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suhan, 2024.10 文章目录 数学二一、函数❗1.极限1.1求常见极限1.2求数列极限1.2.1 n项和数列极限1.2.2 n项连乘数列极限1.2.3 递推关系定义的数列极限 1.3确定极限式中的参数1.4无穷小量阶的比较 2.连续2.1判断是否连续#xff0c;不连续则判断间断点类型2.2证明题 二…数学二
suhan, 2024.10 文章目录 数学二一、函数❗1.极限1.1求常见极限1.2求数列极限1.2.1 n项和数列极限1.2.2 n项连乘数列极限1.2.3 递推关系定义的数列极限 1.3确定极限式中的参数1.4无穷小量阶的比较 2.连续2.1判断是否连续不连续则判断间断点类型2.2证明题 二、一元函数微分学1.导数、微分的定义1.1导数定义求极限1.2导数定义求导数1.3导数定义判定可导性 2.导数几何意义❗3.求导3.1复合函数3.2隐函数3.3参数方程3.4反函数3.5对数求导法3.6高阶导数 4.导数应用4.1单调性、极值、最值4.1.1求极值4.1.2求最值 4.2曲线凹凸性、拐点、渐近线、曲率4.2.1渐近线4.2.2曲率 4.3方程的根的存在性和个数4.4证明不等式4.5证明微分中值定理4.5.1证明∃ξ∈(a,b)使得F[ξ, f(ξ), f(ξ)]0成立4.5.2证明存在两个中值点η,ξ∈(a,b)使得F[ξ, f(ξ), f(ξ), η, f(η), f(η)]0成立4.5.3证明∃ξ∈(a,b)使得F[ξ, f^(n)^(ξ)]≥0成立 三、一元函数积分学1.不定积分❗2.定积分2.1定积分概念、性质、几何意义2.2定积分计算2.3变限积分2.4积分不等式 3.反常积分3.1反常积分敛散性3.2反常积分计算 4.定积分应用4.1求面积 S4.2求体积 V4.3弧长 s4.4旋转体的侧面积 S4.5物理问题 四、常微分方程1.微分方程2.高阶方程降阶3.高阶微分方程4.综合题4.1积分方程4.2函数方程 五、多元函数微分学1.重极限、连续1.1求极限1.2证明极限不存在 2.偏导数、全微分2.1偏导数2.1.1偏导数定义2.1.2高阶偏导数 2.2.全微分2.2.1全微分判断2.2.1全微分计算 2.3复合函数2.4隐函数题型求偏导数与全微分1求一点处的偏导数与全微分2求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分3含有抽象函数的复合函数的偏导数与全微分4隐函数的偏导数与全微分 4.极值、最值4.1求无条件极值4.2条件最值拉格朗日乘数法 六、二重积分1.计算二重积分2.累次积分交换次序计算3.综合、证明 一、函数
❗1.极限
可用方法
两个基本极限洛必达法则等价无穷小x→0上下同除最大变量(无穷大)x→∞泰勒公式拉格朗日中值定理 p21夹逼法则定积分定义 p19单调有界准则
【注意】从负方向趋近于1那么实际上就是比1小从正方向趋近于1那么实际上就是比1大。 lim x → 1 1 x − 1 ∞ lim x → 1 − 1 x − 1 − ∞ \lim_{x \rightarrow1^} \frac1{x-1} \infty \\ \lim_{x \rightarrow1^-} \frac1{x-1} -\infty \\ x→1limx−11∞x→1−limx−11−∞ e ∞ ≠ ∞ e^{\infty} ≠ \infty e∞∞ 因为 e ∞ ∞ e − ∞ 0 e^{\infty} \infty \\ e^{-\infty} 0 e∞∞e−∞0 同理 arctan ( ∞ ) π 2 arctan ( − ∞ ) − π 2 \arctan(\infty) \frac \pi 2 \\ \arctan(-\infty) -\frac \pi 2 arctan(∞)2πarctan(−∞)−2π
1.1求常见极限
首先运用极限的运算法则四则运算连续函数的极限复合函数的极限确定极限是不是未定式极限。两种基本的未定式极限是 0 0 \cfrac 00 00 型 和 ∞ ∞ \cfrac ∞∞ ∞∞ 型这两种情形一般可以用洛必达法则来求。其它未定式极限 0 ⋅ ∞ ∞ − ∞ 1 ∞ 0 0 ∞ 0 0⋅∞∞−∞1^∞0^0∞^0 0⋅∞∞−∞1∞00∞0要先化成上面的两种基本情形来求然后用洛必达法则或者其它方法来求。
常用方法
洛必达法则等价无穷小泰勒公式
【技巧】出现函数作为次方时候可以提取一个同类型的到括号外面构建出 ( a ψ − a ϕ ) a ϕ ( a ψ − ϕ − 1 ) (a^{\psi}-a^\phi) a^{\phi}(a^{\psi-\phi}-1) (aψ−aϕ)aϕ(aψ−ϕ−1). 例如p20
1.2求数列极限
数列不连续所有不可以直接使用洛必达法则要先把不连续的数列变成连续的函数使其可导。
【技巧】可以把最大无穷大的拿到括号外面来让括号里面出现 1 ∞ \cfrac 1 ∞ ∞1 的形式。
1.2.1 n项和数列极限 夹逼法则 定积分定义 p19 前两者也会先用夹逼法则再用定积分定义。 级数求和数一三
1.2.2 n项连乘数列极限
p33《辅导讲义》
1.2.3 递推关系定义的数列极限
p34
1.3确定极限式中的参数
可提出非零极限因子。分别先求a再求b。
【技巧】当有 x → − ∞ x→-∞ x→−∞那么要提 − x -x −x不想提 − x -x −x就要令 x − t x-t x−t改变符号。
p38
1.4无穷小量阶的比较
比较两个无穷小等于 0 0 \cfrac 00 00 型的极限。所以常用方法
洛必达法则等价无穷小泰勒公式变化率
当然最重要的是背的等价无穷小转换。
【技巧】只要有 x 在幂次方例如 ( 1 m ) x − 1 (1m)^x-1 (1m)x−1 那么就可以使用 e x − 1 ∼ x e^x - 1 \sim x ex−1∼x 和 ln ( 1 x ) ∼ x \ln(1x) \sim x ln(1x)∼x e x ln ( 1 m ) − 1 ∼ e x ⋅ m − 1 ∼ x m e^{x\ln(1m)}-1 \sim e^{x·m}-1 \sim xm exln(1m)−1∼ex⋅m−1∼xm
2.连续
连续左右连续且相等则函数连续。四则运算不影响连续性。
不连续那么中断4类间断点。
初等函数在定义域都连续。
复合函数
内外都连续则复合函数连续内外都间断则复合函数间断内外不一样那么复合函数不一定。
2.1判断是否连续不连续则判断间断点类型
把疑似间断点带进去求极限。
2.2证明题
有界性定理介值定理最值定理零点定理
二、一元函数微分学
1.导数、微分的定义
常考3种形式
