公司建设网站怎么作账,技校计算机专业主要学什么,广州市专业网站设计,河南手机网站建设公司哪家好文章考虑了具有订购成本#xff08;由单位成本加上重新订购成本组成#xff09;的动态库存问题。具体而言#xff0c;对于每个时期#xff0c;系统在中期开始是做出一系列采购决策——这些采购有助于库存的积累#xff0c;并在随后的周期被需求所消耗。每时期系统会产生各… 文章考虑了具有订购成本由单位成本加上重新订购成本组成的动态库存问题。具体而言对于每个时期系统在中期开始是做出一系列采购决策——这些采购有助于库存的积累并在随后的周期被需求所消耗。每时期系统会产生各种成本一般包括采购或订购成本 c ( z ) c(z) c(z)其中 z z z是购买量持有成本 h ( ⋅ ) h(\cdot) h(⋅)为时期末供应量超过需求量的函数以及缺货成本 p ( ⋅ ) p(\cdot) p(⋅)为周期末需求量超过供应量的函数。每个时期结束时会计算持有成本或缺货成本而订购成本则在进行采购时计算。库存问题的目标便是选择采购决策以最小化所有成本的折现值的期望。文章在最初假设采购仅在周期开始时进行并且交货是即时的后续将假设拓展考虑延迟交货的情况。
设交货后的库存水平立即为 y y y则该周期内将收取的预期持有和缺货成本为 L ( y ) L(y) L(y): 其中 φ \varphi φ是需求分布的密度函数。若考虑 n n n个时期、初始库存为 x x x的库存问题令 C n ( x ) C_n(x) Cn(x)表示在最优配给下 n n n个时期计划的折现成本的期望值折现因子 α ∈ [ 0 , 1 ] \alpha\in[0,1] α∈[0,1]。则可得出 C n ( x ) C_n(x) Cn(x) C n ( x ) min y ≥ x { c ( y − x ) L ( y ) α ∫ 0 ∞ C n − 1 ( y − ξ ) φ ( ξ ) d ξ } , C_n(x)\min_{y\geq x}\{c(y-x)L(y)\alpha\int_0^{\infty}C_{n-1}(y-\xi)\varphi(\xi)\mathrm{d}\xi\}, Cn(x)y≥xmin{c(y−x)L(y)α∫0∞Cn−1(y−ξ)φ(ξ)dξ}, 如果 y n ( x ) y_n(x) yn(x)为最优解则 y n ( x ) − x y_n(x)-x yn(x)−x表示最优的初始购买量。 文章证明如果持有成本和缺货成本是线性的则每个时期中的最优策略总是 (s, S) 类型。 首先回顾单时期问题即 n 1 n1 n1且 C 0 ≡ 0 C_0\equiv 0 C0≡0, 而单时期问题本质上是一个微积分问题。
最简单的情况是订购成本是线性的即 c ( z ) c ⋅ z c(z)c\cdot z c(z)c⋅z. 在这种情况下单时期模型的最优策略通常由单个临界数 x ˉ \bar{x} xˉ定义如下如果 x x ˉ x\bar{x} xxˉ则购买 x ˉ − x \bar{x}-x xˉ−x如果 x x ˉ x\bar{x} xxˉ则不购买。在多时期问题中类似的结果通常成立最优策略由一系列临界数 x ˉ 1 , x ˉ 2 , ⋯ \bar{x}_1,\bar{x}_2,\cdots xˉ1,xˉ2,⋯定义。这些结果成立的充分条件是 L ( y ) L(y) L(y)是凸的而这一条件在持有和短缺成本均为原点处消失的凸递增函数时成立。当订购成本不再是线性时文章集中讨论了最简单类型的非线性成本 其中 K K K通常被描述为固定订购成本。在该订购成本下单时期模型中的最优策略通常由一对临界数 (s, S) 定义如果$ xs $则订购 ( S − x ) (S-x) (S−x)如果$ xs 则不订购。在单时期模型中有一些示例显示这样的策略并非最优。然而如果持有和短缺成本为线性函数 则不订购。在单时期模型中有一些示例显示这样的策略并非最优。然而如果持有和短缺成本为线性函数 则不订购。在单时期模型中有一些示例显示这样的策略并非最优。然而如果持有和短缺成本为线性函数h(u)h\cdot u 和 和 和p(u)p\cdot u , 或者更一般地如果 , 或者更一般地如果 ,或者更一般地如果L(y)$是凸的那么多时期模型的最优策略是 (s, S). 然而即使假设持有和短缺成本是线性的在原文章发表的60年代前关于动态模型最优策略的文献也非常少。Bratten 表示引用章节9如果需求的密度是递减的动态模型的最优策略是由一系列临界数对 ( s 1 , S 1 s_1, S_1 s1,S1), ( s 2 , S 2 s_2, S_2 s2,S2),… 定义。唯一的另一种结果由 Karlin提出即如果 φ \varphi φ有一个单调似然比当持有和缺货成本是线性的且 c h α p ch\alpha p chαp那么最优策略也是同样的类型。这两个结果都相当限制性前者要求一个递减的密度后者对成本有严格的约束。 而文章证明了如果持有成本和缺货成本是线性的或更一般地当 L ( y ) L(y) L(y)是凸的并且订购成本如上非线性时则每个时期中的最优策略总是 (s, S) 类型无需任何附加条件。
