量替换
f(x)f(0)f′(0)⋅xf′(0)2!x2⋯f(n)(0)n!xnRn(x)f(x)f(0)f^{}(0)\cdot x\frac{f^{}(0)}{2!}x^2\cdots\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^nR_n(x)f(x)f(0)f′(0)⋅x2!f′(0)x2⋯n!f(n)(0)xnRn(x)
$f[g(x)]f(0)f^{}(0)\cdot g(x)\frac{f{}(0)}{2!}g2(x)\cdots\frac{f{(n)}(0)}{n!}gn(x)R_n[g(x)] $
例2
1将f(x)e2xf(x)e^{2x}f(x)e2x展成佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式 解ex1xx22!⋯xnn!o(xn)用2x替换x后仍然是关于x的幂的展开式即麦克劳林公式所以直接替换得e2x12x(2x)22!⋯(2x)nn!o(xn)ex12x222!x2⋯2nn!xno(xn)解e^x1x\frac{x^2}{2!}\cdots\frac{x^n}{n!}o(x^n ) \\ 用2x替换x后仍然是关于x的幂的展开式即麦克劳林公式所以直接替换得 \\ e^{2x}12x\frac{(2x)^2}{2!}\cdots\frac{(2x)^n}{n!}o(x^n )\\ e^x12x\frac{2^2}{2!}x^2\cdots\frac{2^n}{n!}x^no(x^n ) 解ex1x2!x2⋯n!xno(xn)用2x替换x后仍然是关于x的幂的展开式即麦克劳林公式所以直接替换得e2x12x2!(2x)2⋯n!(2x)no(xn)ex12x2!22x2⋯n!2nxno(xn) 2)把f(x)ex在x1f(x)e^x在x1f(x)ex在x1处展成佩亚诺型余项的n阶泰勒公式 解我们知道ex的n阶麦克劳林公式但是需要展成(x−1)的幂的多项式exe1(x−1)e⋅ex−1e[1(x−1)(x−1)22!⋯(x−1)nn!o((x−1)n)]ee(x−1)e2!(x−1)2⋯en!(x−1)no((x−1)n)解我们知道e^x的n阶麦克劳林公式但是需要展成(x-1)的幂的多项式 \\ e^xe^{1(x-1)}e\cdot e^{x-1}e[1(x-1)\frac{(x-1)^2}{2!}\cdots\frac{(x-1)^n}{n!}o((x-1)^n )] \\ ee(x-1)\frac{e}{2!}(x-1)^2\cdots\frac{e}{n!}(x-1)^no((x-1)^n ) 解我们知道ex的n阶麦克劳林公式但是需要展成(x−1)的幂的多项式exe1(x−1)e⋅ex−1e[1(x−1)2!(x−1)2⋯n!(x−1)no((x−1)n)]ee(x−1)2!e(x−1)2⋯n!e(x−1)no((x−1)n)
也可以直接利用公式带入
3把f(x)x⋅ln(2x)f(x)x\cdot\ln(2x)f(x)x⋅ln(2x)展成n阶麦克劳林公式 解已知ln(1x)x−x22!x33!−⋯(−1)n−1xnn!o(xn)如果ln(2x)ln[1(1x)]带入展开是(1x)的幂的多项式即f(x)在−1处的泰勒公式不是麦克劳林公式此时ln(2x)ln[2(112x)]ln2ln(112x)因为f(x)x⋅ln(2x)所以ln(112x)展成n−1阶即可,得ln(112x)12x−x222⋅2!x323⋅3!−⋯(−1)n−2xn−12n−1(n−1)!o(xn−1)f(x)x[ln2ln(112x)]xln212x2−x322⋅2!x423⋅3!−⋯(−1)n−2xn2n−1(n−1)!o(xn)解已知\ln(1x)x-\frac{x^2}{2!}\frac{x^3}{3!}-\cdots(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n!}o(x^n) \\ 如果\ln(2x)\ln[1(1x)]带入展开是(1x)的幂的多项式即f(x)在-1处的泰勒公式不是麦克劳林公式 \\ 此时\ln(2x)\ln[2(1\frac{1}{2}x)]\ln2\ln(1\frac{1}{2}x) \\ 因为f(x)x\cdot\ln(2x)所以\ln(1\frac{1}{2}x)展成n-1阶即可,得 \\ \ln(1\frac{1}{2}x)\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{2^2\cdot2!}\frac{x^3}{2^3\cdot3!}-\cdots(-1)^{n-2}\frac{x^{n-1}}{2^{n-1}(n-1)!}o(x^{n-1}) \\ f(x)x[\ln2\ln(1\frac{1}{2}x)]x\ln2\frac{1}{2}x^2-\frac{x^3}{2^2\cdot2!}\frac{x^4}{2^3\cdot3!}-\cdots(-1)^{n-2}\frac{x^{n}}{2^{n-1}(n-1)!}o(x^{n}) 解已知ln(1x)x−2!x23!x3−⋯(−1)n−1n!xno(xn)如果ln(2x)ln[1(1x)]带入展开是(1x)的幂的多项式即f(x)在−1处的泰勒公式不是麦克劳林公式此时ln(2x)ln[2(121x)]ln2ln(121x)因为f(x)x⋅ln(2x)所以ln(121x)展成n−1阶即可,得ln(121x)21x−22⋅2!x223⋅3!x3−⋯(−1)n−22n−1(n−1)!xn−1o(xn−1)f(x)x[ln2ln(121x)]xln221x2−22⋅2!x323⋅3!x4−⋯(−1)n−22n−1(n−1)!xno(xn)
