做广告公司网站建设价格,上海奉贤网站建设,代理网址域名,重庆建网站推广DPO 核心思想#xff1a;直接使用偏好数据进行策略优化#xff0c;省去 reward 模型策略优化。 技术背景知识#xff1a; 首先给定prompt x#xff0c;生成两个答案 ( y 1 , y 2 ) Π S F T ( y ∣ x ) (y_1,y_2)~\Pi^{SFT}(y|x) (y1,y2) ΠSFT(y∣x) #xff0c;并通…DPO 核心思想直接使用偏好数据进行策略优化省去 reward 模型策略优化。 技术背景知识 首先给定prompt x生成两个答案 ( y 1 , y 2 ) Π S F T ( y ∣ x ) (y_1,y_2)~\Pi^{SFT}(y|x) (y1,y2) ΠSFT(y∣x) 并通过人工标注对比 y 1 , y 2 y_1,y_2 y1,y2 获得偏好结果(preference) y w ≻ y l ∣ x y_w\succ y_l|x yw≻yl∣x其中 w w w和 l l l表示win和lose。 引入奖励模型 r r r , y 1 y 2 y_1 y_2 y1y2 的概率可以表示为 p ( y 1 y 2 ) r ∗ ( x , y 1 ) r ∗ ( x , y 1 ) r ∗ ( x , y 2 ) p(y_1 y_2) \frac{r^*(x,y_1)}{r^*(x,y_1) r^*(x,y_2)} p(y1y2)r∗(x,y1)r∗(x,y2)r∗(x,y1) 为使得奖励函数均为正数引入Bradley-Terry 模型。 Bradley-Terry p ∗ ( y w ≻ y l ∣ x ) e x p ( r ∗ ( x , y 1 ) ) e x p ( r ∗ ( x , y 1 ) ) e x p ( r ∗ ( x , y 2 ) ) p^{*}(y_w\succ y_l|x) \frac{exp(r^*(x,y_1))}{exp(r^*(x,y_1)) exp(r^*(x,y_2))} p∗(yw≻yl∣x)exp(r∗(x,y1))exp(r∗(x,y2))exp(r∗(x,y1)) 交叉熵 令 a x e x p ( r ∗ ( x , y 1 ) ) a_x exp(r^*(x,y_1)) axexp(r∗(x,y1)), a y e x p ( r ∗ ( x , y 2 ) ) a_y exp(r^*(x,y_2)) ayexp(r∗(x,y2)) L o s s − E ( a x , a y ) ∼ D [ l n a x a x a y ] − E ( x , y w , y l ) ∼ D [ l n e x p ( r ∗ ( x , y w ) ) e x p ( r ∗ ( x , y w ) ) e x p ( r ∗ ( x , y l ) ) ] − E ( x , y w , y l ) ∼ D [ l n 1 1 e x p ( r ∗ ( x , y l ) − r ∗ ( x , y w ) ) ] − E ( x , y w , y l ) ∼ D [ l n σ ( r ∗ ( x , y w ) − r ∗ ( x , y l ) ) ] Loss -E_{(a_x,a_y)\sim D}[ln\frac{a_x}{a_xa_y}] \\ - E_{(x,y_w,y_l)\sim D}[ln\frac{exp(r^*(x,y_w))}{exp(r^*(x,y_w))exp(r^*(x,y_l))}] \\ - E_{(x,y_w,y_l)\sim D}[ln\frac{1}{1exp(r^*(x,y_l)-r^*(x,y_w))}] \\ - E_{(x,y_w,y_l)\sim D}[ln \sigma(r^*(x,y_w) -r^*(x,y_l))] \\ Loss−E(ax,ay)∼D[lnaxayax]−E(x,yw,yl)∼D[lnexp(r∗(x,yw))exp(r∗(x,yl))exp(r∗(x,yw))]−E(x,yw,yl)∼D[ln1exp(r∗(x,yl)−r∗(x,yw))1]−E(x,yw,yl)∼D[lnσ(r∗(x,yw)−r∗(x,yl))] KL 散度 K L ( P ∣ ∣ Q ) ∑ x ∈ X P ( X ) l o g ( P ( X ) Q ( X ) ) KL(P||Q) \sum_{x\in X}P(X)log(\frac{P(X)}{Q(X)}) KL(P∣∣Q)x∈X∑P(X)log(Q(X)P(X)) P ( x ) , Q ( x ) P(x),Q(x) P(x),Q(x) 分别是数据真实分布和模型预测分布。 DPO 目标函数:获取更多的奖励并尽可能保证与基准模型一致。 