佛山外贸建站公司,大连云建站模板,网站设置qq临时会话,如何生成网址链接【傅里叶分析】复数基础知识 复数复数的几何意义与点的对应与向量的对应 复数与极坐标辐角与辐角主值三角函数 参考文献 本文参考了网上的其他文章#xff0c;已在文末参考文献中列出#xff1b;如有侵权#xff0c;请联系我删除。 复变函数是傅里叶分析的基础#xff0c;而… 【傅里叶分析】复数基础知识 复数复数的几何意义与点的对应与向量的对应 复数与极坐标辐角与辐角主值三角函数 参考文献 本文参考了网上的其他文章已在文末参考文献中列出如有侵权请联系我删除。 复变函数是傅里叶分析的基础而复数是复变函数的基础。本文介绍了一些基础的关于复数的知识。
复数
对任意两个实数 x , y x, y x,y有复数 z x i y zxiy zxiy其中 i 2 − 1 i^2-1 i2−1 i i i称为虚部。
也可以将复数 z z z的实部表示为 R e ( z ) x Re(z)x Re(z)x虚部表示为 I m ( z ) y Im(z)y Im(z)y
复数的几何意义
与点的对应
如果以复数的实部为横轴、虚部为纵轴建立坐标系则这个坐标系称为复平面
这样复数 z x y i zxyi zxyi就和复平面上的点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)一一对应
复平面的横坐标称为实轴纵坐标表称为虚轴
与向量的对应
复数 z x y i zxyi zxyi还可以和平面向量 O Z → ( x , y ) \overrightarrow{OZ}(x,y) OZ (x,y)一一对应实数0与零向量对应
因此复数的模和向量的模计算方式相同。复数 z x y i zxyi zxyi的模 ∣ z ∣ x 2 y 2 |z|\sqrt{x^2y^2} ∣z∣x2y2
复数与极坐标
辐角与辐角主值
表示复数 z z z的位置也可以借助极坐标 ( r , θ ) (r,\theta) (r,θ)。那么 r r r就是复数的模而 θ \theta θ则为复数与实轴正方向的夹角且满足 tan θ y x \tan \theta\frac{y}{x} tanθxy θ \theta θ称为复数 z z z的辐角记为 θ A r g z \theta {\rm Arg} \, z θArgz 正切函数是周期函数任一非零复数都有无数个辐角所以 A r g z {\rm Arg}\,z Argz实际上是一个集合。但是该集合中只有一个 θ \theta θ满足条件 − π θ π {-} \pi \theta \pi −πθπ 将这个 θ \theta θ记为 a r g z {\rm arg}\, z argz即辐角主值或主辐角。 辐角的集合则可以表示为 A r g z { a r g z 2 k π ∣ k ∈ Z } {\rm Arg} \, z\{{\rm arg}\, z2k \pi \,|\, k \in \mathbf{Z}\} Argz{argz2kπ∣k∈Z}
三角函数
在极坐标中复数 z x i y zxiy zxiy在实轴和虚轴上的值都可以用三角函数来表示 { x r cos θ y r sin θ \begin{cases} xr\, \cos \theta \\ yr\, \sin \theta \end{cases} {xrcosθyrsinθ 由此复数本身也可以用三角函数来表示 z r ( cos θ i sin θ ) zr(\cos \theta i \, \sin \theta) zr(cosθisinθ)
参考文献
复变函数复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数Oi Wiki网-数学-复数