6.2 利用泰勒公式求极限
无穷小的运算
o(xn)±o(xn)o(xn)o(xn)o(xk)o(xn)(kn)o(x^n)\pm o(x^n)o(x^n)\quad o(x^n)o(x^k)o(x^n)(k\lt n)o(xn)±o(xn)o(xn)o(xn)o(xk)o(xn)(kn)
m.o(xn)o(mxn)o(xn)(m为常数)m.o(x^n)o(mx^n)o(x^n)(m为常数)m.o(xn)o(mxn)o(xn)(m为常数)
xk.o(xn)o(xnk)o(xk).o(xn)o(xnk)x^k.o(x^n)o(x^{nk}) \quad o(x^k).o(x^n)o(x^{nk})xk.o(xn)o(xnk)o(xk).o(xn)o(xnk)
o(xn)xko(xn−k)(kn)\frac{o(x^n)}{x^k}o(x^{n-k})(k\lt n)xko(xn)o(xn−k)(kn)
例3 求极限limx→0cosx−e−x22sin4x\lim\limits_{x\to0}{\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sin^4 x}}x→0limsin4xcosx−e−2x2 解当x→0时,有sin4x∽x4,那么分子展成4阶泰勒公式cosx1−x22!x44!o(x4)e−x221(−x22)(−x22)22!o(x4)cosx−e−x2216x4o(x4)所以limx→0cosx−e−x22sin4xlimx→016x4o(x4)x416解当x\to0时,有\\ \sin^4x\backsim x^4 ,那么分子展成4阶泰勒公式\\ \cos x1-\frac{x^2}{2!}\frac{x^4}{4!}o(x^4) \\ e^{-\frac{x^2}{2}}1(-\frac{x^2}{2})\frac{(-\frac{x^2}{2})^2}{2!}o(x^4) \\ \cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{1}{6}x^4o(x^4) \\ 所以\lim\limits_{x\to0}{\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sin^4 x}}\lim\limits_{x\to0}{\frac{\frac{1}{6}x^4o(x^4)}{x^4}}\frac{1}{6} 解当x→0时,有sin4x∽x4,那么分子展成4阶泰勒公式cosx1−2!x24!x4o(x4)e−2x21(−2x2)2!(−2x2)2o(x4)cosx−e−2x261x4o(x4)所以x→0limsin4xcosx−e−2x2x→0limx461x4o(x4)61 注 利用泰勒公式求极限就是用多项式余项代替复杂公式进而求多项式余项的极限的思想 那么泰勒公式要展成几阶呢观察分子、分母的最低次幂 要注意与等价无穷小代换有理化等结合使用
6.3 确定无穷小的阶数 若f(x)ajxkaj1xk1⋯amxn,(aj̸0,kn)f(x)a_jx^ka_{j1}x^{k1}\cdotsa_mx^n,(a_j\not0,k\lt n)f(x)ajxkaj1xk1⋯amxn,(aj0,kn), 则当x→0x\to0x→0时有f(x)∽ajxkf(x)\backsim a_{j}x^kf(x)∽ajxk 即f(x)是x的k阶无穷小f(x)是x的k阶无穷小f(x)是x的k阶无穷小 证明limx→0f(x)ajxklimx→0ajxkaj1xk1⋯amxnajxklimx→0(1aj1ajxaj2ajx2⋯amajxn−k)1即f(x)∽ajxk或f(x)是x的k阶无穷小证明 \lim\limits_{x\to0}{\frac{f(x)}{a_jx^k}}\lim\limits_{x\to0}{\frac{a_jx^ka_{j1}x^{k1}\cdotsa_mx^n}{a_jx^k}} \\ \lim\limits_{x\to0}{(1\frac{a_{j1}}{a_j}x\frac{a_{j2}}{a_j}x^2\cdots\frac{a_m}{a_j}x^{n-k})}1 \\ 即f(x)\backsim a_jx^k或f(x)是x的k阶无穷小 证明x→0limajxkf(x)x→0limajxkajxkaj1xk1⋯amxnx→0lim(1ajaj1xajaj2x2⋯ajamxn−k)1即f(x)∽ajxk或f(x)是x的k阶无穷小
