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定义#xff1a; 正交矩阵是一种满足 A T A E A^{T}AE ATAE的方阵 正交矩阵具有以下几个重要性质#xff1a;
A的逆等于A的转置#xff0c;即 A − 1 A T A^{-1}A^{T} A−1AT**A的行列式的绝对值等于1#xff0c;即 ∣ d e t ( A ) ∣ 1 |det(A)|1 ∣det(A)∣…正交矩阵
定义 正交矩阵是一种满足 A T A E A^{T}AE ATAE的方阵 正交矩阵具有以下几个重要性质
A的逆等于A的转置即 A − 1 A T A^{-1}A^{T} A−1AT**A的行列式的绝对值等于1即 ∣ d e t ( A ) ∣ 1 |det(A)|1 ∣det(A)∣1正交矩阵的行向量和列向量都是单位正交向量组也就是说它们的长度都是 1而且两两垂直正交矩阵的特征值都是模长为 1 的复数即它们都在单位圆上。正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵即如果 A 和 B 都是正交矩阵那么 AB 也是正交矩阵
eg: [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 0 1 0 \\ 1 0 0 \\ 0 0 1 \end{bmatrix} 010100001
对角矩阵
定义 对角矩阵是一种特殊的方阵它的非对角元素都为零只有主对角线上的元素可能不为零 性质 -对角矩阵的逆矩阵等于主对角线上元素的倒数
eg: [ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ] \begin{bmatrix} 1 0 0 \\ 0 2 0 \\ 0 0 3 \end{bmatrix} 100020003
对称矩阵
定义 特殊的方阵它的转置矩阵与自身相等也就是说它的元素以主对角线为对称轴对应相等 性质
对称矩阵的特征值都是实数特征向量都是正交的可以通过相似变换对角化其逆矩阵也是对称矩阵
eg: [ 1 2 3 2 2 5 3 5 3 ] \begin{bmatrix} 1 2 3 \\ 2 2 5 \\ 3 5 3 \end{bmatrix} 123225353
正定矩阵
定义 给定一个大小为 n × n n \times n n×n的实对称矩阵A对于任意长度为n的非零向量x有 X T A x 0 X^{T}Ax0 XTAx0恒成立则矩阵A是一个正定矩阵
其逆矩阵也是对称矩阵
不正定矩阵
定义 给定一个大小为 n × n n \times n n×n的实对称矩阵A对于任意长度为n的非零向量x,有 X T A x ≥ 0 X^{T}Ax \ge 0 XTAx≥0恒成立则矩阵A是一个半正定矩阵
补充知识
单位正交向量组
正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组
求行列式的绝对值
