佛山免费建站怎样,公众号做微网站,电商网站 支付,做百度网络营销推广文章目录 傅里叶变换欧拉公式傅里叶变换绕圈记录法质心记录法傅里叶变换公式第一步#xff1a;旋转的表示第二步#xff1a;缠绕的表示第三步#xff1a;质心的表示最终步#xff1a;整理积分限和系数 参考文献 傅里叶变换
在学习傅里叶变换之前#xff0c;我们先来了解一… 文章目录 傅里叶变换欧拉公式傅里叶变换绕圈记录法质心记录法傅里叶变换公式第一步旋转的表示第二步缠绕的表示第三步质心的表示最终步整理积分限和系数 参考文献 傅里叶变换
在学习傅里叶变换之前我们先来了解一下欧拉公式。顺便说一下『欧拉公式』在世界上最伟大的十个公式中排第二名而『傅里叶变换』在世界上最伟大的十个公式中排第七名。
欧拉公式
在数学中对于数的集合在一维数轴上加法操作可以视为沿着数轴的平移而乘法操作则可以视为数轴上的伸缩变化。具体来说
加法在一维数轴上给一个数加上另一个数相当于将该数在数轴上向右或向左如果是负数平移相应的距离乘法在一维数轴上将一个数乘以另一个数则相当于将该数在数轴上按比例伸缩
在二维平面上如果我们想将一个点比如 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)移动到另一个点可以先在横轴方向上平移再在纵轴方向上平移即可实现。 除了平移外也可以利用伸缩和旋转来达到同样的效果。伸缩操作即为点的倍乘但旋转该如何表达呢
仅使用旋转就可以将 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)变换到 ( − 1 , 0 ) (-1,0) (−1,0)在复平面中存在一个定义 − 1 i × i -1i\times i −1i×i → \rightarrow →当单位 i i i表示旋转 90 ° 90° 90°时进行两次相同的操作即可从 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)变换到 ( − 1 , 0 ) (-1,0) (−1,0)如果一次 i i i操作是逆时针旋转 90 ° 90° 90°正好会落在二维平面y轴上的 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)该点距离原点的长度为单位长度如果 y y y轴自带虚数单位如 i , 2 i , 3 i ⋯ i,2i,3i\cdots i,2i,3i⋯即可通过伸缩和旋转表示二维平面上的所有点
请大家思考一个问题 i i i为什么可以表示旋转 我们来看一下旋转的定义旋转是沿着一个圆弧运动的过程 可以通过泰勒展开式得到一个完美的桥梁用来说明 i i i可以表示旋转的原因 e x 1 x 1 2 ! x 2 1 3 ! x 3 ⋯ s i n ( x ) x − 1 3 ! x 3 1 5 ! x 5 ⋯ c o s ( x ) 1 − 1 2 ! x 2 1 4 ! x 4 ⋯ \begin{gathered} e^x1x\frac1{2!}x^2\frac1{3!}x^3\cdots \\ sin(x)x-\frac1{3!}x^3\frac1{5!}x^5\cdots \\ cos(x)1-\frac1{2!}x^2\frac1{4!}x^4\cdots \end{gathered} ex1x2!1x23!1x3⋯sin(x)x−3!1x35!1x5⋯cos(x)1−2!1x24!1x4⋯ ⇒ \Rightarrow ⇒代入 x i θ xi\theta xiθ得 e i θ 1 i θ 1 2 ! ( i θ ) 2 1 3 ! ( i θ ) 3 1 4 ! ( i θ ) 4 1 5 ! ( i θ ) 5 ⋯ ( 1 − θ 2 2 ! θ 4 4 ! ⋯ ) i ( θ − θ 3 3 ! θ 5 5 ! ⋯ ) c o s ( θ ) i s i n ( θ ) \begin{aligned} e^{i\theta} 1i\theta\frac1{2!}(i\theta)^2\frac1{3!}(i\theta)^3\frac1{4!}(i\theta)^4\frac1{5!}(i\theta)^5\cdots \\ (1-\frac{\theta^2}{2!}\frac{\theta^4}{4!}\cdots)i(\theta-\frac{\theta^3}{3!}\frac{\theta^5}{5!}\cdots) \\ cos(\theta)isin(\theta) \end{aligned} eiθ1iθ2!1(iθ)23!1(iθ)34!1(iθ)45!1(iθ)5⋯(1−2!θ24!θ4⋯)i(θ−3!θ35!θ5⋯)cos(θ)isin(θ) e i θ e^{i\theta} eiθ表示一个圆心在原点半径为1的单位圆 ⇒ \Rightarrow ⇒ e i θ e^{i\theta} eiθ等价于一种旋转 θ \theta θ为旋转角的度数
傅里叶变换