m a x π E x ∈ X , y ∈ π [ r ( x , y ) ] − β ⋅ D K L [ π ( y ∣ x ) ∣ ∣ π r e f ( y ∣ x ) ] m a x π E x ∈ X , y ∈ π [ r ( x , y ) ] − E x ∈ X , y ∈ π [ β ⋅ l o g π ( y ∣ x ) π r e f ( y ∣ x ) ] m a x π E x ∈ X , y ∈ π [ r ( x , y ) − β ⋅ l o g π ( y ∣ x ) π r e f ( y ∣ x ) ] m a x π E x ∈ X , y ∈ π [ l o g π ( y ∣ x ) π r e f ( y ∣ x ) − 1 β r ( x , y ) ) ] m i n π E x ∈ X , y ∈ π [ l o g π ( y ∣ x ) π r e f ( y ∣ x ) − l o g e x p ( 1 β r ( x , y ) ) ] m i n π E x ∈ X , y ∈ π [ l o g π ( y ∣ x ) π r e f ( y ∣ x ) ⋅ e x p ( 1 β r ( x , y ) ) ] m i n π E x ∈ X , y ∈ π [ l o g π ( y ∣ x ) 1 Z ( x ) π r e f ( y ∣ x ) ⋅ e x p ( 1 β r ( x , y ) ) − l o g Z ( x ) ] \underset{\pi}{max} E_{x\in X, y \in \pi}[r(x,y)] - \beta·\mathbb{D}_{KL}[\pi(y|x) || \pi_{ref}(y|x)] \\ \underset{\pi}{max} E_{x\in X, y \in \pi}[r(x,y)] - E_{x\in X, y \in \pi}[\beta·log \frac{\pi(y|x)}{\pi_{ref}(y|x)}] \\ \underset{\pi}{max} E_{x\in X, y \in \pi}[r(x,y) - \beta·log \frac{\pi(y|x)}{\pi_{ref}(y|x)}] \\ \underset{\pi}{max} E_{x\in X, y \in \pi}[log \frac{\pi(y|x)}{\pi_{ref}(y|x)}- \frac{1}{\beta}r(x,y))] \\ \underset{\pi}{min} E_{x\in X, y \in \pi}[log \frac{\pi(y|x)}{\pi_{ref}(y|x)}- log \ \ exp(\frac{1}{\beta}r(x,y))] \\ \underset{\pi}{min} E_{x\in X, y \in \pi}[log \frac{\pi(y|x)}{\pi_{ref}(y|x)·exp(\frac{1}{\beta}r(x,y))} ] \\ \underset{\pi}{min} E_{x\in X, y \in \pi}[log \frac{\pi(y|x)}{\frac{1}{Z(x)}\pi_{ref}(y|x)·exp(\frac{1}{\beta}r(x,y))} - log \ \ Z(x) ] \\ πmaxEx∈X,y∈π[r(x,y)]−β⋅DKL[π(y∣x)∣∣πref(y∣x)]πmaxEx∈X,y∈π[r(x,y)]−Ex∈X,y∈π[β⋅logπref(y∣x)π(y∣x)]πmaxEx∈X,y∈π[r(x,y)−β⋅logπref(y∣x)π(y∣x)]πmaxEx∈X,y∈π[logπref(y∣x)π(y∣x)−β1r(x,y))]πminEx∈X,y∈π[logπref(y∣x)π(y∣x)−log exp(β1r(x,y))]πminEx∈X,y∈π[logπref(y∣x)⋅exp(β1r(x,y))π(y∣x)]πminEx∈X,y∈π[logZ(x)1πref(y∣x)⋅exp(β1r(x,y))π(y∣x)−log Z(x)] 令 Z ( x ) Z(x) Z(x) 表示如下 Z ( x ) ∑ y π r e f ( y ∣ x ) e x p ( 1 β r ( x , y ) ) Z(x) \underset{y}{\sum} \pi_{ref}(y|x) exp(\frac{1}{\beta}r(x,y) ) Z(x)y∑πref(y∣x)exp(β1r(x,y)) 令 1 Z ( x ) π r e f ( y ∣ x ) ⋅ e x p ( 1 β r ( x , y ) ) π r e f ( y ∣ x ) ⋅ e x p ( 1 β r ( x , y ) ) ∑ y π r e f ( y ∣ x ) e x p ( 1 β r ( x , y ) ) π ∗ ( y ∣ x ) \frac{1}{Z(x)}\pi_{ref}(y|x)·exp(\frac{1}{\beta}r(x,y)) \frac{\pi_{ref}(y|x)·exp(\frac{1}{\beta}r(x,y))}{\underset{y}{\sum} \pi_{ref}(y|x) exp(\frac{1}{\beta}r(x,y) )} \\ \pi^*(y|x) Z(x)1πref(y∣x)⋅exp(β1r(x,y))y∑πref(y∣x)exp(β1r(x,y))πref(y∣x)⋅exp(β1r(x,y))π∗(y∣x) 接下来继续对dpo 目标函数进行化简 m i n π E x ∈ X , y ∈ π [ l o g π ( y ∣ x ) 1 Z ( x ) π r e f ( y ∣ x ) ⋅ e x p ( 1 β r ( x , y ) ) − l o g Z ( x ) ] m i n π E x ∈ X , y ∈ π [ l o g π ( y ∣ x ) π ∗ ( y ∣ x ) − l o g Z ( x ) ] \underset{\pi}{min} E_{x\in X, y \in \pi}[log \frac{\pi(y|x)}{\frac{1}{Z(x)}\pi_{ref}(y|x)·exp(\frac{1}{\beta}r(x,y))} - log \ \ Z(x) ] \\ \underset{\pi}{min} E_{x\in X, y \in \pi}[log \frac{\pi(y|x)}{\pi^*(y|x)} - log \ \ Z(x) ] \\ πminEx∈X,y∈π[logZ(x)1πref(y∣x)⋅exp(β1r(x,y))π(y∣x)−log Z(x)]πminEx∈X,y∈π[logπ∗(y∣x)π(y∣x)−log Z(x)] 由于 Z ( x ) Z(x) Z(x) 表达式与 π \pi π 不相关优化可以直接省去。 m i n π E x ∈ X , y ∈ π [ l o g π ( y ∣ x ) π ∗ ( y ∣ x ) − l o g Z ( x ) ] m i n π E x ∈ X , y ∈ π [ l o g π ( y ∣ x ) π ∗ ( y ∣ x ) ] m i n π E x ∼ D [ D K L ( π ( y ∣ x ) ∣ ∣ π ∗ ( y ∣ x ) ) ] \underset{\pi}{min} E_{x\in X, y \in \pi}[log \frac{\pi(y|x)}{\pi^*(y|x)} - log \ \ Z(x) ] \\ \underset{\pi}{min} E_{x\in X, y \in \pi}[log \frac{\pi(y|x)}{\pi^*(y|x)} ] \\ \underset{\pi}{min} E_{x \sim D}[\mathbb{D}_{KL}(\pi(y|x) || \pi^*(y|x))] \\ πminEx∈X,y∈π[logπ∗(y∣x)π(y∣x)−log Z(x)]πminEx∈X,y∈π[logπ∗(y∣x)π(y∣x)]πminEx∼D[DKL(π(y∣x)∣∣π∗(y∣x))] 当 目标函数最小化也就是 D K L \mathbb{D}_{KL} DKL 最小化所满足的条件为 π ( y ∣ x ) π ∗ ( y ∣ x ) 1 Z ( x ) π r e f ( y ∣ x ) ⋅ e x p ( 1 β r ( x , y ) ) \pi(y|x) \pi^*(y|x) \frac{1}{Z(x)}\pi_{ref}(y|x)·exp(\frac{1}{\beta}r(x,y)) π(y∣x)π∗(y∣x)Z(x)1πref(y∣x)⋅exp(β1r(x,y)) 反解奖励函数 r ( x , y ) r(x,y) r(x,y) r ( x , y ) β π ( y ∣ x ) π r e f ( y ∣ x ) β ⋅ l n Z ( x ) r(x,y) \beta \frac{\pi(y|x)}{\pi_{ref}(y|x)} \beta · ln \Z(x) r(x,y)βπref(y∣x)π(y∣x)β⋅lnZ(x)
求解奖励函数隐式表达后带入Bradley-Terry 交叉熵函数 L o s s − E ( x , y w , y l ) ∼ D [ l n σ ( r ∗ ( x , y w ) − r ∗ ( x , y l ) ) ] − E ( x , y w , y l ) ∼ D [ l n σ ( β l o g π ( y w ∣ x ) π r e f ( y w ∣ x ) − β l o g π ( y l ∣ x ) π r e f ( y l ∣ x ) ) ] Loss - E_{(x,y_w,y_l)\sim D}[ln \sigma(r^*(x,y_w) -r^*(x,y_l))] \\ - E_{(x,y_w,y_l)\sim D}[ln \sigma(\beta log\frac{\pi(y_w|x)}{\pi_{ref}(y_w|x)} - \beta log \frac{\pi(y_l|x)}{\pi_{ref}(y_l|x)})] Loss−E(x,yw,yl)∼D[lnσ(r∗(x,yw)−r∗(x,yl))]−E(x,yw,yl)∼D[lnσ(βlogπref(yw∣x)π(yw∣x)−βlogπref(yl∣x)π(yl∣x))] 到此整个数学部分已推导完毕不得不说句牛逼plus。 