广州市企业网站建设怎么样,ctcms做的比较好的网站,网页设计提升班有哪些,开广告店需要什么技术文章目录 直线与二元一次方程平行垂直题目点到直线距离直线束概述直线束的详细说明一、定义二、计算 三、例子例子1#xff1a;中心直线束例子2#xff1a;平行直线束 四、例题 参考文献 直线与二元一次方程
平行
两直线平等的条件是它们的斜率相同。 L 1 : A 1 x B 1 y … 文章目录 直线与二元一次方程平行垂直题目点到直线距离直线束概述直线束的详细说明一、定义二、计算 三、例子例子1中心直线束例子2平行直线束 四、例题 参考文献 直线与二元一次方程
平行
两直线平等的条件是它们的斜率相同。 L 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 L 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 k 1 − A 1 B 1 , k 2 − A 2 B 2 k 1 K 2 L 1 / / L 2 L_1:A_1xB_1yC_10 \\L_2:A_2xB_2yC_20 \\k_1-\frac {A_1}{B_1},k_2-\frac {A_2}{B_2} \\k_1K_2L_1//L_2 L1:A1xB1yC10L2:A2xB2yC20k1−B1A1,k2−B2A2k1K2L1//L2 - 2 x − 9 y 19 0 4 x − 18 y 32 0 k 1 − 2 − 9 2 9 k 2 − 4 − 18 2 9 L 1 / / L 2 2x-9y190 \\4x-18y320 \\k_1- \frac 2 {-9}\frac 2 9k_2-\frac 4 {-18} \frac 2 9 \\L_1//L_2 2x−9y1904x−18y320k1−−9292k2−−18492L1//L2
垂直
垂直的条件是斜率乘积为-1 L 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 L 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 k 1 − A 1 B 1 , k 2 − A 2 B 2 k 1 K 2 − 1 L 1 ⊥ L 2 L_1:A_1xB_1yC_10 \\L_2:A_2xB_2yC_20 \\k_1-\frac {A_1}{B_1},k_2-\frac {A_2}{B_2} \\k_1K_2-1L_1\bot L_2 L1:A1xB1yC10L2:A2xB2yC20k1−B1A1,k2−B2A2k1K2−1L1⊥L2 L 1 : 26 x 6 y 11 0 L 2 : 3 x − 13 y 52 0 k 1 − 26 6 − 13 3 , k 2 − 3 − 13 3 13 k 1 K 2 − 1 L 1 ⊥ L 2 L_1:26x6y110 \\L_2:3x-13y520 \\k_1-\frac {26}{6}-\frac {13}{3},k_2-\frac {3}{-13}\frac {3}{13} \\k_1K_2-1L_1\bot L_2 L1:26x6y110L2:3x−13y520k1−626−313,k2−−133133k1K2−1L1⊥L2
题目
过点(5,3)平行于7x-9y30的直线方程 7 x − 9 y 3 0 , k − 7 − 9 7 9 y − 3 7 9 ( x − 5 ) 9 y − 27 − 7 x 35 0 − 7 x 9 y 8 0 7x-9y30,k-\frac 7 {-9}\frac 7 9 \\y-3\frac 7 9(x-5) \\9y-27-7x350 \\-7x9y80 7x−9y30,k−−9797y−397(x−5)9y−27−7x350−7x9y80过点(5,3)垂直于7x-9y30的直线方程 7 x − 9 y 3 0 , k − 7 − 9 7 9 y − 3 − 9 7 ( x − 5 ) 7 y − 21 9 x 45 0 9 x 7 y 24 0 7x-9y30,k-\frac 7 {-9}\frac 7 9 \\y-3-\frac 9 7(x-5) \\7y-219x450 \\9x7y240 7x−9y30,k−−9797y−3−79(x−5)7y−219x4509x7y240 下面内容来自文心一言 点斜式方程是直线方程的一种表示形式它基于直线上的一点和直线的斜率来定义直线。