微模板如何建微网站,江门网红打卡点,微信营销方式,网站做备案需要多久文章目录前言为什么需要复杂度分析#xff1f;大O复杂度表示法时间复杂度分析几种常见时间复杂度实例分析空间复杂度分析内容小结最后说一句#x1f431;#x1f409;作者简介#xff1a;大家好#xff0c;我是黑洞晓威#xff0c;一名大二学生#xff0c;希望和大家一… 文章目录前言为什么需要复杂度分析大O复杂度表示法时间复杂度分析几种常见时间复杂度实例分析空间复杂度分析内容小结最后说一句作者简介大家好我是黑洞晓威一名大二学生希望和大家一起进步。 本文收录于 算法本专栏是针对大学生、初学算法的人准备解析常见的数据结构与算法同时备战蓝桥杯。 前言
我们都知道数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题即如何让代码运行得更快如何让代码更省存储空间。所以执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢这里就要用到我们今天要讲的内容时间、空间复杂度分析。
其实只要讲到数据结构与算法就一定离不开时间、空间复杂度分析。而且 复杂度分析是整个算法学习的精髓只要掌握了它数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。
为什么需要复杂度分析
你可能会有些疑惑我把代码跑一遍通过统计、监控就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗
首先我可以肯定地说你这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字叫 事后统计法。但是这种统计方法有非常大的局限性。
1. 测试结果非常依赖测试环境
测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如我们拿同样一段代码分别用Intel Core i9处理器和Intel Core i3处理器来运行不用说i9处理器要比i3处理器执行的速度快很多。还有比如原本在这台机器上a代码执行的速度比b代码要快等我们换到另一台机器上时可能会有截然相反的结果。
2.测试结果受数据规模的影响很大
后面我们会讲排序算法我们先拿它举个例子。对同一个排序算法待排序数据的有序度不一样排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下如果数据已经是有序的那排序算法不需要做任何操作执行时间就会非常短。除此之外如果测试数据规模太小测试结果可能无法真实地反映算法的性能。比如对于小规模的数据排序插入排序可能反倒会比快速排序要快
所以 我们需要一个不用具体的测试数据来测试就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是我们今天要讲的时间、空间复杂度分析方法。
大O复杂度表示法
算法的执行效率粗略地讲就是算法代码执行的时间。但是如何在不运行代码的情况下用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢
这里有段非常简单的代码求1,2,3…n的累加和。现在我就带你一块来估算一下这段代码的执行时间。 int cal(int n) {int sum 0;int i 1;for (; i n; i) {sum sum i;}return sum;}
从CPU的角度来看这段代码的每一行都执行着类似的操作 读数据- 运算- 写数据。尽管每行代码对应的CPU执行的个数、执行的时间都不一样但是我们这里只是粗略估计所以可以假设每行代码执行的时间都一样为unit_time。在这个假设的基础之上这段代码的总执行时间是多少呢
第2、3行代码分别需要1个unit_time的执行时间第4、5行都运行了n遍所以需要2n*unit_time的执行时间所以这段代码总的执行时间就是(2n2)*unit_time。可以看出来 所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。
按照这个分析思路我们再来看这段代码。 int cal(int n) {int sum 0;int i 1;int j 1;for (; i n; i) {j 1;for (; j n; j) {sum sum i * j;}}}
我们依旧假设每个语句的执行时间是unit_time。那这段代码的总执行时间T(n)是多少呢
第2、3、4行代码每行都需要1个unit_time的执行时间第5、6行代码循环执行了n遍需要2n * unit_time的执行时间第7、8行代码循环执行了n2遍所以需要2n2 \* unit_time的执行时间。所以整段代码总的执行时间T(n) (2n22n3)*unit_time。
尽管我们不知道unit_time的具体值但是通过这两段代码执行时间的推导过程我们可以得到一个非常重要的规律那就是 所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数f(n)成正比。
我们可以把这个规律总结成一个公式。注意大O就要登场了 我来具体解释一下这个公式。其中T(n)我们已经讲过了它表示代码执行的时间n表示数据规模的大小f(n)表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式所以用f(n)来表示。公式中的O表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。
所以第一个例子中的T(n) O(2n2)第二个例子中的T(n) O(2n22n3)。这就是 大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间而是表示 代码执行时间随数据规模增长的变化趋势所以也叫作 渐进时间复杂度asymptotic time complexity简称 时间复杂度。
当n很大时你可以把它想象成10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了如果用大O表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度就可以记为T(n) O(n) T(n) O(n2)。