1.1导数定义求极限 f ′ ( x 0 ) 增量 lim Δ x → 0 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x Δ y Δ x lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \begin{split} f(x_0) \stackrel{增量}\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0 \Delta x) \color{blue}-\\ f(x_0)}{\Delta x} \\\\ \frac{\Delta y}{\Delta x} \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) \color{blue}-\\ f(x_0)}{x \color{blue}-\\ x_0} \end{split} f′(x0)增量Δx→0limΔxf(x0Δx)−f(x0)ΔxΔyx→x0limx−x0f(x)−f(x0)
特别的当 f ( 0 ) 0 f(0)0 f(0)0则 lim x → 0 f ( x ) x f ′ ( 0 ) \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}xf(0) x→0limxf(x)f′(0)
求 f ′ ( x 0 ) f(x_0) f′(x0) lim Δ x → 0 f ( x 0 a Δ x ) − f ( x 0 b Δ x ) c Δ x a − b c ⋅ f ′ ( x 0 ) \lim_{\Delta x\rightarrow0} \frac{f(x_0 \color{red}a\\ \Delta x) \color{blue}-\\ f(x_0 \color{red}b\\\Delta x)}{\color{red}c\\\Delta x} \frac{a\color{blue}-\\b}c · f(x_0) Δx→0limcΔxf(x0aΔx)−f(x0bΔx)ca−b⋅f′(x0) 【技巧】
极限可导存在那么如果 Δx→0则 Δy→0 才可以连续。如果导数在一个区间有界那么原函数也在这个区间有界.
1.2导数定义求导数
连乘的导数可以设后面一段有规律的连乘为 g(x).
1.3导数定义判定可导性
【频繁考点】
1.3.1 f ′ ( 0 ) lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x f(0) \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x) -f(0)}{x} f′(0)x→0limxf(x)−f(0)
判断是否可导就是判断这个极限是否存在.
就是看两个方向的极限是否相等 f ′ ( 0 ) lim x → 0 f ( 0 x ) − f ( 0 ) x f − ′ ( 0 ) lim x → 0 − f ( 0 ) − f ( 0 − x ) x f_(0) \lim_{x\rightarrow 0^} \frac{f(0x) -f(0)}{x} \\\\ f_-(0) \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{f(0) -f(0-x)}{x} f′(0)x→0limxf(0x)−f(0)f−′(0)x→0−limxf(0)−f(0−x) 1.3.2极限可导存在那么如果 Δx→0则 Δy→0 才可以连续.
判断下面这个类型是否可导 lim x → 0 f ( ϕ ( x ) ) ψ ( x ) \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(\phi(x))}{\psi(x)} x→0limψ(x)f(ϕ(x)) 两个条件 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 要满足2点 ϕ ( x ) → 0 ( 是正负 0 都趋近 ) \phi(x) → 0\ (是正负0都趋近) ϕ(x)→0 (是正负0都趋近) ϕ ( x ) ≠ 0 \phi(x) \ne 0 ϕ(x)0 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 与 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) 同阶. 1.3.3
当出现 f ( x ) g ( x ) ∣ x − a ∣ f(x)g(x)|x-a| f(x)g(x)∣x−a∣ 类型问 f ( x ) f(x) f(x) 可导
因为左导右导那么 f ( a ) f(a) f(a) 可导的充要条件就是 g ( a ) − g ( a ) g(a)-g(a) g(a)−g(a)即为 g ( a ) 0 \color{red} g(a)0 g(a)0.
p57 1.3.4
若 f ( x ) ≠ 0 f(x)\ne 0 f(x)0则 ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣ 在 x 0 x_0 x0 可导 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 可导.
若 f ( x ) 0 f(x)0 f(x)0则 ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣ 在 x 0 x_0 x0 可导 f ′ ( x ) 0 f(x)0 f′(x)0.
必须为 0如果 f ′ ( x ) ≠ 0 f(x)\ne 0 f′(x)0 那么 ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣ 就不可导. 2.导数几何意义
几何意义导数 f ′ ( x 0 ) f(x_0) f′(x0) 表示该点的斜率切线。可导就说明有切线。
切线 f ′ ( x 0 ) f(x_0) f′(x0) y − y 0 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0 f(x_0)(x-x_0) y−y0f′(x0)(x−x0)
法线 k k k因为 切线×法线 -1 k − 1 f ′ ( x 0 ) k -\cfrac1{f(x_0)} k−f′(x0)1
在切点处相切的函数x, y相等切线相等。
❗3.求导
3.1复合函数
原函数是偶函数那导函数是奇函数原函数是奇函数那导函数是偶函数。
奇函数 f ′ ( 0 ) 0 f(0)0 f′(0)0.
