外贸网站建设的意义,商洛网站建设求职简历,徐东网站建设,wordpress4.6文章目录 一、随机试验与随机事件1.1 随机试验1.2 样本空间1.3 随机事件 二、事件的运算与关系2.1 事件的运算2.2 事件的关系2.3 事件运算的性质 三、概率的公理化定义与概率的基本性质3.1 概率的公理化定义3.2 概率的基本性质 写在最后 一、随机试验与随机事件
1.1 随机试验 … 文章目录 一、随机试验与随机事件1.1 随机试验1.2 样本空间1.3 随机事件 二、事件的运算与关系2.1 事件的运算2.2 事件的关系2.3 事件运算的性质 三、概率的公理化定义与概率的基本性质3.1 概率的公理化定义3.2 概率的基本性质 写在最后 一、随机试验与随机事件
1.1 随机试验
若一个试验满足如下条件
在相同的条件下该试验可重复进行试验的结果是多样的且所有可能的结果在试验前都是确定的某次试验之前不确定具体发生的结果
这样的试验称为随机试验简称试验一般用字母 E E E 表示。
1.2 样本空间
设 E E E 为随机试验随机试验 E E E 的所有可能的基本结果所组成的集合称为随机试验 E E E 的样本空间记为 Ω \Omega Ω Ω \Omega Ω 中的任意一个元素称为样本点。 1样本空间里面所有的元素必须是最基本的即不可再分。 2样本空间必须是所有可能的基本结果即具有完备性且同一个基本结果在样本空间中只出现一次。 1.3 随机事件
设 E E E 为随机试验 Ω \Omega Ω 为其样本空间则 Ω \Omega Ω 的子集称为随机事件其中 ∅ \emptyset ∅ 称为不可能事件 Ω \Omega Ω 称为必然事件。
二、事件的运算与关系
2.1 事件的运算
设 A , B A,B A,B 为两个随机事件则事件 A A A 与事件 B B B 同时发生的事件称为事件 A , B A,B A,B 的积事件记为 A B AB AB 或 A ⋂ B A\bigcap B A⋂B 如下图所示。 事件 A A A 或事件 B B B 发生的事件即事件 A A A 与事件 B B B 至少有一个事件发生的事件称为事件 A , B A,B A,B 的和事件记为 A B AB AB 或 A ⋃ B A\bigcup B A⋃B 如下图所示。 事件 A A A 发生而事件 B B B 不发生的事件称为事件 A , B A,B A,B 的差事件记为 A − B A-B A−B 。事件 A A A 不发生的事件称为事件 A A A 的补事件记为 A ‾ \overline{A} A 。
2.2 事件的关系
设 A , B A,B A,B 为两个随机事件若事件 A A A 发生时事件 B B B 一定发生则称 A A A 包含于 B B B 记为 A ⊂ B A\subset B A⊂B 。若有 A ⊂ B , B ⊂ A A\subset B,B\subset A A⊂B,B⊂A 称两事件相等记为 A B AB AB 。
若事件 A A A 与 B B B 不能同时发生称事件 A , B A,B A,B 不相容或互斥如下图所示。 若事件 A A A 与 B B B 不能同时发生但至少会有一个发生称事件 A , B A,B A,B 为对立事件如下图所示。 1 A ( A − B ) A B A(A-B)AB A(A−B)AB 且 A − B A-B A−B 与 A B AB AB 互斥。 2 A B ( A − B ) ( B − A ) A B AB(A-B)(B-A)AB AB(A−B)(B−A)AB 且 A − B , B − A , A B A-B,B-A,AB A−B,B−A,AB 两两互斥。 3 A B ⊂ A ⊂ A B , A B ⊂ B ⊂ A B AB\subset A\subset AB,AB\subset B\subset AB AB⊂A⊂AB,AB⊂B⊂AB 。 4事件 A , B A,B A,B 互斥的充要条件是 A B ∅ AB\empty AB∅ 。 5事件 A , B A,B A,B 对立的充要条件是 A B ∅ AB\empty AB∅ 且 A B Ω AB\Omega ABΩ 。 2.3 事件运算的性质
好多啊如果要记住的话可费劲了还容易错最好还是结合图示来记忆和推吧。
1. A B B A , A B B A ; ABBA,ABBA; ABBA,ABBA;
2. ( 1 ) A ⋃ A A , A ⋂ A A ; (1)A\bigcup AA,A\bigcap AA; (1)A⋃AA,A⋂AA; 2 A ⋂ ( B ⋃ C ) ( A ⋂ B ) ⋃ ( A ⋂ C ) , A ⋃ ( B ⋂ C ) ( A ⋃ B ) ⋂ ( A ⋃ C ) ; 2A\bigcap(B\bigcup C)(A\bigcap B)\bigcup (A\bigcap C),A \bigcup (B \bigcap C)(A\bigcup B) \bigcap (A \bigcup C); 2A⋂(B⋃C)(A⋂B)⋃(A⋂C),A⋃(B⋂C)(A⋃B)⋂(A⋃C);
3.(1) A ( A − B ) ⋃ A ; A(A-B) \bigcup A; A(A−B)⋃A; 2 ( A − B ) ⋂ A A − B ; 2(A-B)\bigcap AA-B; 2(A−B)⋂AA−B; 3 A B ( A − B ) ⋃ A B ⋃ ( B − A ) ; 3AB(A-B)\bigcup AB \bigcup (B-A); 3AB(A−B)⋃AB⋃(B−A);