时间复杂度分析
前面介绍了大O时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下如何分析一段代码的时间复杂度我这儿有三个比较实用的方法可以分享给你。
1.只关注循环执行次数最多的一段代码
我刚才说了大O这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以 我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的n的量级就是整段要分析代码的时间复杂度。
为了便于你理解我还是拿前面的例子来说明。 int cal(int n) {int sum 0;int i 1;for (; i n; i) {sum sum i;}return sum;}
其中第2、3行代码都是常量级的执行时间与n的大小无关所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第4、5行代码所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过这两行代码被执行了n次所以总的时间复杂度就是O(n)。
2.加法法则总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
我这里还有一段代码。你可以先试着分析一下然后再往下看跟我的分析思路是否一样。
int cal(int n) {int sum_1 0;int p 1;for (; p 100; p) {sum_1 sum_1 p;}int sum_2 0;int q 1;for (; q n; q) {sum_2 sum_2 q;}int sum_3 0;int i 1;int j 1;for (; i n; i) {j 1;for (; j n; j) {sum_3 sum_3 i * j;}}return sum_1 sum_2 sum_3;}
这个代码分为三部分分别是求sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度然后把它们放到一块儿再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段的时间复杂度是多少呢这段代码循环执行了100次所以是一个常量的执行时间跟n的规模无关。
这里我要再强调一下即便这段代码循环10000次、100000次只要是一个已知的数跟n无关照样也是常量级的执行时间。当n无限大的时候就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响但是回到时间复杂度的概念来说它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势所以不管常量的执行时间多大我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。
那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢答案是O(n)和O(n2)你应该能容易就分析出来。
综合这三段代码的时间复杂度我们取其中最大的量级。所以整段代码的时间复杂度就为O(n2)。也就是说 总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是
如果T1(n)O(f(n))T2(n)O(g(n))那么T(n)T1(n)T2(n)max(O(f(n)), O(g(n))) O(max(f(n), g(n))).
3.乘法法则嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
我刚讲了一个复杂度分析中的加法法则这儿还有一个 乘法法则。类比一下你应该能“猜到”公式是什么样子的吧
如果T1(n)O(f(n))T2(n)O(g(n))那么T(n)T1(n)*T2(n)O(f(n))*O(g(n))O(f(n)*g(n)).
也就是说假设T1(n) O(n)T2(n) O(n2)则T1(n) * T2(n) O(n3)。落实到具体的代码上我们可以把乘法法则看成是 嵌套循环我举个例子给你解释一下。
int cal(int n) {int ret 0;int i 1;for (; i n; i) {ret ret f(i);}}int f(int n) {int sum 0;int i 1;for (; i n; i) {sum sum i;}return sum;}
我们单独看cal()函数。假设f()只是一个普通的操作那第46行的时间复杂度就是T1(n) O(n)。但f()函数本身不是一个简单的操作它的时间复杂度是T2(n) O(n)所以整个cal()函数的时间复杂度就是T(n) T1(n) * T2(n) O(n*n) O(n2)。
我刚刚讲了三种复杂度的分析技巧。不过你并不用刻意去记忆。实际上复杂度分析这个东西关键在于“熟练”。你只要多看案例多分析就能做到“无招胜有招”。
几种常见时间复杂度实例分析
虽然代码千差万别但是常见的复杂度量级并不多。我稍微总结了一下这些复杂度量级几乎涵盖了你今后可以接触的所有代码的复杂度量级。 对于刚罗列的复杂度量级我们可以粗略地分为两类 多项式量级 和 非多项式量级。其中非多项式量级只有两个O(2n)和O(n!)。
我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作NPNon-Deterministic Polynomial非确定多项式问题。
当数据规模n越来越大时非多项式量级算法的执行时间会急剧增加求解问题的执行时间会无限增长。所以非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此关于NP时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的 多项式时间复杂度。
1. O(1)
