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树型结构
树的概念
与树的有关概念
树的表示形式
树的应用
二叉树
概念
两种特殊的…找往期文章包括但不限于本期文章中不懂的知识点 个人主页我要学编程(ಥ_ಥ)-CSDN博客 所属专栏数据结构Java版 目录
树型结构
树的概念
与树的有关概念
树的表示形式
树的应用
二叉树
概念
两种特殊的二叉树
二叉树的性质
有关二叉树的性质的练习
二叉树的存储
二叉树的遍历
二叉树遍历的练习 树型结构
树的概念
在正式学习二叉树之前我们先来了解一下数据结构中什么是树型结构。我们前面学习的顺序表、链表、栈、队列这些都是线性结构的。
树是一种非线性的数据结构它是由nn0个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的。 左边是大自然中正常的树右边是数据结构中的树。
数据结构中的树具有以下的特点
1、有一个特殊的结点称为根结点根结点没有前驱结点。
2、除根结点外其余结点被分成M(M 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm其中每一个集合Ti (1 i m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱可以有0个或多个后继。总结就是一句话子树与子树之间不能有相交的部分相交了就不能称之为树了。
3、树是递归定义的。
4、除了根结点外每个结点有且仅有一个父结点。
5、一棵N个结点的树有N-1条边。
与树的有关概念 重点掌握 结点的度一个结点所含的子树的个数也就是一个节点多少条边。 树的度因为树有多个结点因此树结点就是整个树中 所有 结点的度 的最大值。 叶子结点或终端结点度为0的点也就是没有边的点。 双亲结点或父结点若一个结点A含有子结点B则称该节点A为父结点。 孩子结点或子结点若一个结点A含有子结点B则称该节点B为子结点。 根结点一棵树中没有 双亲结点 的 结点就是最上面的那个结点。 结点的层次从根开始定义起根为第1层根的子结点为第2层以此类推。 树的高度或深度树中结点的最大层次其实就是从根节点到叶子结点之间的最大值。 了解即可 非终端结点或分支结点度不为0的结点。 兄弟结点具有相同 父结点 的 结点 互称 为兄弟结点。 堂兄弟结点双亲在同一层的结点它们的子结点 互为 堂兄结点。 结点的祖先从根到该结点所经分支上的所有结点都称为该结点的祖先。 子孙以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。 森林只要是能构成树的结点就可以称为森林。例如一颗树有一个节点那么构成这棵树的这个结点也可以称为森林。 树的表示形式
树的结构相对线性表就比较复杂了要存储表示起来就比较麻烦实际中树有很多种表示方式如双亲表示法 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。 顾名思义这个节点中可以储存其孩子和兄弟
class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
如下图所示 树的应用
我们电脑的磁盘目录就是用的树这种数据结构。
二叉树
概念
二叉树是 结点的 一个有限集合该集合 1. 要么为空即没有一个节点 2. 要么是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。就像下面这样 从上图可以看出
1. 二叉树不存在度大于2的结点。结点的度是指一个结点所含的边的条数也就是子树的个数
2. 二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树。
对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的 两种特殊的二叉树
满二叉树一棵二叉树每层的结点数都达到最大值则这棵二叉树就是满二叉树如果一棵 二叉树的层数为K且结点总数是 2^k -1则它就是满二叉树。例 当然这里可能会有一个误区有小伙伴可能会认为只要一棵二叉树 只存在度为0 和 度为2 的结点那么这棵树就是满二叉树。这个观点是不正确的。如下图所示 完全二叉树一棵二叉树的所有结点都是从上到下、从左到右依次存在的这样的二叉树就被称为完全二叉树。例 注意满二叉树也是一种完全二叉树。因为满二叉树也满足完全二叉树的定义。
二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1) (i0)个结点。例 2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1也就是说根是第1层则深度为K的二叉树的最大结点数是 (2^k) - 1(k0) 。这里求的总的结点个数也可以通过上图看出。其实也就是一个等比数列的求和问题。
3. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2 (N1)log以2为底N1的对数) 向上取整。这个公式就是根据 第2点 反推出来的。下面会有例子证明这个向上取整的意思。 4. 对于具有n个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号则对于序号为 i 的结点有 若 i 0双亲父亲结点序号(i-1)/2i0i 为根结点编号无双亲结点。 若2i1 n则左孩子序号为2i 12i1 n则无左孩子。 若2i2 n则右孩子序号为2i 22i2 n则无右孩子。 例如 5. 对于任意一棵二叉树如果其叶子节点的个数为 n0度为2的节点个数为 n2 则n0 n2 1。即度为0的结点的个数叶子结点 等于 度为2的结点的个数1
推导过程如下 有关二叉树的性质的练习 1.某二叉树共有399个结点其中有199个度为2的结点则该二叉树中的叶子结点数为 A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199 答案B 解析根据前面的结论叶子结点的个数比度为2的结点的个数多1可知为200选B 2.在具有2n个结点的完全二叉树中叶子结点个数为) A n个 B (n1)个 C (n-1)个 D (n/2)个 答案A 解析图解法 3.一个具有767个节点的完全二叉树其叶子节点个数为) A 383个 B 384个 C 385个 D 386个 答案B 解析由上图可知叶子结点的个数为 (7671) / 2 384。选B。 4.一棵完全二叉树的节点数为531个那么这棵树的高度为 A.11 B.10 C.8 D.12 答案B 解析log2 (5311) log2 512 9向上取整就是10. 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在后面学习。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的常见的表示方式有二叉和三叉表示方式具体如下
// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用常常代表右孩子为根的整棵右子树
}// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}
孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍本文采用孩子表示法来构建二叉树。
二叉树的遍历
二叉树有四种遍历方式前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。
前序遍历先序遍历就是先遍历根结点再遍历左子树最后再遍历右子树。
中序遍历就是先遍历左子树再遍历根结点最后再遍历右子树。
后序遍历就是先遍历左子树再遍历右子树最后再遍历根结点。
层序遍历就是从上到下、从左到右依次遍历根结点。
根据上述概念我们不难发现遍历根节点的顺序不同遍历方式也就有了区别。
先遍历根结点就是前序遍历。不管是哪个遍历一定是左子树在前右子树在后。
二叉树遍历的练习
1、下面二叉树的四种遍历方式 先序遍历根-左子树-右子树。打印结果A-B-D-E-C-F-G
中序遍历左子树-根-右子树。打印结果D-B-E-A-F-C-G
后序遍历左子树-右子树-根。打印结果D-E-B-F-G-C-A
层序遍历从上到下、从左到右依次打印根结点。打印结果A-B-C-D-E-F-G
根据上面的遍历结果我们也可以发现一些关于遍历的性质 1、先序遍历一定会先打印整棵树的根结点其次再是打印左子树的根节点依次遍历下去。而后续遍历往往与其相反最后才打印整棵树的根结点。 2、中序遍历的根结点一定是在中间的通过后续遍历或者前序遍历确定了根结点之后在根结点左边的就是根结点的左子树在根结点右边的就是根结点的右子树。 有了上面这些性质我们就可以更加迅速的把下面的题目给写完了。 2、某完全二叉树按层次输出同一层从左到右的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为() A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA 答案A 解析 由题意知该树为完全二叉树因此就可以确定该树的图形如上所示 前序遍历A-B-D-H-E-C-F-G 2、二叉树的先序遍历和中序遍历如下先序遍历EFHIGJK;中序遍历HFIEJKG.则二叉树根结点为() A: E B: F C: G D: H 答案A 解析根据先序遍历可以确定整棵树的根结点即E又因为中序遍历已知根结点可以确定整棵树的左子树和右子树则这棵树的图形如下所示 3、设一棵二叉树的中序遍历序列badce后序遍历序列bdeca则二叉树前序遍历序列为() A: adbce B: decab C: debac D: abcde 答案D 解析根据后序遍历可以确定整棵树的根结点即a又因为中序遍历已知根结点可以确定整棵树的左子树和右子树则这棵树的图形如下所示 4、某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同均为 ABCDEF 则按层次输出(同一层从左到右)的序列为() A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF 答案A 解析根据后序遍历可以确定整棵树的根结点即F又因为中序遍历已知根结点可以确定整棵树的左子树和右子树则这棵树的图形如下所示 好啦本期 数据结构之初始二叉树1的学习之旅就到此结束啦本期文章主要是了解一些概念与遍历的方式下一期我们就会开始代码的练习了。我们下一期再一起学习吧