3.2隐函数 F ( x , y ) 0 F(x,y)0 F(x,y)0
有两种方法 等式两边同时对自变量x求导. 【注意】这种方法y 是关于 x 的中间变量所以 y 也要作为复合函数求导. 【技巧】使用对数求导法简化乘除为加减形式因为加减求导比乘除简单. 多元函数微分学隐函数求导法 【注意】这种方法y 和 x 就是独立变量了所以在 Fx 与 Fy 中单独求导。 d y d x − F ′ x F ′ y \frac{dy}{dx} -\frac{Fx}{Fy} dxdy−F′yF′x
3.3参数方程 { x ϕ ( t ) y ψ ( t ) \begin{cases} x\phi(t)\\ y\psi(t) \end{cases} {xϕ(t)yψ(t).一阶导 d y d x ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) d y d t d x d t \frac{dy}{dx} \frac{\psi(t)}{\phi(t)} \cfrac{ \cfrac{dy}{dt} }{\cfrac{dx}{dt}} dxdyϕ′(t)ψ′(t)dtdxdtdy 二阶导 d 2 y d x 2 d d t ⋅ ( d y d x ) ⋅ 1 d x d t \frac{d^2y}{dx^2} \frac d{dt} ·(\frac{dy}{dx})·\cfrac{1}{\cfrac{dx}{dt}} dx2d2ydtd⋅(dxdy)⋅dtdx1
3.4反函数
反函数 x f − 1 ( y ) xf^{-1}(y) xf−1(y) 的导数 直接函数 y f ( x ) yf(x) yf(x) 的导数的倒数。 令 x f − 1 ( y ) ϕ ( x ) ϕ ′ ( x ) 1 f ′ ( x ) 令xf^{-1}(y) \phi(x)\\ \phi(x) \frac 1 {f(x)} 令xf−1(y)ϕ(x)ϕ′(x)f′(x)1
3.5对数求导法
两边同时取对数适用于幂指函数、连乘除、开方、乘方。
3.6高阶导数
公式归纳泰勒级数
一些公式 ( u ⋅ v ) ( n ) ∑ k 0 n C n k ⋅ u ( k ) ⋅ v ( n − k ) ( u v ) ( n ) u ( n ) v ( n ) (u·v)^{(n)}\sum^n_{k0}C^k_n·u^{(k)}·v^{(n-k)} \\ (uv)^{(n)}u^{(n)}v^{(n)} (u⋅v)(n)k0∑nCnk⋅u(k)⋅v(n−k)(uv)(n)u(n)v(n)
4.导数应用 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西定理
4.1单调性、极值、最值
驻点 f ′ ( x ) 0 f(x)0 f′(x)0 f ′ ( x ) 0 f(x)0 f′(x)0原函数单增 f ( x ) ↑ f(x)↑ f(x)↑
驻点就是临界点极值点不一定是驻点驻点不一定是极值点eg. y x 3 yx^3 yx3
极值点也可能是不可导点eg. y ∣ x ∣ y|x| y∣x∣
拐点 f ′ ′ ( x ) 0 f(x)0 f′′(x)0
如果驻点有二阶导数那么 f ′ ′ ( x ) 0 f(x)0 f′′(x)0凹函数有极小值 f ′ ′ ( x ) 0 f(x)0 f′′(x)0凸函数有极大值。 4.1.1求极值
步骤 确定定义域 求导找驻点、不可导点 判断极大值、极小值 根据左右单调性判断可以画图。 根据 f ′ ′ ( x ) 0 f(x)0 f′′(x)0凹函数有极小值 f ′ ′ ( x ) 0 f(x)0 f′′(x)0凸函数有极大值。
4.1.2求最值
步骤
求出极值求两个端点的值比较极值和端点值。
4.2曲线凹凸性、拐点、渐近线、曲率
4.2.1渐近线 水平渐近线 有2条趋近 ∞ ∞ ∞ 和 − ∞ -∞ −∞ lim x → ∞ f ( x ) A 水平渐近线 : y A \lim_{x→∞}f(x)A \\ 水平渐近线:yA x→∞limf(x)A水平渐近线:yA 垂直渐近线 lim x → x 0 f ( x ) ∞ 垂直渐近线 : x x 0 \lim_{x→x_0}f(x)∞ \\ 垂直渐近线:xx_0 x→x0limf(x)∞垂直渐近线:xx0 斜渐近线 lim x → ∞ f ( x ) x a , lim x → ∞ ( f ( x ) − a x ) b 斜渐近线 : y a x b \lim_{x→∞}\frac{f(x)}xa\ ,\ \lim_{x→∞}(f(x)-ax)b\\ 斜渐近线:yaxb x→∞limxf(x)a , x→∞lim(f(x)−ax)b斜渐近线:yaxb
【注意】水平渐近线和斜渐近线不能共存因为前者斜率为0后者斜率为a. 步骤
先看垂直渐近线。找无定义的点。再看水平渐近线和斜渐近线
4.2.2曲率 直角坐标系 y y ( x ) yy(x) yy(x). 曲率 K ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 y ′ 2 ) 3 2 曲率K\frac{|y|}{(1y^2)^{\frac 32}} 曲率K(1y′2)23∣y′′∣ 参数方程 { x x ( t ) y y ( t ) \begin{cases} xx(t)\\ yy(t) \end{cases} {xx(t)yy(t). 曲率 K ∣ y ′ ′ x ′ − y ′ x ′ ′ ∣ ( x ′ 2 y ′ 2 ) 3 2 曲率K\frac{|yx-yx|}{(x^2y^2)^{\frac 32}} 曲率K(x′2y′2)23∣y′′x′−y′x′′∣
得到曲率之后可以求曲率半径R 曲率半径 R 1 K 曲率半径R\frac 1K 曲率半径RK1 根据谁不是参数把半径放到谁那里 e g . 通过关于 x 的方程 f ( x ) 得到 R 1 2 曲率圆方程 : x 2 ( y − 1 2 ) 2 1 4 eg.通过关于x的方程f(x)得到R\frac12 \\ 曲率圆方程:x^2(y-\frac12)^2\frac14 eg.通过关于x的方程f(x)得到R21曲率圆方程:x2(y−21)241
4.3方程的根的存在性和个数
类型
讨论有没有零点根 零点定理罗尔定理 根的个数 单调性罗尔定理推论在区间 I I I上 f ( n ) ( x ) ≠ 0 f^{(n)}(x) \ne 0 f(n)(x)0则方程 f ( x ) f(x) f(x) 在该区间最多有 n 个实根。 【技巧】当有参数例如a把参数分离出来。p77
4.4证明不等式
步骤
用大的函数减去小的函数定义为新函数证明这个函数大于0成立就是证明不等式 常用方法
单调性最大最小值拉格朗日中值定理泰勒公式凹凸性 【技巧】当不等式有两个参数 a, b那么可以把一个参数令为 x x x把问题转化成一个未知数、一个参数的函数不等式。
4.5证明微分中值定理
重难点
【技巧】
题干给出的条件要都用上少用一般缺点。证明在01上存在那么如果有c∈(0, 1)那么在0c上存在也可以。
4.5.1证明∃ξ∈(a,b)使得F[ξ, f(ξ), f’(ξ)]0成立
p81 步骤
