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要求与曲线 C C C相切于 P ( a , f ( a ) ) P(a, f(a)) P(a,f(a))点的切线我们可以在曲线上找到与之相近的一点 Q ( x , f ( x ) ) Q(x, f(x)) Q(x,f(x))然后求出割线 P Q PQ PQ的斜率 m P Q f ( x ) − f ( a ) x − a m_{PQ} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} mPQx−af(x)−f(a) 当 Q Q Q沿着曲线向 P P P逐渐靠近 m P Q m_{PQ} mPQ会越来越接近切线的斜率 m m m。 定义 1与曲线 f ( x ) f(x) f(x)切于点 P ( a , f ( a ) ) P(a, f(a)) P(a,f(a))的切线是一条穿过 P P P的直线其斜率为 m lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a m \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} mx→alimx−af(x)−f(a)
例一 求抛物线 y x 2 y x^2 yx2在点 P ( 1 , 1 ) P(1, 1) P(1,1)的切线公式。 解 已知 a 1 a 1 a1和 f ( x ) x 2 f(x) x^2 f(x)x2因此切线的斜率为 m lim x → 1 f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 lim x → 1 ( x − 1 ) ( x 1 ) x − 1 lim x → 1 ( x 1 ) 1 1 2 \begin{align*} m \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \\ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \\ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x 1)}{x - 1} \\ \lim_{x \to 1} (x 1) \\ 1 1 2 \end{align*} mx→1limx−1f(x)−f(1)x→1limx−1x2−1x→1limx−1(x−1)(x1)x→1lim(x1)112 再使用切点式有 y − 1 2 ( x − 1 ) y 2 x − 1 \begin{align*} y - 1 2(x - 1) \\ y 2x - 1 \end{align*} y−1y2(x−1)2x−1
除定义中给出的求切线斜率的表达式之外还有用下面的表达式 2求切线斜率 m lim h → 0 f ( a h ) − f ( a ) h m \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(a h) - f(a)}}{h} mh→0limhf(ah)−f(a) 例二 求双曲线 y 3 / x y 3/x y3/x在点 ( 3 , 1 ) (3, 1) (3,1)的切线方程。 根据表达式2有 m lim h → 0 f ( 3 h ) − f ( 3 ) h lim h → 0 ( 3 3 h − 1 h ) lim h → 0 ( 3 − ( 3 h ) 3 h h ) lim h → 0 ( − h h ( 3 h ) ) lim h → 0 ( − 1 3 h ) − 1 3 \begin{align*} m \lim_{{h \to 0}} \frac{f(3 h) - f(3)}{h} \\ \lim_{{h \to 0}} \left( \frac{\frac{3}{3 h} - 1}{h} \right) \\ \lim_{{h \to 0}} \left( \frac{\frac{3 - (3 h)}{3 h}}{h} \right) \\ \lim_{{h \to 0}} \left( \frac{-h}{h(3 h)} \right) \\ \lim_{{h \to 0}} \left( \frac{-1}{3 h} \right) \\ -\frac{1}{3} \end{align*} mh→0limhf(3h)−f(3)h→0lim(h3h3−1)h→0lim(h3h3−(3h))h→0lim(h(3h)−h)h→0lim(3h−1)−31
速度
已知路程和时间的关系式 f ( x ) f(x) f(x)可以通过下面的表达式求位置 P P P和 Q Q Q之间移动的平均速度 f ( a h ) − f ( a ) h \frac{f(ah) - f(a)}{h} hf(ah)−f(a) 现在假设我们计算越来越短的时间间隔 ([a, ah]) 上的平均速度。换句话说我们让 (h) 趋近于 0。就像在下落的球的例子中一样我们定义在时间 (ta) 时的速度或瞬时速度(v(a)) 为这些平均速度的极限 v ( a ) lim h → 0 f ( a h ) − f ( a ) h v(a) \lim_{h \to 0} \frac{f(ah) - f(a)}{h} v(a)h→0limhf(ah)−f(a)
例三 假设一个球从CN塔上层观景台距地面450米掉下。
(a) 球在5秒钟后的速度是多少
(b) 球撞到地面时的速度是多少 提示自由落体运动的公式为 s ( t ) 1 2 g t 2 s(t) \frac{1}{2} g t^2 s(t)21gt2。
导数
导数定义一个函数 f f f在某个数 a a a处的导数记作 f ’ ( a ) f’(a) f’(a)定义为 f ′ ( a ) lim h → 0 f ( a h ) − f ( a ) h f{\prime}(a) \lim_{h \to 0} \frac{f(ah) - f(a)}{h} f′(a)h→0limhf(ah)−f(a) 这个极限如果存在就被称为函数 f f f在点 a a a处的导数它表示函数 f f f在 a a a处的瞬时变化率或斜率。也可以用下面的方程表示 f ′ ( a ) lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a f{\prime}(a) \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} f′(a)x→alimx−af(x)−f(a)