傅里叶变换是一个分解声音的过程其公式为 F ( f ) ∫ − ∞ ∞ g ( t ) e − 2 π i f t d t F(f)\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-2\pi ift}dt F(f)∫−∞∞g(t)e−2πiftdt 乍一看这个公式肯定是看不懂的我们需要对其进行分解然后逐步进行理解 既然傅里叶变换是一个分解声音的过程我们来看一下什么是声音。 声音的气压是一个随时间以正弦函数形态不断震荡的图像 假设一个标准音A的频率是440Hz则其每秒钟振动440次另外一个低音D的频率是240Hz则其每秒钟振动240次。如果两个音同时发生产生的气压随时间变化的曲线就是把所有时间点的振幅加起来 而傅里叶变换就是从一段随时间变化的气压曲线中找到组成该气压曲线的原始气压曲线 假设我们有一个每秒钟3拍子的声音信号它的图像如下Intensity为强度我们只关注前面的4.5秒
绕圈记录法
绕圈记录法同一事物的不同角度 → \rightarrow →下面的动图是最关键的一步是【看到】傅立叶变换的核心部分
把黄色曲线缠绕到一个圆上大小是原本信号的振幅圆周围的图像由白色的箭头绘制而成速度可变上图中的白色箭头移动速度是每秒钟转过半圈此时有两个频率在起作用一个是信号的频率3次震荡/秒另一个是图像缠绕中心圆的频率为0.5圈/秒。第二个频率可以自由改变相当于一个变量下面的动图直观的展现了缠绕速度变化时的可视化表现 从最开始的 0.79圈/秒一直变化到1.55圈/秒再到最后的恰好是3圈/秒和原来的信号3次震荡/秒相同此时会出现一个非常稳定的图像 其实我们只是把一个水平的轴缠绕到一个单位圆上并用另一个速度的记录标尺白色箭头来画图从另一个角度维度来看我们的信号
质心记录法
质心记录法新维度的特征提取 我们可以发现在上面动图中当白色箭头记录的速度在某些特定的值时画出来的图形非常稳定、形态清晰 我们在上面提到了一个可以自由改变的转圈速度我们可以将这个可变化的转圈速度作为傅里叶变换中的自变量 至于输出是什么我们可以观察下面的动图。当图像很混沌没有规律混乱的时候图像基本关于原点对称稳定时其实是“头重脚轻”的。描述“头重脚轻”最好的方法是使用质心下面的动图直观展现了质心特征对图像特征的描述能力红色点为质心 考虑到质心是一个二维坐标为了简洁和直观取质心的横坐标来表示质心的特征 现在我们可以得到傅里叶变换的输入和输出
输入横坐标白色箭头的绕圈速度输出纵坐标质心位置的横坐标
按照上面的说明来记录绘出图像记录每个缠绕频率速度对应的质心位置在横坐标等于零点处有一个很大的值只是因为原来的图像没有关于横轴对称有一个偏移量 我们可以看到新图像的横坐标写的是频率Frequency即缠绕圆圈的速度 我们已经得到一个可以用来表示信号频率的工具把它应用到两个声音的组合图像中看看效果
傅里叶变换公式
我们已经通过这样一个缠绕机器完成了时域到频域的转换 如何使用数学语言表达这个转圈记录机制呢
第一步旋转的表示
上述所有动图中的旋转之所以能够表示是基于复平面上的指数函数原理结合泰勒展开公式来实现的
更进一步指数函数中以 e e e为底的函数有着特殊的性质如下面动图所示 e 2 π i t e^{2\pi it} e2πit表示的是一秒钟一圈的旋转方程可以通过频率 f f f控制旋转的速度图中为 1 10 \frac{1}{10} 101
第二步缠绕的表示
在傅立叶变换中我们规定旋转是顺时针的所以需要先加一个符号。假设原来的函数是 g ( t ) g(t) g(t)将两者的幅值相乘就能得到缠绕图像 g ( t ) e − 2 π i f t g(t)e^{-2\pi ift} g(t)e−2πift
第三步质心的表示
那如何表示质心这一概念呢有一种解决问题的途径是演绎推理先从简单的特例出发推广到一般最后证明正确性即可 考虑如何求一个正方形的质心位置我们只需在边框上取 n n n个等距离分布的点并且算这几个点的位置的平均值。那么推广到一般情况也使用类似的采样点的方式解决如下面动图所示紫红色的点即采样点得到 1 N ∑ k 1 N g ( t k ) e − 2 π i f t k \frac1N\sum_{k1}^Ng(t_k)e^{-2\pi iftk} N1∑k1Ng(tk)e−2πiftk
随着采样点的增加需要使用积分来求解这个问题如下面动图所示得到 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 g ( t ) e − 2 π i f t d t \frac1{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}g(t)e^{-2\pi ift}dt t2−t11∫t1t2g(t)e−2πiftdt
最终步整理积分限和系数
看到常数项系数 1 t 2 − t 1 \frac1{t_2-t_1} t2−t11如果忽略表达倍数关系的系数对应的含义也会发生变化不再是质心而是信号存在的时间越久位置是质心位置乘以一个倍数它的值就越大。持续时长为3秒那么新的位置就是原来质心位置的三倍持续时长为6秒就是原来的6倍 一般傅立叶变换公式的上下限是正负无穷那它的几何直观是什么呢
参考文献
1、傅里叶变换 2、泰勒公式 3、形象展示傅里叶变换