首先你必须明确一个概念O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法并不是指只执行了一行代码。比如这段代码即便有3行它的时间复杂度也是O(1而不是O(3)。 int i 8;int j 6;int sum i j;
我稍微总结一下只要代码的执行时间不随n的增大而增长这样代码的时间复杂度我们都记作O(1)。或者说 一般情况下只要算法中不存在循环语句、递归语句即使有成千上万行的代码其时间复杂度也是Ο(1)。
2. O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。 i1;while (i n) {i i * 2;}
根据我们前面讲的复杂度分析方法第三行代码是循环执行次数最多的。所以我们只要能计算出这行代码被执行了多少次就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出变量i的值从1开始取每循环一次就乘以2。当大于n时循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗实际上变量i的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来就应该是这个样子的 所以我们只要知道x值是多少就知道这行代码执行的次数了。通过2xn求解x这个问题我们想高中应该就学过了我就不多说了。xlog2n所以这段代码的时间复杂度就是O(log2n)。
现在我把代码稍微改下你再看看这段代码的时间复杂度是多少 i1;while (i n) {i i * 3;}
根据我刚刚讲的思路很简单就能看出来这段代码的时间复杂度为O(log3n)。
实际上不管是以2为底、以3为底还是以10为底我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为O(logn)。为什么呢
我们知道对数之间是可以互相转换的log3n就等于log32 * log2n所以O(log3n) O(C * log2n)其中Clog32是一个常量。基于我们前面的一个理论 在采用大O标记复杂度的时候可以忽略系数即O(Cf(n)) O(f(n))。所以O(log2n) 就等于O(log3n)。因此在对数阶时间复杂度的表示方法里我们忽略对数的“底”统一表示为O(logn)。
如果你理解了我前面讲的O(logn)那O(nlogn)就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗如果一段代码的时间复杂度是O(logn)我们循环执行n遍时间复杂度就是O(nlogn)了。而且O(nlogn)也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如归并排序、快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)。
3. O(mn)、O(m*n)
我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度代码的复杂度 由两个数据的规模 来决定。老规矩先看代码
int cal(int m, int n) {int sum_1 0;int i 1;for (; i m; i) {sum_1 sum_1 i;}int sum_2 0;int j 1;for (; j n; j) {sum_2 sum_2 j;}return sum_1 sum_2;
}
从代码中可以看出m和n是表示两个数据规模。我们无法事先评估m和n谁的量级大所以我们在表示复杂度的时候就不能简单地利用加法法则省略掉其中一个。所以上面代码的时间复杂度就是O(mn)。
针对这种情况原来的加法法则就不正确了我们需要将加法规则改为T1(m) T2(n) O(f(m) g(n))。但是乘法法则继续有效T1(m)*T2(n) O(f(m) * f(n))。
空间复杂度分析
前面咱们花了很长时间讲大O表示法和时间复杂度分析理解了前面讲的内容空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。
前面我讲过时间复杂度的全称是 渐进时间复杂度 表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下空间复杂度全称就是 渐进空间复杂度asymptotic space complexity 表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
我还是拿具体的例子来给你说明。这段代码有点“傻”一般没人会这么写我这么写只是为了方便给你解释。
void print(int n) {int i 0;int[] a new int[n];for (i; i n; i) {a[i] i * i;}for (i n-1; i 0; --i) {print out a[i]}
}
跟时间复杂度分析一样我们可以看到第2行代码中我们申请了一个空间存储变量i但是它是常量阶的跟数据规模n没有关系所以我们可以忽略。第3行申请了一个大小为n的int类型数组除此之外剩下的代码都没有占用更多的空间所以整段代码的空间复杂度就是O(n)。
我们常见的空间复杂度就是O(1)、O(n)、O(n2 )像O(logn)、O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以对于空间复杂度掌握刚我说的这些内容已经足够了。
内容小结
基础复杂度分析的知识到此就讲完了我们来总结一下。
复杂度也叫渐进复杂度包括时间复杂度和空间复杂度用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系可以粗略地表示越高阶复杂度的算法执行效率越低。常见的复杂度并不多从低阶到高阶有O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。你就会发现几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。 最后说一句
感谢大家的阅读文章通过网络资源与自己的学习过程整理出来希望能帮助到大家。
才疏学浅难免会有纰漏如果你发现了错误的地方可以提出来我会对其加以修改。