例四 找到函数 f ( x ) x 2 8 x 19 f(x) x^2 8x 19 f(x)x28x19在数 a a a处的导数。
根据切线和导数的定义我们可以得出一个结论切线在点 ( a , f ( a ) ) (a, f(a)) (a,f(a))的斜率等于导数 f ′ ( a ) f{\prime}(a) f′(a)。
如果我们使用直线的点斜式方程我们可以写出曲线 y f ( x ) y f(x) yf(x)在点 ( a , f ( a ) ) (a, f(a)) (a,f(a))处的切线方程 y − f ( a ) f ′ ( a ) ( x − a ) y - f(a) f(a)(x - a) y−f(a)f′(a)(x−a)
例五 找到抛物线 y x 2 8 x 19 y x^2 8x 19 yx28x19在点 ( 3 , − 6 ) (3, -6) (3,−6)处的切线方程。
变化率
假设 y y y是 x x x的函数我们写作 y f ( x ) y f(x) yf(x)。如果 x x x从 x 1 x_1 x1变化到 x 2 x_2 x2那么 x x x的变化量也称为 x x x的增量是 Δ x x 2 − x 1 \Delta x x_2 - x_1 Δxx2−x1 相应地 y y y的变化量是 Δ y f ( x 2 ) − f ( x 1 ) \Delta y f(x_2) - f(x_1) Δyf(x2)−f(x1) 商 Δ y Δ x f ( x 2 ) − f ( x 1 ) x 2 − x 1 \frac{\Delta y}{\Delta x} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} ΔxΔyx2−x1f(x2)−f(x1) 被称为 y y y相对于 x x x在区间 [ x 1 , x 2 ] [x_1, x_2] [x1,x2]上的平均变化率可以解释为图中割线 P Q PQ PQ的斜率。 通过与速度类比我们通过让 x 2 x_2 x2趋近 x 1 x_1 x1从而让 Δ x \Delta x Δx趋近0来考虑在越来越小的区间上的平均变化率。这些平均变化率的极限称为 y y y相对于 x x x在 x x 1 x x_1 xx1处的瞬时变化率它与速度的情况一样被解释为曲线 y f ( x ) y f(x) yf(x)在点 P ( x 1 , f ( x 1 ) ) P(x_1, f(x_1)) P(x1,f(x1))处的切线的斜率 lim Δ x → 0 Δ y Δ x lim x 2 → x 1 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) x 2 − x 1 \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} Δx→0limΔxΔyx2→x1limx2−x1f(x2)−f(x1) 前面我们已经知道导数 f ′ ( a ) f(a) f′(a)是曲线 y f ( x ) y f(x) yf(x)在 x a x a xa处的切线的斜率。现在我们知道切线的斜率就是瞬时变化率因此可以说导数 f ′ ( a ) f(a) f′(a)是 y f ( x ) y f(x) yf(x)在 x a x a xa处的瞬时变化率。
如果我们绘制曲线 y f ( x ) y f(x) yf(x)那么瞬时变化率就是该曲线在 x a x a xa处的切线的斜率。这意味着当导数很大时因此曲线很陡如图中的点P y y y值变化很快。当导数很小时曲线相对平缓如点Q y y y值变化缓慢。 例六 制造商生产固定宽度的织物卷生产 x x x 码织物的成本是 C ( x ) C(x) C(x) 美元。
(a) 导数 f ’ ( x ) f’(x) f’(x) 的含义是什么它的单位是什么
(b) 在实际中说 f ’ ( 1000 ) 9 f’(1000) 9 f’(1000)9 是什么意思
(c) 你认为哪个大 f ’ ( 50 ) f’(50) f’(50) 还是 f ’ ( 500 ) f’(500) f’(500)或 f ’ ( 5000 ) f’(5000) f’(5000) 呢
例七 让 D ( t ) D(t) D(t)表示时间 t t t时的美国国债。表格提供了从1985年到2010年每年底的估算值单位为十亿美元。解释并估算 D ′ ( 2000 ) D\prime(2000) D′(2000)的值。 解 导数 D ’ ( 2000 ) D’(2000) D’(2000) 表示国债 D D D 相对于时间 t t t 在 t 2000 t 2000 t2000 时的变化率即2000年国债的增长率。根据变化率方程有 D ′ ( 2000 ) lim t → 2000 D ( t ) − D ( 2000 ) t − 2000 D{\prime}(2000) \lim_{t \to 2000} \frac{D(t) - D(2000)}{t - 2000} D′(2000)t→2000limt−2000D(t)−D(2000) 因此我们计算并列出差商平均变化率的数值如下。 从这张表格中我们可以看出 D ′ ( 2000 ) D{\prime}(2000) D′(2000)大约在每年 134.7 134.7 134.7亿到 501.64 501.64 501.64亿美元之间。【在这里我们做出一个合理的假设即债务在1995年到2005年之间没有剧烈波动。】我们估计美国国债在2000年的增长率大约是这两个数字的平均值即 D ′ ( 2000 ) ≈ 318 亿美元每年 D(2000) \approx 318亿美元每年 D′(2000)≈318亿美元每年