具体来说如果直线经过点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0)且直线的斜率为 m m m那么这条直线的点斜式方程可以表示为 y − y 0 m ( x − x 0 ) y - y_0 m(x - x_0) y−y0m(x−x0) 这里 m m m 是直线的斜率它表示了直线倾斜的程度和方向。斜率 m m m 可以通过直线上任意两点的坐标来计算公式为 m y 2 − y 1 x 2 − x 1 m \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} mx2−x1y2−y1 但在点斜式方程中我们已知的是直线上的一个点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0) 和斜率 m m m因此可以直接写出直线的方程。 点斜式方程的优点是直观且易于记忆它直接关联了直线上的一个具体点和直线的斜率。此外点斜式方程还可以方便地转化为其他形式的直线方程如斜截式 y m x b y mx b ymxb或一般式 A x B y C 0 Ax By C 0 AxByC0以满足不同的解题需求。 需要注意的是当直线垂直于x轴时斜率 m m m 不存在因为此时直线的倾斜角为90度正切值无定义。在这种情况下直线方程不能表示为点斜式而应该使用其他形式如 x k x k xk其中 k k k 是直线与x轴交点的x坐标。 点到直线距离 内容来自文心一言 点到直线的距离是一个重要的几何概念它表示了从给定点到直线上所有点中最近的一个点的距离。对于直线的一般式方程 A x B y C 0 Ax By C 0 AxByC0 和点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0)点到直线的距离 d d d 可以用以下公式计算 d ∣ A x 0 B y 0 C ∣ A 2 B 2 d \frac{|Ax_0 By_0 C|}{\sqrt{A^2 B^2}} dA2B2 ∣Ax0By0C∣ 这个公式是通过点到直线的向量投影和直线的法向量来推导的。具体来说直线的法向量是 ( A , B ) (A, B) (A,B)因为直线方程 A x B y C 0 Ax By C 0 AxByC0 可以重写为 A ( x − x 1 ) B ( y − y 1 ) 0 A(x - x_1) B(y - y_1) 0 A(x−x1)B(y−y1)0其中 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 是直线上的一点但在这个公式中我们不需要它而点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0) 到直线上任意一点 ( x , y ) (x, y) (x,y) 的向量是 ( x − x 0 , y − y 0 ) (x - x_0, y - y_0) (x−x0,y−y0)。点到直线的距离就是该向量在法向量方向上的投影的绝对值。 另外如果直线是用点斜式 y − y 0 m ( x − x 0 ) y - y_0 m(x - x_0) y−y0m(x−x0) 表示的我们可以先将其转化为一般式 A x B y C 0 Ax By C 0 AxByC0其中 A m , B − 1 , C y 0 − m x 0 A m, B -1, C y_0 - mx_0 Am,B−1,Cy0−mx0然后再使用上面的公式来计算点到直线的距离。 需要注意的是点到直线的距离总是非负的因为距离是一个标量没有方向。同时这个公式也适用于直线与点平行即点位于直线上的情况此时距离 d 0 d 0 d0。 点(15,3)到直线7x-9y30的距离 d ∣ 7 × 15 − 9 × 3 3 ∣ 7 2 ( − 9 ) 2 7.10 \\d\frac {|7\times15-9\times33|}{\sqrt{7^2(-9)^2}}7.10 d72(−9)2 ∣7×15−9×33∣7.10
julia abs(7*15-9*33)/(sqrt(7^2(-9)^2))
7.104169956386937直线束
概述
