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https://leetcode.cn/problems/binary-search/description/
给定一个 n 个元素有序的#xff08;升序#xff09;整型数组 nums 和一个目标值 target #xff0c;写一个函数搜索 nums 中的 target#xff0c;如果目标值存在返回下标#xff0c;否则返回 -1。
示例…题目
https://leetcode.cn/problems/binary-search/description/
给定一个 n 个元素有序的升序整型数组 nums 和一个目标值 target 写一个函数搜索 nums 中的 target如果目标值存在返回下标否则返回 -1。
示例 1:
输入: nums [-1,0,3,5,9,12], target 9 输出: 4 解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4 示例 2: 输入: nums [-1,0,3,5,9,12], target 2 输出: -1 解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1 提示
你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。n 将在 [1, 10000]之间。nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。
思路
这道题前提是数组为有序数组同时题目还强调数组中无重复元素因为一旦有重复元素使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的这些都是使用二分法的前提条件当大家看到题目描述满足如上条件的时候可要想一想是不是可以用二分法了。
二分查找涉及的很多的边界条件逻辑比较简单但就是写不好。例如到底是 while(left right) 还是 while(left right)到底是right middle呢还是要right middle - 1呢
大家写二分法经常写乱主要是因为对区间的定义没有想清楚区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中保持不变量就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作这就是循环不变量规则。
写二分法区间的定义一般为两种左闭右闭即[left, right]或者左闭右开即[left, right)。
下面我用这两种区间的定义分别讲解两种不同的二分写法。 二分法 第一种写法
第一种写法我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里也就是[left, right] 这个很重要非常重要。
区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写因为定义target在[left, right]区间所以有如下两点
while (left right) 要使用 因为left right是有意义的所以使用 if (nums[middle] target) right 要赋值为 middle - 1因为当前这个nums[middle]一定不是target那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1
例如在数组1,2,3,4,7,9,10中查找元素2如图所示 代码如下详细注释C
// 版本一
class Solution {
public:int search(vectorint nums, int target) {int left 0;int right nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里[left, right]while (left right) { // 当leftright区间[left, right]依然有效所以用 int middle left ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left right)/2if (nums[middle] target) {right middle - 1; // target 在左区间所以[left, middle - 1]} else if (nums[middle] target) {left middle 1; // target 在右区间所以[middle 1, right]} else { // nums[middle] targetreturn middle; // 数组中找到目标值直接返回下标}}// 未找到目标值return -1;}
};
时间复杂度O(log n)空间复杂度O(1)
二分法第二种写法
如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里也就是[left, right) 那么二分法的边界处理方式则截然不同。
有如下两点
while (left right)这里使用 ,因为left right在区间[left, right)是没有意义的if (nums[middle] target) right 更新为 middle因为当前nums[middle]不等于target去左区间继续寻找而寻找区间是左闭右开区间所以right更新为middle即下一个查询区间不会去比较nums[middle]
在数组1,2,3,4,7,9,10中查找元素2如图所示注意和方法一的区别 代码如下详细注释C
// 版本二
class Solution {
public:int search(vectorint nums, int target) {int left 0;int right nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里即[left, right)while (left right) { // 因为left right的时候在[left, right)是无效的空间所以使用 int middle left ((right - left) 1);if (nums[middle] target) {right middle; // target 在左区间在[left, middle)中} else if (nums[middle] target) {left middle 1; // target 在右区间在[middle 1, right)中} else { // nums[middle] targetreturn middle; // 数组中找到目标值直接返回下标}}// 未找到目标值return -1;}
};
时间复杂度O(log n)空间复杂度O(1)
总结
二分法是非常重要的基础算法为什么很多同学对于二分法都是一看就会一写就废
其实主要就是对区间的定义没有理解清楚在循环中没有始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。
区间的定义就是不变量那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理就是循环不变量规则。