梯度表征 将上述损失进行梯度求导 ∇ θ L o s s ( π θ ; π r e f ) − E ( x , y w , y l ) ∼ D [ β σ ( β l o g π ( y w ∣ x ) π r e f ( y w ∣ x ) − β l o g π ( y l ∣ x ) π r e f ( y l ∣ x ) ) [ ∇ θ l o g π ( y w ∣ x ) − ∇ θ l o g π ( y l ∣ x ) ] ] \nabla_\theta Loss(\pi_{\theta};\pi_{ref}) - E_{(x,y_w,y_l)\sim D}[\beta \sigma(\beta log\frac{\pi(y_w|x)}{\pi_{ref}(y_w|x)} - \beta log \frac{\pi(y_l|x)}{\pi_{ref}(y_l|x)}) [\nabla_{\theta}log \pi(y_w|x) - \nabla_{\theta}log \pi(y_l|x) ]] ∇θLoss(πθ;πref)−E(x,yw,yl)∼D[βσ(βlogπref(yw∣x)π(yw∣x)−βlogπref(yl∣x)π(yl∣x))[∇θlogπ(yw∣x)−∇θlogπ(yl∣x)]] 再令 r ^ ( x , y ) β π θ ( y ∣ x ) π r e f ( y ∣ x ) \hat{r}(x,y) \beta \frac{\pi_{\theta}(y|x)}{\pi_{ref}(y|x)} r^(x,y)βπref(y∣x)πθ(y∣x) 最终形式 ∇ θ L o s s ( π θ ; π r e f ) − β E ( x , y w , y l ) ∼ D [ σ ( r ^ ∗ ( x , y w ) − r ^ ∗ ( x , y l ) ) ⏟ h i g h e r w e i g h t w h e n r e w a r d e s t i m a t e i s w r o n g [ ∇ θ l o g π ( y w ∣ x ) ⏟ i n c r e a s e l i k e l i h o o d o f y w − ∇ θ l o g π ( y l ∣ x ) ⏟ d e c r e a s e l i k e l i h o o d o f y l ] ] \nabla_\theta Loss(\pi_{\theta};\pi_{ref}) -\beta E_{(x,y_w,y_l)\sim D}[\underbrace{\sigma(\hat{r}^*(x,y_w) -\hat{r}^*(x,y_l))}_{higher\ weight\ when\ reward\ estimate\ is\ wrong} [\underbrace{\nabla_{\theta}log \pi(y_w|x)}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ increase \ likelihood\ of\ y_w} - \underbrace{\nabla_{\theta}log \pi(y_l|x)}_{decrease \ likelihood \ of \ y_l} ]] ∇θLoss(πθ;πref)−βE(x,yw,yl)∼D[higher weight when reward estimate is wrong σ(r^∗(x,yw)−r^∗(x,yl))[ increase likelihood of yw ∇θlogπ(yw∣x)−decrease likelihood of yl ∇θlogπ(yl∣x)]] 改进方法ODPO dpo缺陷主要是采用Bradley–Terry model只给出了一个response比另一个response好的概率而没有告诉我们好的程度。
odpo 核心思想 把这个好的程度的差距信息引入到偏好的建模里应该能带来收益及在dpo损失里添加margin , 这相当于要求偏好回应的评估分数要比非偏好回应的评估分数大且要大offset值这么多。目的是加大对靠得比较近的数据对的惩罚力度。 L o s s o d p o − E ( x , y w , y l ) ∼ D [ l n σ ( r ∗ ( x , y w ) − r ∗ ( x , y l ) ) − δ r ] δ r α l o g ( r ( y w ) − r ( y l ) ) Loss^{odpo} - E_{(x,y_w,y_l)\sim D}[ln \sigma(r^*(x,y_w) -r^*(x,y_l)) - \delta_r] \\ \delta_r \alpha \ log(r(y_w)- r(y_l)) Lossodpo−E(x,yw,yl)∼D[lnσ(r∗(x,yw)−r∗(x,yl))−δr]δrα log(r(yw)−r(yl)) 相似改进方法 IPO KTO 都是不需要奖励模型的