构造辅助函数 分析法还原法微分方程法一般是解一个一阶微分方程 罗尔定理 另一种变式 F [ ξ , f ( ξ ) , f ′ ( ξ ) ] 0 F[ξ, f(ξ), f(ξ)]0 F[ξ,f(ξ),f′(ξ)]0 中没有导数 F [ ξ , f ( ξ ) ] 0 F[ξ, f(ξ)]0 F[ξ,f(ξ)]0
零点定理异号之间存在 F ( ξ ) 0 F(ξ)0 F(ξ)0.拉格朗日中值定理罗尔定理推论
4.5.2证明存在两个中值点η,ξ∈(a,b)使得F[ξ, f(ξ), f’(ξ), η, f(η), f’(η)]0成立
p86
函数里面的 f ′ ( ξ ) , f ′ ( η ) f(ξ),f(η) f′(ξ),f′(η) 必须同时出现才是双中值点。 步骤 把含有的 f ′ ( ξ ) , f ′ ( η ) f(ξ),f(η) f′(ξ),f′(η) 分别放到两端 分为2种情况 不要求 ξ ≠ η ξ \ne η ξη在同一区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 中根据两端的导数分别使用两次中值定理 拉格朗日中值定理柯西中值定理 要求 ξ ≠ η ξ \ne η ξη两个不同的点把区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 分成两个子区间 [ a , ξ ] , [ ξ , b ] [a,ξ],[ξ,b] [a,ξ],[ξ,b]根据两端的导数分别在两个子区间内使用两次拉格朗日中值定理. 其中关键点在于 ξ ξ ξ的选取使用“逆推法”。介值定理p88 4.5.3证明∃ξ∈(a,b)使得F[ξ, f(n)(ξ)]≥0成立
含有n阶导数。使用
带拉格朗日余项的泰勒公式 x 0 x_0 x0 选择题目中提供函数值、导数值信息多的点。
三、一元函数积分学
1.不定积分
【注意】同一个不定积分得到的结果不一定相同。
方法 一类换元凑微分法 二类换元去根号 分部积分法用于两类不同函数的相乘 ∫ u d v u v − ∫ v d u \int udv uv - \int vdu ∫udvuv−∫vdu 优先放到 d 后面的函数类型优先级高到低 三指幂对反其中 e x e^x ex 和三角函数一样优先
❗2.定积分
【注意】定积分 就是 常数。
方法 积分中值定理微分中值定理p114 ∫ a b f ( x ) d x f ( ξ ) ( b − a ) F ′ ( ξ ) ( b − a ) F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)dx f(ξ)(b-a) F(ξ)(b-a) F(b)-F(a) ∫abf(x)dxf(ξ)(b−a)F′(ξ)(b−a)F(b)−F(a) 延伸 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x f ( ξ ) ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b f(x)g(x) dx f(ξ)\int_a^b g(x)dx ∫abf(x)g(x)dxf(ξ)∫abg(x)dx 牛顿-莱布尼茨公式 换元积分法 分部积分法 常搭配换元。p108 奇偶性 ∫ − a a f ( x ) d x { 0 , f ( x ) 是奇函数 2 ∫ 0 a f ( x ) d x , f ( x ) 是偶函数 \int^a_{-a} f(x)dx \begin{cases} 0, f(x)是奇函数\\[2ex] 2\displaystyle \int^a_0 f(x)dx, f(x)是偶函数 \end{cases} ∫−aaf(x)dx⎩ ⎨ ⎧0,2∫0af(x)dx,f(x)是奇函数f(x)是偶函数 周期性 ∫ a a T f ( x ) d x ∫ 0 T f ( x ) d x ∫ 0 k T f ( x ) d x k ∫ 0 T f ( x ) d x \int_{a}^{aT} f(x)dx \int_{0}^{T} f(x)dx \\[2ex] \int_{0}^{kT} f(x)dx k\int_{0}^{T} f(x)dx \\ ∫aaTf(x)dx∫0Tf(x)dx∫0kTf(x)dxk∫0Tf(x)dx 华里士公式点火公式
倒计时从下面开始。 ∫ 0 π 2 sin n x d x ∫ 0 π 2 cos n x d x { n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 . . . 1 2 ⋅ π 2 , n 为偶数 n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 . . . 2 3 ⋅ 1 , n 为大于 1 的奇数 \int_{0}^{\displaystyle\frac \pi 2} \sin^{\color{red}n} x dx \int_{0}^{\displaystyle\frac \pi 2} \cos^{\color{red}n} x dx\\[2ex] \begin{cases} \cfrac{n-1}n · \cfrac{n-3}{n-2}...\cfrac 12 · \cfrac {\pi}2 , n为偶数 \\[2ex] \cfrac{n-1}n · \cfrac{n-3}{n-2}...\cfrac 23 · 1, n为大于1的奇数 \\[2ex] \end{cases} ∫02πsinnxdx∫02πcosnxdx⎩ ⎨ ⎧nn−1⋅n−2n−3...21⋅2π,nn−1⋅n−2n−3...32⋅1,n为偶数n为大于1的奇数
其他公式 ∫ 0 π f ( sin x ) d x 2 ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x ∫ 0 π x f ( sin x ) d x π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x \int_{0}^{\pi} f(\sin x)dx 2\int_{0}^{\displaystyle\frac \pi 2} f(\sin x)dx \\[2ex] \int_{0}^{\pi} {\color{red}x} f(\sin x)dx \frac {\pi}2 \int_{0}^{\pi} f(\sin x)dx ∫0πf(sinx)dx2∫02πf(sinx)dx∫0πxf(sinx)dx2π∫0πf(sinx)dx
2.1定积分概念、性质、几何意义
方法
积分中值定理微分中值定理对数求导法夹逼定理放大放小
2.2定积分计算 定积分几何意义 华里士公式 ∫ a b f ( x ) d x x a b − t ∫ a b f ( a b − t ) d t \displaystyle \int_a^b f(x)dx \stackrel{xab-t} \int_a^b f(ab-t)dt ∫abf(x)dxxab−t∫abf(ab−t)dt 上下限相加减去t。p110 定积分看作常数求导 0。p111
2.3变限积分
变上限积分求导 [ ∫ ϕ ( x ) ψ ( x ) f ( t ) d t ] ′ f ( ψ ) ⋅ ψ ′ ( x ) − f ( ϕ ) ⋅ ϕ ′ ( x ) [\ \int _{\phi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt\ ] f(\psi)·\psi(x)\ - \ f(\phi)·\phi(x) [ ∫ϕ(x)ψ(x)f(t)dt ]′f(ψ)⋅ψ′(x) − f(ϕ)⋅ϕ′(x)