例4 试确定a,b,使f(x)x−(abcosx)sinx,当x→0a,b,使f(x)x-(ab\cos x)\sin x,当x\to0a,b,使f(x)x−(abcosx)sinx,当x→0时是关于x的5x的5x的5阶无穷小。 解化简f(x)f(x)x−(abcosx)sinxx−asinx−bsinxcosxx−asinx−b2sin2x把f(x)展成5阶麦克劳林公式得f(x)x−a(x−x33!x55!o(x5))−b2(2x−23x33!25x55!o(x5))(1−a−b)xa4b3!x3−a16b5!x5o(x5)因为f(x)是关于x的5阶无穷小则{1−a−b0a4b0a16b̸0求解方程组得a−13b43解化简f(x) \\ f(x)x-(ab\cos x)\sin xx-a\sin x-b\sin x\cos xx-a\sin x-\frac{b}{2}\sin 2x \\ 把f(x)展成5阶麦克劳林公式得\\ f(x)x-a(x-\frac{x^3}{3!}\frac{x^5}{5!}o(x^5))-\frac{b}{2}(2x-\frac{2^3x^3}{3!}\frac{2^5x^5}{5!}o(x^5)) \\ (1-a-b)x\frac{a4b}{3!}x^3-\frac{a16b}{5!}x^5o(x^5) \\ 因为f(x)是关于x的5阶无穷小则 \\ \begin{cases} 1-a-b0 \\ a4b0 \\ a16b\not0 \end{cases} \\ 求解方程组得 a-\frac{1}{3} \quad b\frac{4}{3} 解化简f(x)f(x)x−(abcosx)sinxx−asinx−bsinxcosxx−asinx−2bsin2x把f(x)展成5阶麦克劳林公式得f(x)x−a(x−3!x35!x5o(x5))−2b(2x−3!23x35!25x5o(x5))(1−a−b)x3!a4bx3−5!a16bx5o(x5)因为f(x)是关于x的5阶无穷小则⎩⎨⎧1−a−b0a4b0a16b0求解方程组得a−31b34
6.4 求f(n)(x0)f^{(n)}(x_0)f(n)(x0)即f(x)f(x)f(x)的n阶导在某一点的值 原理 f(x)的n阶泰勒公式为:f(x0)f′(x0)(x−x0)f′(x0)2!(x−x0)2⋯f(n)(x0)n!(x−x0)no((x−x0)n)f(x)的n阶泰勒公式为:f(x_0)f^{}(x_0)(x-x_0)\frac{f^{}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\cdots\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^no((x-x_0)^n)f(x)的n阶泰勒公式为:f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′(x0)(x−x0)2⋯n!f(n)(x0)(x−x0)no((x−x0)n) 若已知f(x)f(x)f(x)的展开式为f(x0)f′(x0)(x−x0)f′(x0)2!(x−x0)2⋯f(n)(x0)n!(x−x0)no((x−x0)n)f(x_0)f^{}(x_0)(x-x_0)\frac{f^{}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\cdots\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^no((x-x_0)^n)f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′(x0)(x−x0)2⋯n!f(n)(x0)(x−x0)no((x−x0)n) 则f(n)(x0)n!an,即f(n)(x0)n!an\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}a_n,即f^{(n)}(x_0)n!a_nn!f(n)(x0)an,即f(n)(x0)n!an 例5 f(x)(1x2)⋅exf(x)(1x^2)\cdot e^xf(x)(1x2)⋅ex,求f(100)(0)f^{(100)}(0)f(100)(0)
1可以利用莱布尼茨公式求f(x)的100阶导数f(x)的100阶导数f(x)的100阶导数在带入x0求值
2利用麦克劳林公式(x0) 解因为求f(100)(0)那么我们把f(x)展成100阶麦克劳林公式且只关心x100项的系数f(x)(1x2)(1x⋯198!x98⋯1100!x100o(x100))设x100项的系数为a100,则a1001100!198!则f(100)(0)a100100!(1100!198!)100!199009901解因为求f^{(100)}(0)那么我们把f(x)展成100阶麦克劳林公式且只关心x^{100}项的系数 \\ f(x)(1x^2)(1x\cdots\frac{1}{98!}x^{98}\cdots\frac{1}{100!}x^{100}o(x^{100})) \\ 设x^{100}项的系数为a_{100},则 \\ a_{100} \frac{1}{100!}\frac{1}{98!} 则 \\ f^{(100)}(0)a_{100}100!(\frac{1}{100!}\frac{1}{98!})100!199009901 解因为求f(100)(0)那么我们把f(x)展成100阶麦克劳林公式且只关心x100项的系数f(x)(1x2)(1x⋯98!1x98⋯100!1x100o(x100))设x100项的系数为a100,则a100100!198!1则f(100)(0)a100100!(100!198!1)100!199009901