4.(1) A A ‾ Ω ; A\overline{A}\Omega; AAΩ; 2 A ⋂ A ‾ ∅ ; 2A \bigcap \overline{A} \empty; 2A⋂A∅;
5.(1) A ∩ B ‾ A ‾ ∪ B ‾ ; \overline{A\cap B}\overline{A}\cup \overline{B}; A∩BA∪B; 2 A ‾ ∩ B ‾ A ∪ B ‾ 2\overline{A}\cap\overline{B}\overline{A\cup B} 2A∩BA∪B 第 5 条的结论比较有规律很像戴帽子和脱帽子都要变运算。同样有如下运算性质 A ∪ B ‾ A ‾ ∩ B ‾ , A ‾ ∪ B ‾ A ∩ B ‾ \overline{A\cup B}\overline{A}\cap \overline{B},\overline{A}\cup\overline{B}\overline{A\cap B} A∪BA∩B,A∪BA∩B 三、概率的公理化定义与概率的基本性质
3.1 概率的公理化定义
设随机试验 E E E 的样本空间为 Ω \Omega Ω 在 Ω \Omega Ω 上定义满足如下条件的随机事件的函数 P ( A ) ( A ⊂ Ω ) P(A)(A \subset \Omega) P(A)(A⊂Ω) 称为事件 A A A 的概率
1(非负性) 对任意的事件 A A A 有 P ( A ) ≥ 0 ; P(A) \geq 0; P(A)≥0;
2(归一性) P ( Ω ) 1 ; P(\Omega)1; P(Ω)1;
3(可列可加性) 设 A 1 , A 2 , … , A n , … A_1,A_2,\dots,A_n,\dots A1,A2,…,An,… 为不相容的随机事件则有 P ( ⋃ n 1 ∞ A n ) ∑ n 1 ∞ P ( A n ) , P(\bigcup_{n1}^{\infty}A_n)\sum_{n1}^{\infty}P(A_n), P(n1⋃∞An)n1∑∞P(An), 则对任意的 A ⊂ Ω A\subset \Omega A⊂Ω 称 P ( A ) P(A) P(A) 为事件 A A A 的概率。
3.2 概率的基本性质
一 P ( ∅ ) 0. P(\empty)0. P(∅)0. 证明令 A 1 A 2 ⋯ A n ⋯ ∅ A_1A_2 \dotsA_n\dots\empty A1A2⋯An⋯∅ 有 A 1 A 2 ⋯ A n … A_1A_2 \dotsA_n\dots A1A2⋯An… 互不相容由可列可加性有 P ( A 1 A 2 ⋯ A n … ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) … P ( A n ) … , P(A_1A_2 \dotsA_n\dots)P(A_1)P(A_2)\dots P(A_n)\dots, P(A1A2⋯An…)P(A1)P(A2)…P(An)…, 由 A 1 A 2 ⋯ A n ⋯ ∅ A_1A_2 \dotsA_n\dots \empty A1A2⋯An⋯∅ 可得 P ( ∅ ) P ( ∅ ) P ( ∅ ) ⋯ P ( ∅ ) … , P(\empty)P(\empty)P(\empty)\dotsP(\empty)\dots , P(∅)P(∅)P(∅)⋯P(∅)…, 故 P ( ∅ ) 0 P(\empty)0 P(∅)0 。
二(有限可加性) 设 A 1 , A 2 , … , A n A_1,A_2,\dots,A_n A1,A2,…,An 为互斥的有限个随机事件列则 P ( ⋃ k 1 n A k ) ∑ k 1 n P ( A k ) . P(\bigcup_{k1}^{n}A_k)\sum_{k1}^{n}P(A_k). P(k1⋃nAk)k1∑nP(Ak). 证明取 A n 1 A n 2 ⋯ ∅ A_{n1}A_{n2}\dots\empty An1An2⋯∅ 则 A 1 , A 2 , … , A n , … A_1,A_2,\dots,A_n,\dots A1,A2,…,An,… 为不相容的随机事件由 P ( A n 1 ) P ( A n 2 ) ⋯ 0 P(A_{n1})P(A_{n2})\dots0 P(An1)P(An2)⋯0 及可列可加性可得 P ( ⋃ n 1 ∞ A n ) P ( ⋃ k 1 n A k ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) … P ( A n ) ∑ k 1 n P ( A k ) . P(\bigcup_{n1}^{\infty}A_n)P(\bigcup_{k1}^{n}A_k)P(A_1)P(A_2)\dots P(A_n)\sum_{k1}^{n}P(A_k). P(n1⋃∞An)P(k1⋃nAk)P(A1)P(A2)…P(An)k1∑nP(Ak). 三(补概率的公式) P ( A ‾ ) 1 − P ( A ) . P(\overline{A})1-P(A). P(A)1−P(A).
写在最后
剩下关于概率的基本公式、独立事件以及贝叶斯和概型放到下一篇文章吧。