导函数 f ( x ) f(x) f(x) 可积原函数 ∫ f ( x ) \int f(x) ∫f(x) 连续。导函数 f ( x ) f(x) f(x) 连续原函数 ∫ f ( x ) \int f(x) ∫f(x) 可导 F ′ ( x ) f ( x ) F(x)f(x) F′(x)f(x)奇偶性进行微分、积分后则奇偶性改变。 f ( x ) f(x) f(x) 是导函数 F ( x ) F(x) F(x) 是原函数 F ( x ) → f ( x ) F(x)→f(x) F(x)→f(x) F ( x ) F(x) F(x) 为偶 f ( x ) f(x) f(x) 为奇 F ( x ) F(x) F(x) 为奇 f ( x ) f(x) f(x) 为偶 F ( x ) F(x) F(x) 为周期 f ( x ) f(x) f(x) 为周期。 f ( x ) → F ( x ) f(x)→F(x) f(x)→F(x)只有一个 f ( x ) f(x) f(x) 为奇 F ( x ) F(x) F(x) 为偶。
导数0原函数是常数。
2.4积分不等式
题型 比较积分大小顺序 3种方法 基本不等式带点进去比较大小使 x → 0 x→0 x→0然后使用等价无穷小 证明不等式难 令 F ( x ) 大的 − 小的 F(x) 大的 - 小的 F(x)大的−小的即证 F ( x ) 0 F(x)0 F(x)0变成 二、4.4函数不等式。变上限积分
方法 定积分不等式性质 x x x 在 [a,b] 上有 f ( x ) ≤ g ( x ) f(x)≤g(x) f(x)≤g(x)则 ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x \displaystyle \int_a^b f(x)dx ≤ \int_a^b g(x)dx ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 估值定理 f ( x ) f(x) f(x) 在 [a,b] 上连续其中有 M , m M,m M,m 是 [a,b] 上的最大值、最小值则 m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) m(b-a)≤ \displaystyle\int_a^b f(x)dx ≤M(b-a) m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a) ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x \displaystyle \int_a^b f(x)dx ≤ | \int_a^b f(x)dx| ≤ \int_a^b |f(x)|dx ∫abf(x)dx≤∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx 变量代换 积分中值定理 ∫ a b f ( x ) d x f ( ξ ) ( b − a ) \displaystyle \int_a^b f(x)dx f(ξ)(b-a) ∫abf(x)dxf(ξ)(b−a) 变上限积分出现函数单调时常用p121 通常会给出 f ( 0 ) 0 f(0)0 f(0)0例如证明里面有一个 ∫ 0 1 f ( x ) \int_0^1 f(x) ∫01f(x)根据积分中值定理则 ∫ 0 x f ′ ( x ) d x f ( x ) − f ( 0 ) f ( x ) ∫ 0 x f ′ ( x ) d x \int_0^x f(x)dx f(x)-f(0) \\ f(x) \int_0^x f(x)dx ∫0xf′(x)dxf(x)−f(0)f(x)∫0xf′(x)dx 柯西积分不等式出现平方p121 [ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ] 2 ≤ ∫ a b f 2 ( x ) d x ⋅ ∫ a b g 2 ( x ) d x [\int_a^b f(x)\ g(x)dx]^2 ≤ \int_a^b f^2(x)dx · \int_a^bg^2(x)dx [∫abf(x) g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx⋅∫abg2(x)dx 基本不等式 sin x x tan x ( 0 x π 2 ) x 1 x ln ( 1 x ) x ( x 0 ) {\color{red} \sin xx\tan x} (0x\cfrac\pi2) \\ \frac x {1x} \ln(1x) x (x0) sinxxtanx(0x2π)1xxln(1x)x(x0)
3.反常积分
分为两类 无穷区间上的反常积分 ∫ a ∞ f ( x ) d x lim b → ∞ ∫ a b f ( x ) d x \int_a^{∞}f(x)dx \lim_{b→∞} \int_a^b f(x)dx \\ ∫a∞f(x)dxb→∞lim∫abf(x)dx 当此时极限存在那么收敛若不存在极限积分是无穷or不是常数则发散。 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x ∫ 0 ∞ f ( x ) d x (3-3) \int_{-∞}^{∞}f(x)dx \int_{-∞}^{0}f(x)dx \int_{0}^{∞}f(x)dx \tag{3-3} ∫−∞∞f(x)dx∫−∞0f(x)dx∫0∞f(x)dx(3-3) 当上下限都是无穷那么拆成两个同时都收敛原积分才收敛。 无界函数的反常积 若 a 为函数的瑕点无界点无界函数的反常积分也称为瑕积分。 ∫ a b f ( x ) d x lim t → a ∫ t b f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx \lim_{t→a} \int_t^b f(x)dx \\ ∫abf(x)dxt→alim∫tbf(x)dx 其余同 无穷区间上的反常积分 完全对应。 3.1反常积分敛散性
方法级数
比较判别法大收小收比较判别法极限形式P级数无穷区间、无界函数两种不一样 趋近 ∞ ∞ ∞ ∫ a ∞ 1 x p d x \displaystyle\int_a^{∞} \cfrac 1{x^p}dx ∫a∞xp1dx p 1 p1 p1收敛趋近一个点 ∫ a b 1 ( x − a ) p d x \displaystyle\int_a^b \cfrac 1{(x-a)^p}dx ∫ab(x−a)p1dx p 1 p1 p1收敛。这里x-a是趋近b也可以b-x趋近a