本篇根据两种常见的区间定义给出了两种二分法的写法每一个边界为什么这么处理都根据区间的定义做了详细介绍。
相信看完本篇应该对二分法有更深刻的理解了。
注意
在下面的代码中使用 middle left (right - left) / 2 而不是 middle (left right) / 2 的主要原因是为了防止整数溢出。
当 left 和 right 都很大且接近 int 类型的最大值时它们的和可能会超出 int 类型能够表示的范围从而导致溢出。溢出后的结果再除以2可能会导致一个不正确的中间索引值。
为了避免这种溢出情况我们计算 right - left这个差值一定小于或等于 right然后再加到 left 上。这样即使 right 很大right - left 仍然是一个可以安全处理的整数再与 left 相加并进行整数除法就可以得到一个正确的中间索引而不会导致溢出。
因此虽然 middle (left right) / 2 在很多情况下也能正常工作但在处理非常大的整数时使用 middle left (right - left) / 2 更为稳妥和安全。这是一种常见的二分查找算法中的优化技巧用于确保代码在极端情况下也能正确运行。
小提示
对于 middle left (right - left) / 2这个表达式中的操作包括加法、减法和整数除法。在这个特定的表达式中减法和加法具有相同的优先级并且都是左结合的所以它们会按照从左到右的顺序进行。整数除法 / 在这个表达式中的优先级低于加法和减法所以加法和减法会首先进行。 其他语言版本
Java
版本一左闭右闭区间 class Solution {public int search(int[] nums, int target) {// 避免当 target 小于nums[0] nums[nums.length - 1]时多次循环运算if (target nums[0] || target nums[nums.length - 1]) {return -1;}int left 0, right nums.length - 1;while (left right) {int mid left ((right - left) 1);if (nums[mid] target)return mid;else if (nums[mid] target)left mid 1;else if (nums[mid] target)right mid - 1;}return -1;}
} 版本二左闭右开区间 class Solution {public int search(int[] nums, int target) {int left 0, right nums.length;while (left right) {int mid left ((right - left) 1);if (nums[mid] target)return mid;else if (nums[mid] target)left mid 1;else if (nums[mid] target)right mid;}return -1;}
} Python
版本一左闭右闭区间 class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) - int:left, right 0, len(nums) - 1 # 定义target在左闭右闭的区间里[left, right]while left right:middle left (right - left) // 2if nums[middle] target:right middle - 1 # target在左区间所以[left, middle - 1]elif nums[middle] target:left middle 1 # target在右区间所以[middle 1, right]else:return middle # 数组中找到目标值直接返回下标return -1 # 未找到目标值 版本二左闭右开区间 class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) - int:left, right 0, len(nums) # 定义target在左闭右开的区间里即[left, right)while left right: # 因为left right的时候在[left, right)是无效的空间所以使用 middle left (right - left) // 2if nums[middle] target:right middle # target 在左区间在[left, middle)中elif nums[middle] target:left middle 1 # target 在右区间在[middle 1, right)中else:return middle # 数组中找到目标值直接返回下标return -1 # 未找到目标值 C
版本一左闭右闭区间 // (版本一) 左闭右闭区间 [left, right]
int search(int* nums, int numsSize, int target){int left 0;int right numsSize-1;int middle 0;//若left小于等于right说明区间中元素不为0while(leftright) {//更新查找下标middle的值middle (leftright)/2;//此时target可能会在[left,middle-1]区间中if(nums[middle] target) {right middle-1;} //此时target可能会在[middle1,right]区间中else if(nums[middle] target) {left middle1;} //当前下标元素等于target值时返回middleelse if(nums[middle] target){return middle;}}//若未找到target元素返回-1return -1;
} 版本二左闭右开区间 // (版本二) 左闭右开区间 [left, right)
int search(int* nums, int numsSize, int target){int length numsSize;int left 0;int right length; //定义target在左闭右开的区间里即[left, right)int middle 0;while(left right){ // left right时区间[left, right)属于空集所以用 避免该情况int middle left (right - left) / 2;if(nums[middle] target){//target位于(middle , right) 中为保证集合区间的左闭右开性可等价为[middle 1,right)left middle 1;}else if(nums[middle] target){//target位于[left, middle)中right middle ;}else{ // nums[middle] target 找到目标值targetreturn middle;}}//未找到目标值返回-1return -1;
}
