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树结构的基本概念
树的定义及核心术语
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树结构的基本概念
树的定义及核心术语
在计算机科学中树Tree是一种重要的非线性数据结构用于模拟具有分层关系的数据集合。树是由一个或多个节点组成的集合其中每个节点包含一个值和若干指向其子节点的引用。以下是树的核心术语
根节点Root Node树的顶层节点没有父节点。父节点Parent Node直接连接到一个或多个子节点的节点。子节点Child Node直接连接到一个父节点的节点。叶节点Leaf Node没有子节点的节点。深度Depth节点到根节点的最长路径的距离。高度Height节点到叶节点的最长路径。
树与图的对比
树是一种特殊的图Graph它是一种有向无环图DAG, Directed Acyclic Graph。与一般图不同树没有环路并且所有节点都是强连通的。从任何节点到其他节点都有唯一的一条路径。
树结构的常见应用场景
树结构在计算机科学中有广泛的应用常见的场景包括
文件系统文件夹和文件的层次结构。数据库索引如B树和B树被用于数据库索引以提高检索速度。组织结构用于表示公司或机构的组织层次。
二叉树的定义与分类
二叉树的基本定义
二叉树Binary Tree是一种特殊的树结构其中每个节点最多有两个子节点通常称之为左子树和右子树。二叉树可以为空或者由一个根节点和两个子树组成。
不同类型的二叉树及其特点
普通二叉树没有任何附加性质的二叉树。满二叉树Full Binary Tree每个节点要么是叶子节点要么有两个子节点。完全二叉树Complete Binary Tree除了最后一层其他所有层都是满的且最后一层所有节点都尽可能靠左。二叉搜索树BST, Binary Search Tree对于每个节点其左子树中的所有节点小于该节点右子树中的所有节点大于该节点。平衡二叉树如AVL树和红黑树任何节点的两个子树的高度差不超过1。
对比类型
存储效率完全二叉树的存储最为高效因为其可以使用数组来表示并且节省空间。查询性能二叉搜索树在平均情况下具有良好的查询性能时间复杂度为O(log n)。适用场景满二叉树适用于那些需要固定结构的场合而AVL树和红黑树适用于频繁插入和删除操作的场景。
二叉树的存储与遍历
存储方式
链式存储每个节点包含数据和两个指针分别指向左右子节点。顺序存储/数组表示对完全二叉树特别有效节点按层次顺序存储在数组中。
遍历算法
深度优先遍历DFS
前序遍历Pre-order: 访问根节点遍历左子树遍历右子树。中序遍历In-order: 遍历左子树访问根节点遍历右子树。后序遍历Post-order: 遍历左子树遍历右子树访问根节点。
广度优先遍历BFS
层序遍历Level-order: 按层次从上到下、从左到右访问节点。
Golang代码示例
package main
import fmttype TreeNode struct {Val intLeft *TreeNodeRight *TreeNode
}func preorderTraversal(root *TreeNode) []int {if root nil {return []int{}}result : []int{root.Val}result append(result, preorderTraversal(root.Left)...) result append(result, preorderTraversal(root.Right)...) return result
}func main() {root : TreeNode{Val: 1, Left: TreeNode{Val: 2}, Right: TreeNode{Val: 3}}fmt.Println(preorderTraversal(root))
}在以上代码中我们实现了一个简单的二叉树的前序遍历。时间复杂度为O(n)空间复杂度为O(n)。
二叉树的高级应用
二叉搜索树BST的查找、插入、删除操作
二叉搜索树支持高效的查找、插入和删除操作平均时间复杂度为O(log n)。
查找从根节点开始递归地查找或迭代地查找。插入从根节点开始找到适当的叶节点位置插入。删除如果节点有两个子节点需找到中序后继节点替换被删除节点。
平衡二叉树的自平衡机制
平衡二叉树在插入和删除时通过旋转节点来保持树的平衡。
AVL树通过左旋和右旋来调整不平衡的树。红黑树每个节点是红色或黑色通过重新着色和旋转来保持平衡。
堆Heap
堆是一种特殊的完全二叉树用于实现优先队列支持高效的最大值和最小值提取。
最大堆父节点的值总是大于或等于其子节点的值。最小堆父节点的值总是小于或等于其子节点的值。
哈夫曼树Huffman Tree
哈夫曼树用于数据压缩是一种带权路径长度最短的二叉树。
通过构造最优前缀码减少数据的平均编码长度。
二叉树与其他数据结构的对比
与B树、B树的对比
B树和B树用于数据库索引能有效地减少磁盘I/O操作。
B树每个节点包含多个键和子树指针。B树所有的值都在叶子节点具有更高的查询效率。
与Trie树的对比
Trie树用于高效的字符串检索支持快速前缀查找。
Trie树每个节点代表一个字符或字符串前缀。
与哈希表的对比
哈希表提供O(1)的平均查找时间但不支持顺序遍历。
哈希表基于哈希函数实现适用于快速查找。