一些总结 ∫ 0 1 1 x a ( 1 − x ) b d x , a 1 , b 1 收敛 因为 ln x ∼ x − 1 , 除下来 , 所以下面就变成了 b − 1 ∫ 0 1 ln x x a ( 1 − x ) b d x , a 1 , b 2 收敛 因为 ln ( 1 − x ) ∼ x , 除下来 , 所以下面就变成了 a − 1 ∫ 0 1 ln ( 1 − x ) x a ( 1 − x ) b d x , a 2 , b 1 收敛 ∫ a ∞ ln x x p d x , p 1 收敛 \begin{split} \int_0^1 \cfrac 1{x^a(1-x)^b}dx, \quad a1,b1\quad收敛 \\\\ 因为\ln x \sim x-1, 除下来, 所以下面就变成了b-1\\ \int_0^1 \cfrac {\ln x}{x^a(1-x)^b}dx, \quad a1,b2\quad收敛 \\\\ 因为\ln (1-x) \sim x, 除下来, 所以下面就变成了a-1\\ \int_0^1 \cfrac {\ln (1-x)}{x^a(1-x)^b}dx, \quad a2,b1\quad收敛 \\\\ \int_a^{∞} \cfrac {\ln x}{x^p}dx,\quad p1\quad收敛 \end{split} ∫01xa(1−x)b1dx,因为lnx∼x−1,除下来,∫01xa(1−x)blnxdx,因为ln(1−x)∼x,除下来,∫01xa(1−x)bln(1−x)dx,∫a∞xplnxdx,a1,b1收敛所以下面就变成了b−1a1,b2收敛所以下面就变成了a−1a2,b1收敛p1收敛 【技巧】一般求极限都是一个极限也就是积分上下有一个无界、一个有界的但是如果上下都无界那么就需要把它们分成两个积分极限。如公式3-3。
3.2反常积分计算
方法
换元分部积分
4.定积分应用
4.1求面积 S
二重积分
直角坐标参数方程极坐标
4.2求体积 V 旋转体 的体积 p127 二重积分 p130例题3 两个公式 微元法 已知横截面S 的体积 V ∫ S ( x ) d x V \int S(x)\ dx V∫S(x) dx
4.3弧长 s 直角坐标 s ∫ 1 y ′ 2 ( x ) d x s\int \sqrt{1y^2(x)}dx s∫1y′2(x) dx 参数方程 s ∫ x ′ 2 ( t ) y ′ 2 ( t ) d t s\int \sqrt{x^2(t)y^2(t)}dt s∫x′2(t)y′2(t) dt 极坐标 s ∫ r 2 ( θ ) r ′ 2 ( θ ) d θ s\int \sqrt{r^2(θ)r^2(θ)}dθ s∫r2(θ)r′2(θ) dθ
4.4旋转体的侧面积 S S 2 π ∫ a b f ( x ) d s 也就是 S 2 π ∫ a b f ( x ) ( 弧长 s ) d x e . g . S 2 π ∫ a b f ( x ) 1 y ′ 2 ( x ) d x S2 \pi \int_a^b f(x) ds \\ 也就是\\ S2 \pi \int_a^b f(x) (弧长s)\ dx \\ e.g.\\ S2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1y^2(x)}dx S2π∫abf(x)ds也就是S2π∫abf(x)(弧长s) dxe.g.S2π∫abf(x)1y′2(x) dx
4.5物理问题 液体压力 压强 P ρ g h Pρgh Pρgh 压强 P 压力 F 面积 S P\cfrac {压力F}{面积S} P面积S压力F 变力沿直线所作的功 功 W F x WFx WFx
四、常微分方程
1.微分方程 可分离变量的微分方程 g ( y ) d y f ( x ) d x g(y)dyf(x)dx g(y)dyf(x)dx 当出现 y 2 y^2 y2 时一般考虑可分离。 齐次 微分方程 y ′ d y d x f ( y x ) y \frac{dy}{dx} f(\frac yx) y′dxdyf(xy) 一阶 线性 微分方程 y ′ P ( x ) y Q ( x ) yP(x)y Q(x) y′P(x)yQ(x) 【常见题型、技巧】
上下对调。当如 y ′ 1 x y y 3 y\cfrac 1{xyy^3} y′xyy31式子在分母。对调之后 d y d x 变 d x d y \cfrac{dy}{dx}变\cfrac{dx}{dy} dxdy变dydx原本关于x的方程变为关于y的。变量代换。当出现如 c o s ( x y ) 或 ( x y ) 2 cos(xy)或\, (xy)^2 cos(xy)或(xy)2这种没法分离的设 u x y uxy uxy利用齐次微分方程的思想。
2.高阶方程降阶
令 y ′ p yp y′p
p138
3.高阶微分方程 联系线性代数 - 线性方程组 二阶 常系数 齐次 微分方程 y ′ ′ p y ′ q y 0 y py qy 0 y′′py′qy0 二阶 常系数 非齐次 微分方程 y ′ ′ p y ′ q y f ( x ) y py qy f(x) y′′py′qyf(x) 【常见题型、技巧】p143 y ′ ′ p y ′ q y f ( x ) y py qy f(x) y′′py′qyf(x) 中的 f ( x ) f(x) f(x) 是有多个 P m ⋅ e λ x ⋅ sin β x P_m·e^{λx}·\sinβx Pm⋅eλx⋅sinβx把这几部分拆开来看最后再加起来。 q4齐次、非齐次的特解、通解 齐次解有多个 齐次解 非齐次特解 - 非齐次特解非齐次通解 齐次解 齐次解 非齐次特解非齐次通解 齐次解 非齐次特解 q5已知非齐次特解求非齐次方程 步骤 用非齐次特解求两个齐次解得到特征根 r 特征方程 ( r − r 1 ) ( r − r 2 ) 0 (r-r_1)(r-r_2)0 (r−r1)(r−r2)0 根据特征根得到齐次方程 把一个非齐次特解带入齐次方程得到 f ( x ) f(x) f(x)得到非齐次方程。 q6已知非齐次方程方程给出但又未知量一个通解求方程里面的未知量、非齐次方程通解 分析已知的这个“一个解”根据非齐次通解 齐次解 齐次解 非齐次特解找出那个是齐次解找出特征根 r根据特征根得到齐次方程把一个非齐次特解带入齐次方程得到 f ( x ) f(x) f(x)得到非齐次方程 4.综合题
4.1积分方程
题目给出一个积分方程 当有积分号 ∫ \int ∫存在式子中使用两边同时求导来消去积分变成微分方程。 当积分不能直接求导时考虑变量代换。 一般是 ∫ f ( u ) \int f(u) ∫f(u)但是这个u不是单个 x这个时候就把里面内容设为 u目的是删去 t。 求这个微分方程的通解含有常数 C C C。 然后通过上面原式子or求导过程中的式子带入特殊点求得通解里面的常数 C C C。
4.2函数方程 导数定义 f ′ ( x ) lim f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x f(x)\lim \cfrac {f(x\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f′(x)limΔxf(xΔx)−f(x) 转换成微分方程
五、多元函数微分学
重极限连续偏导数❗全微分
1.重极限、连续
二重极限 lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) A \displaystyle \lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}f(x,y)A (x,y)→(x0,y0)limf(x,y)A.