6.5 证明题
例6. 设函数f(x)在闭区间[−1,1]f(x)在闭区间[-1,1]f(x)在闭区间[−1,1]上是具有3阶连续导数且f(−1)0,f(1)1,f′(0)0f(-1)0,f(1)1,f^{}(0)0f(−1)0,f(1)1,f′(0)0
证明存在ξ∈(−1,1),使f′′′(ξ)3\xi\in(-1,1),使f^{}(\xi)3ξ∈(−1,1),使f′′′(ξ)3
分析
证明涉及到二阶及以上的导数考虑泰勒公式。 要展成几阶泰勒公式结论为f′′′(ξ)f^{}(\xi)f′′′(ξ),余项为阶展成2阶泰勒公式即可在哪一点展开-看哪一点的信息最利于展开 在0出有1阶导的值适合展开
证明f(x)在x0处展开2阶泰勒公式得f(x)f(0)f′(0)xf′′(0)2!x2f′′′(ξ)3!x3(ξ在0及x之间)带入f(−1)0,f(1)1,f′(0)0得{f(−1)0f(0)f′′(0)2−f′′′(ξ1)6(ξ1∈(−1,0))(1)f(1)1f(0)f′′(0)2f′′′(ξ2)6(ξ2∈(0,1))(2)(2)式−(1)式得f′′′(ξ1)f′′′(ξ2)61即f′′′(ξ1)f′′′(ξ2)23令g(x)f′′′(x),x∈[−1,1],则g(x)在[−1,1]上连续ξ1∈(−1,0),ξ2∈(0,1),则min{g(ξ1),g(ξ2)}≤g(ξ1)g(ξ2)2≤max{g(ξ1),g(ξ2)}则由介值定理知∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(−1,1),使g(ξ)3即f′′′(ξ)3证明f(x)在x0处展开2阶泰勒公式 得\\ f(x)f(0)f^{}(0)x\frac{f^{}(0)}{2!}x^2\frac{f^{}(\xi)}{3!}x^3(\xi在0及x之间) \\ 带入f(-1)0,f(1)1,f^{}(0)0 \quad得\\ \begin{cases} f(-1)0f(0)\frac{f^{}(0)}{2}-\frac{f^{}(\xi_1)}{6}(\xi_1\in(-1,0)) \quad (1) \\ f(1)1f(0)\frac{f^{}(0)}{2}\frac{f^{}(\xi_2)}{6}(\xi_2\in(0,1)) \quad(2) \end{cases} \\ (2)式-(1)式得 \\ \frac{f^{}(\xi_1)f^{}(\xi_2)}{6}1 即\frac{f^{}(\xi_1)f^{}(\xi_2)}{2}3 \\ 令g(x)f^{}(x),x\in[-1,1],则g(x)在[-1,1]上连续 \\ \xi_1\in(-1,0),\xi_2\in(0,1),则 \\ \min\{g(\xi_1),g(\xi_2)\}\le\frac{g(\xi_1)g(\xi_2)}{2}\le\max\{g(\xi_1),g(\xi_2)\} \\ 则由介值定理知 \exists\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(-1,1),使g(\xi)3 即\\ f^{}(\xi)3 证明f(x)在x0处展开2阶泰勒公式得f(x)f(0)f′(0)x2!f′′(0)x23!f′′′(ξ)x3(ξ在0及x之间)带入f(−1)0,f(1)1,f′(0)0得⎩⎨⎧f(−1)0f(0)2f′′(0)−6f′′′(ξ1)(ξ1∈(−1,0))(1)f(1)1f(0)2f′′(0)6f′′′(ξ2)(ξ2∈(0,1))(2)(2)式−(1)式得6f′′′(ξ1)f′′′(ξ2)1即2f′′′(ξ1)f′′′(ξ2)3令g(x)f′′′(x),x∈[−1,1],则g(x)在[−1,1]上连续ξ1∈(−1,0),ξ2∈(0,1),则min{g(ξ1),g(ξ2)}≤2g(ξ1)g(ξ2)≤max{g(ξ1),g(ξ2)}则由介值定理知∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(−1,1),使g(ξ)3即f′′′(ξ)3
7 后记 ❓QQ:806797785 ⭐️文档笔记地址https://gitee.com/gaogzhen/math 参考
[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P137~p143.
[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频纯干货知识点解析应该是全网最细微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p21.