通过某点的所有直线全体称为直线束它们的共同点称为束的中心具体来说如果直线经过点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0)且直线的斜率为 k k k那么这条直线的点斜式方程可以表示为 y − y 0 k ( x − x 0 ) y - y_0 k(x - x_0) y−y0k(x−x0) 将k视为参数则可得到通过某点的所有直线即以点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0)为中心的直线束
通过两条束 的直线方程得到 中心点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0)再利用点斜式方程写出直线束方程。 设直线束中的两条直线 L 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 L 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 直线束方程 : A 1 x B 1 y C 1 λ ( A 2 x B 2 y C 2 ) 0 , λ ∈ R L_1:A_1xB_1yC_10 \\L_2:A_2xB_2yC_20 \\直线束方程:A_1xB_1yC_1\lambda(A_2xB_2yC_2)0,\lambda \in R L1:A1xB1yC10L2:A2xB2yC20直线束方程:A1xB1yC1λ(A2xB2yC2)0,λ∈R 一直线通过两相交直线 3 x − 11 y 7 0 , 5 x 7 y − 12 0 的交点且垂直于直线 y 5 x − 8 。求该直线方程 一直线通过两相交直线3x-11y70,5x7y-120的交点且垂直于直线y5x-8。求该直线方程 一直线通过两相交直线3x−11y70,5x7y−120的交点且垂直于直线y5x−8。求该直线方程 3 x − 11 y 7 λ ( 5 x 7 y − 12 ) 0 3 x 5 λ x − 11 y 7 λ y 7 − 12 λ 0 ( 3 5 λ ) x ( − 11 7 λ ) y 7 − 12 λ 0 k − 3 5 λ − 11 7 λ 3 5 λ 11 − 7 λ y x k 2 5 , k − 1 5 3 5 λ 11 − 7 λ − 1 5 − 15 − 25 λ 11 − 7 λ 11 15 25 λ − 7 λ 0 26 18 λ 0 λ − 26 18 − 13 9 ( 3 5 λ ) x ( − 11 7 λ ) y 7 − 12 λ 0 − 38 9 x − 190 9 y 7 52 3 0 再化简即可 3x-11y7\lambda(5x7y-12)0 \\3x5\lambda x-11y7\lambda y7-12\lambda0 \\(35\lambda)x(-117\lambda)y7-12\lambda0 \\k-\frac{35\lambda}{-117\lambda}\frac {35\lambda}{11-7\lambda} \\yxk_25,k-\frac 1 5 \\\frac {35\lambda}{11-7\lambda}- \frac 1 5 \\-15-25\lambda11-7\lambda \\111525\lambda-7\lambda0 \\2618\lambda0 \\\lambda-\frac{26}{18}-\frac{13}{9} \\(35\lambda)x(-117\lambda)y7-12\lambda0- \frac {38}{9}x- \frac{190} 9y7\frac {52}30 \\再化简即可 3x−11y7λ(5x7y−12)03x5λx−11y7λy7−12λ0(35λ)x(−117λ)y7−12λ0k−−117λ35λ11−7λ35λyxk25,k−5111−7λ35λ−51−15−25λ11−7λ111525λ−7λ02618λ0λ−1826−913(35λ)x(−117λ)y7−12λ0−938x−9190y73520再化简即可 下面内容来自文心一言 直线束的详细说明 一、定义 直线束或直线系是指具有某一共同性质的直线的集合。在平面几何中直线束主要有两种类型 中心直线束指平面上通过一个固定点的所有直线的集合此时固定点叫做束的中心这个束本身叫做真的。平行直线束指平面上平行于一条已知直线的所有直线的集合此时束的中心“落在无穷远处”这个束叫做假的。 这两种直线束的定义均来源于百度百科等权威来源。 二、计算 直线束的计算通常涉及到直线方程的推导和参数的使用。 