1.1求极限
常用的方法原理
利用极限性质四则运算法则夹逼原理消去分母中极限为零的因子有理化等价无穷小代换局部有界性 可以在函数中找到一部分是有界量那么需要求极限的就是另一部分。p151无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量
1.2证明极限不存在 二重极限 : lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) x p ⋅ y q x m y n 二重极限:\lim_{(x,y)→(x_0,y_0)} \frac{x^p·y^q}{x^my^n} 二重极限:(x,y)→(x0,y0)limxmynxp⋅yq
m、n 不全是偶数极限不存在。计算 p m q n \cfrac pm \cfrac qn mpnq p m q n 1 \cfrac pm \cfrac qn 1 mpnq1则极限 0. p m q n ≤ 1 \cfrac pm \cfrac qn ≤1 mpnq≤1则极限不存在.
2.偏导数、全微分
2.1偏导数
2.1.1偏导数定义
某一点偏导存在左右导存在且相等 lim Δ x → 0 f ( x 0 Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x lim Δ x → 0 f ( x 0 , y 0 Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y \lim_{Δx→0} \frac {f(x_0Δx, y_0) - f(x_0, y_0)}{Δx} \\ \lim_{Δx→0} \frac {f(x_0, y_0Δy) - f(x_0, y_0)}{Δy} Δx→0limΔxf(x0Δx,y0)−f(x0,y0)Δx→0limΔyf(x0,y0Δy)−f(x0,y0) 【计算技巧】先代后算
先代后求实际求偏导数时候通常给出两个变量然后求一个偏导。那么就可以把不是所求偏导的那个变量先代进去再求如求 x的偏导 f x ( 0 , 1 ) f_x(0,1) fx(0,1)可以先把y的值代进去 ∂ f ∂ x f x ′ ( 0 , 1 ) d d x [ f ( x , 1 ) ] ∣ x 0 \frac{∂f}{∂x} f_x(0,1) \frac d{dx} [f(x,1)] |_{x0} ∂x∂ffx′(0,1)dxd[f(x,1)]∣x0
2.1.2高阶偏导数
如对 x 求两次偏导 ∂ ∂ x ( ∂ z ∂ x ) ∂ 2 z ∂ x 2 f x x ( x , y ) \frac{∂}{∂x}(\frac{∂z}{∂x}) \frac{∂^2z}{∂x^2} f_{xx}(x,y) ∂x∂(∂x∂z)∂x2∂2zfxx(x,y)
顺序很重要
如先对x求导再对y求导。那么合并起来写就是 ∂ x ∂ y ∂x∂y ∂x∂y是从左到右依次的。 ∂ ∂ y ( ∂ z ∂ x ) ∂ 2 z ∂ x ∂ y f x y ( x , y ) \frac{∂}{∂y}(\frac{∂z}{∂x}) \frac{∂^2z}{∂x∂y} f_{xy}(x,y) ∂y∂(∂x∂z)∂x∂y∂2zfxy(x,y)
2.2.全微分
2.2.1全微分判断
全微分存在的条件 f x 、 f y f_x、f_y fx、fy两个偏导存在 f x 、 f y f_x、f_y fx、fy两个偏导在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)连续 可以使用重极限p155 lim ( Δ x , Δ y ) → ( x 0 , y 0 ) Δ z − f x ′ Δ x − f y ′ Δ y ( Δ x ) 2 ( Δ y ) 2 0 \lim_{(Δx,Δy)→(x_0,y_0)} \frac {Δz - f_xΔx - f_yΔy} {\sqrt{(Δx)^2(Δy)^2}} 0 (Δx,Δy)→(x0,y0)lim(Δx)2(Δy)2 Δz−fx′Δx−fy′Δy0
Δz 则是 z 的变化量即全增量 d z f ( x Δ x , y Δ y ) − f ( x , y ) dz f(xΔx, y Δy)-f(x,y) dzf(xΔx,yΔy)−f(x,y). lim ( Δ x , Δ y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x 0 Δ x , y 0 Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) − f x ′ Δ x − f y ′ Δ y ( Δ x ) 2 ( Δ y ) 2 0 \lim_{(Δx,Δy)→(x_0,y_0)} \frac {f(x_0Δx, y_0Δy)-f(x_0,y_0) - f_xΔx - f_yΔy} {\sqrt{(Δx)^2(Δy)^2}} 0 (Δx,Δy)→(x0,y0)lim(Δx)2(Δy)2 f(x0Δx,y0Δy)−f(x0,y0)−fx′Δx−fy′Δy0
2.2.1全微分计算 d z ∂ z ∂ x d x ∂ z ∂ y d y dz \frac {∂z}{∂x}dx \frac{∂z}{∂y}dy dz∂x∂zdx∂y∂zdy
2.3复合函数 复合函数求导法 u、v d z d x ∂ z ∂ u d u d x ∂ z ∂ v d v d x \frac {dz}{dx} \frac {∂z}{∂u} \frac {du}{dx} \frac{∂z}{∂v}\frac {dv}{dx} dxdz∂u∂zdxdu∂v∂zdxdv 全微分形式的不变性 d z ∂ z ∂ x d x ∂ z ∂ y d y ∂ z ∂ u d u ∂ z ∂ v d v dz \frac{∂z}{∂x}dx \frac{∂z}{∂y}dy \\ \frac{∂z}{∂u}du \frac{∂z}{∂v}dv dz∂x∂zdx∂y∂zdy∂u∂zdu∂v∂zdv 复合函数二阶微分
2.4隐函数
隐函数求导的方法 公式隐函数 F ( x , y ) 0 F(x,y)0 F(x,y)0 F x ′ F_x Fx′ 是指关于 x 的偏导 d y d x − F x ′ F y ′ \frac{dy}{dx} - \frac{F_x}{F_y} dxdy−Fy′Fx′ 微分形式不变性 在 F ( x , y , z ) 0 F(x,y,z)0 F(x,y,z)0 下 F x ′ d x F y ′ d y F z ′ d z 0 F_xdx F_ydy F_zdz 0 Fx′dxFy′dyFz′dz0 在 F ( x , y , z ) u F(x,y,z)u F(x,y,z)u 下 ∂ F ∂ x d x ∂ F ∂ y d y ∂ F ∂ z d z d u \frac{∂F}{∂x}dx \frac{∂F}{∂y}dy \frac{∂F}{∂z}dz du ∂x∂Fdx∂y∂Fdy∂z∂Fdzdu 取对数等式两边同时求导 题型求偏导数与全微分
1求一点处的偏导数与全微分
分段函数的分界点偏导一般用定义先代后求。
2求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
复合函数求偏导法已知偏导逆运算倒退回表达式 p161
3含有抽象函数的复合函数的偏导数与全微分 抽象复合 f ( f 1 , f 2 ) f(f_1,f_2) f(f1,f2) 的导数 【注意】题干中有时候也会给出 fx 就是 f1fy 就是 f2 d f f 1 ′ ⋅ ( f 1 里面的函数的关于变量的导数 ) f 2 ′ ⋅ ( f 2 里面的函数的关于变量的导数 ) df f_1·(f_1里面的函数的关于变量的导数) f_2·(f_2里面的函数的关于变量的导数) dff1′⋅(f1里面的函数的关于变量的导数)f2′⋅(f2里面的函数的关于变量的导数) 例1 d f ( x 1 , e x ) f 1 ′ ( x 1 , e x ) f 2 ′ ( x 1 , e x ) e x df(x1,e^x) f_1(x1,e^x)f_2(x1,e^x)e^x df(x1,ex)f1′(x1,ex)f2′(x1,ex)ex或者简写 d f ( x 1 , e x ) f 1 ′ e x f 2 ′ df(x1,e^x) f_1e^xf_2 df(x1,ex)f1′exf2′. 例2 f ( y x , x 2 y 2 ) f(yx,x^2y^2) f(yx,x2y2) 的 ∂ z ∂ x y f 1 ′ 2 x f 2 ′ \displaystyle \frac{∂z}{∂x} yf_12xf_2 ∂x∂zyf1′2xf2′. 复合函数二阶微分可以把 y f 1 ′ yf_1 yf1′ 再看作一个复合函数而其中的 f 1 ′ f_1 f1′也是一个 f 1 ′ ( y x , x 2 y 2 ) f_1(yx,x^2y^2) f1′(yx,x2y2)所以 ∂ 2 z ∂ x ∂ y f 1 ′ y ( x f 11 ′ ′ 2 y f 12 ′ ′ ) 2 x ( x f 21 ′ ′ 2 y f 22 ′ ′ ) \displaystyle \frac{∂^2z}{∂x∂y} f_1y(xf_{11}2yf_{12}) 2x(xf_{21}2yf_{22}) ∂x∂y∂2zf1′y(xf11′′2yf12′′)2x(xf21′′2yf22′′).
当遇到要求的二阶偏导是其他非x,y变量那么直奔主题求目标。p166
4隐函数的偏导数与全微分
隐函数求导看2.4 当给出多个抽象函数关系然后求一个偏导且函数之间变量关系不好找清楚可以使用微分形式不变性。p170 步骤 把给出的函数关系转换成全微分形式消去不需要的变量。OK
4.极值、最值
多元函数极值、最值
4.1求无条件极值
无条件极值就对应一元函数的极值。
步骤
确定定义域求导找驻点偏导数为0 { ∂ z ∂ x 0 ∂ z ∂ y 0 \begin{cases} \cfrac{∂z}{∂x}0 \\[1em] \cfrac{∂z}{∂y}0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧∂x∂z0∂y∂z0得到可能多个驻点的x0y0。把x0y0带入二次偏导判断极大值、极小值。
令 f x x ′ ′ A f_{xx}A fxx′′A f x y ′ ′ f y x ′ ′ B f_{xy}f_{yx}B fxy′′fyx′′B f y y ′ ′ C f_{yy}C fyy′′C
AC - B2 0有极值A 0是极小值A 0是极大值。A0开口向上AC - B2 0无极值AC - B2 0不一定需要讨论。 隐函数求导当偏导数式子里面有多个变量先令其他变量为0或者什么值求出xy然后把xy代回原方程得到z可能有多个z。p174
4.2条件最值拉格朗日乘数法
求最大最小值
只有x,y两个变量可以使用线性代数求解拉格朗日函数。目标函数简化。p179画图找几何解法例如是一个圆。
六、二重积分
1.计算二重积分 直角坐标 极坐标圆 奇偶性 p183 x是奇看区域D是否关于y轴对称是则D0 y是奇看区域D是否关于x轴对称是则D0。 奇偶性的平移 p187方法三、p188方法三 变量对称性D关于 y x yx yx 对称。 p184 y 和 x 可以对调 适合简化极坐标然后在使用极坐标
【技巧】
画辅助线分成多个区域利用奇偶性使得积分0.当极坐标圆心a,b不在xy坐标轴上考虑使用新的 { x − a r cos θ y − b r sin θ \begin{cases} x-ar\cos θ \\[0.5em] y-br\sin θ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x−arcosθy−brsinθ.
【特殊考点】
摆线
2.累次积分交换次序计算
就是画出图形看图形的特点分区域求积分然后加和。
3.综合、证明
技巧
先积分x还是先积分y可以交换顺序。