中心直线束 假设已知点为(x0, y0)则通过该点的所有直线的方程可以表示为 λ 1 ( x − x 0 ) λ 2 ( y − y 0 ) 0 λ1(x-x0) λ2(y-y0) 0 λ1(x−x0)λ2(y−y0)0其中λ1和λ2是不同时为零的参数。如果只用一个参数k表示斜率则方程可以简化为 y − y 0 k ( x − x 0 ) y-y0 k(x-x0) y−y0k(x−x0)但注意这个方程不包含垂直于x轴的直线即xx0。 平行直线束 假设已知直线方程为Ax By C 0则与其平行的所有直线的方程可以表示为Ax By λ 0 其中λ是参数。 直线束的计算通常涉及到线性方程的组合。 对于给定的两条直线 l 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 l_1: A_1x B_1y C_1 0 l1:A1xB1yC10 和 l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 l_2: A_2x B_2y C_2 0 l2:A2xB2yC20 含有参数 λ 1 , λ 2 \lambda_1, \lambda_2 λ1,λ2不同时为零的方程 λ 1 ( A 1 x B 1 y C 1 ) λ 2 ( A 2 x B 2 y C 2 ) 0 \lambda_1(A_1x B_1y C_1) \lambda_2(A_2x B_2y C_2) 0 λ1(A1xB1yC1)λ2(A2xB2yC2)0 表示由 l 1 l_1 l1 和 l 2 l_2 l2 决定的直线束。 当 l 1 l_1 l1 与 l 2 l_2 l2 相交时该直线束是以交点为中心的直线束。当 l 1 l_1 l1 与 l 2 l_2 l2 平行但不重合时该直线束为平行直线束。 三、例子 例子1中心直线束 设直线 l 1 : x 3 y 11 0 l_1: x 3y 11 0 l1:x3y110 和 l 2 : 5 x 2 y 6 0 l_2: 5x 2y 6 0 l2:5x2y60 相交于点 P P P则过点 P P P 的所有直线的集合构成一个中心直线束。设该直线束的方程为 λ 1 ( x 3 y 11 ) λ 2 ( 5 x 2 y 6 ) 0 \lambda_1(x 3y 11) \lambda_2(5x 2y 6) 0 λ1(x3y11)λ2(5x2y6)0。 例子2平行直线束 设直线 l : 2 x − 3 y 5 0 l: 2x - 3y 5 0 l:2x−3y50则与 l l l 平行的所有直线的集合构成一个平行直线束。该直线束的方程可以表示为 2 x − 3 y λ 0 2x - 3y \lambda 0 2x−3yλ0其中 λ \lambda λ 是任意实数。 四、例题 例题求经过点 ( 2 , 3 ) (2,3) (2,3) 及两直线 x 3 y 11 0 x 3y 11 0 x3y110 和 5 x 2 y 6 0 5x 2y 6 0 5x2y60 交点的直线 L L L 的方程。 解 设所求直线 L L L 的方程为 λ 1 ( x 3 y 11 ) λ 2 ( 5 x 2 y 6 ) 0 \lambda_1(x 3y 11) \lambda_2(5x 2y 6) 0 λ1(x3y11)λ2(5x2y6)0。由于直线 L L L 过点 ( 2 , 3 ) (2,3) (2,3)代入得 2 λ 1 9 λ 1 11 λ 1 10 λ 2 6 λ 2 0 2\lambda_1 9\lambda_1 11\lambda_1 10\lambda_2 6\lambda_2 0 2λ19λ111λ110λ26λ20即 21 λ 1 16 λ 2 0 21\lambda_1 16\lambda_2 0 21λ116λ20。由于 λ 1 , λ 2 \lambda_1, \lambda_2 λ1,λ2 不同时为零可以取 λ 1 16 , λ 2 − 21 \lambda_1 16, \lambda_2 -21 λ116,λ2−21答案不唯一只要满足比例关系即可。因此所求直线 L L L 的方程为 16 ( x 3 y 11 ) − 21 ( 5 x 2 y 6 ) 0 16(x 3y 11) - 21(5x 2y 6) 0 16(x3y11)−21(5x2y6)0化简得 4 x − y − 5 0 4x - y - 5 0 4x−y−50。 通过以上说明我们可以清晰地理解直线束的定义、计算、例子和例题从而更好地掌握这一重要的数学概念。 参考文献
1.《高等数学讲义》 2.文心一言