上述两个结果的推导基于对函数 G n ( y ) G_n(y) Gn(y)的研究其中 G n ( y ) c y L ( y ) α ∫ 0 ∞ C n − 1 ( y − ξ ) φ ( ξ ) d ξ , G_n(y)cyL(y)\alpha\int_0^{\infty}C_{n-1}(y-\xi)\varphi(\xi)\mathrm{d}\xi, Gn(y)cyL(y)α∫0∞Cn−1(y−ξ)φ(ξ)dξ, 当且仅当 存在 y x yx yx, G n ( x ) K G n ( y ) G_n(x)KG_n(y) Gn(x)KGn(y), 从 x x x订购是最优的若要求从 x x x订购则订购到 使 G n ( y ) G_n(y) Gn(y)最小的 y y y ( y x ) (yx) (yx). 当假设 Bratten 的条件或 Karlin 的条件时 G n ( y ) G_n(y) Gn(y)递减到一个最小值然后再递增。现将最小满足情况的 y y y记作 S n S_n Sn且定义 s n s_n sn: G n ( s n ) G n ( S n ) K , G_n(s_n)G_n(S_n)K, Gn(sn)Gn(Sn)K, 则由 ( s n , S n s_n,S_n sn,Sn) 定义的策略是最优的。然而少量的数值计算就足以显示函数 G n G_n Gn并不总是符合次规律——实际上可能有许多极大值和极小值。文章给出的证明思路是尽管 G n G_n Gn可能有很多极大值和极小值但其变化不会致使导致偏离 (s,S) 策略。 如果 L ( y ) L(y) L(y)是凸的对于任一 a ≥ 0 a\geq 0 a≥0, 则 K G n ( a x ) − G n ( x ) − a G n ′ ( x ) ≥ 0 KG_n(ax)-G_n(x)-aG_n(x)\geq 0 KGn(ax)−Gn(x)−aGn′(x)≥0. 文章分情况讨论了即时与延时交货的情况来证明上述不等式的成立。假设 G n ( x ) G_n(x) Gn(x)的变化如图1所示系统会在区间 I 订购到点 S S S在区间 II 不订购在区间 III 订购到 S S S在区间 IV 不订购在区间 V 订购到 S ′ S S′在区间 VI 不订购。但若以上不等式成立则该曲线不能成立若有让 x a S xaS xaS并且 x x x是在 III 中达到相对最大值的点而对于这个值的 x x x, G n ′ 0 G_n0 Gn′0并且以上不等式意味着 K G n ( x ) − G n ( x ) ≥ 0 KG_n(x)-G_n(x)\geq 0 KGn(x)−Gn(x)≥0这与图1矛盾。同样的论证可以应用于点 S ′ S S′. 接下来针对订购货物到达的时间分情况讨论。 图1. 在假设的订购方案下的期望成本变化
零交货延迟的情况
对于即时交货的情况文章提出以下定义
设 K ≥ 0 K\geq 0 K≥0并且 f ( x ) f(x) f(x)是一个可微分函数。如果对于所有 a 0 a0 a0和所有 x x x有 K f ( a x ) − f ( x ) − a f ′ ( x ) ≥ 0 , Kf(ax)-f(x)-af(x)\geq 0, Kf(ax)−f(x)−af′(x)≥0, 则称 f ( x ) f(x) f(x)是 K-凸的。如果不假设可微分性则 K-凸性的定义为 K f ( a x ) − f ( x ) − a [ f ( x b ) − f ( x ) b ] ≥ 0. Kf(ax)-f(x)-a[\frac{f(xb)-f(x)}{b}]\geq 0. Kf(ax)−f(x)−a[bf(xb)−f(x)]≥0. K-凸函数的简单属性包括
0-凸性等同于普通凸性。如果 f ( x ) f(x) f(x)是 K-凸的那么对于所有 h h h, f ( x h ) f(xh) f(xh)也是 K-凸的。如果 f f f和 g g g分别是 K-凸和 M-凸的且有 α \alpha α 和 β \beta β为正那么 α f β g \alpha f\beta g αfβg是 ( α K β M ) (\alpha K\beta M) (αKβM)-凸的。
运用数学归纳法首先 G 1 ( x ) c x L ( x ) G_1(x) cxL(x) G1(x)cxL(x)显然是 K-凸的0-凸。
其次假设 G 2 , … , G n G_2,\ldots,G_n G2,…,Gn也是 K-凸的。根据 G n ( x ) G_n(x) Gn(x)的定义为证明 G n 1 ( x ) G_{n1}(x) Gn1(x)的 K-凸性则只需证明 ∫ 0 ∞ C n ( x − ξ ) φ ( ξ ) d ξ \int_{0}^{\infty}C_n(x-\xi)\varphi(\xi)\mathrm{d}\xi ∫0∞Cn(x−ξ)φ(ξ)dξ是 K-凸的而通过上述属性2和3足够证明 C n ( x ) C_n(x) Cn(x)是 K-凸的推导如下。
首先如果 S n S_n Sn是 G n ( x ) G_n(x) Gn(x)的绝对最小值并且已定义 s n s_n sn为满足 K G n ( S n ) G n ( s n ) KG_n(S_n)G_n(s_n) KGn(Sn)Gn(sn)的$ xS_n 那么最优策略是当 那么最优策略是当 那么最优策略是当 xs_n 则订购到 则订购到 则订购到S_n$否则不订购。因此
当$ xs_n 时 时 时C_n(x)Kc(S_n-x)C_n(S_n)K-cxG_n(S_n)$;当$ xs_n 时 时 时C_n(x) -cxG_n(x)$.
情况 1 x s n xs_n xsn. 在这个区域 C n ( x ) C_n(x) Cn(x)等于线性函数加上K-凸函数因此是 K-凸的。
情况 2$ xs_nxa $. 在这种情况下 K C n ( x a ) − C n ( x ) − a C n ′ ( x ) K C n ( x a ) − C n ( x ) a c KC_n(xa)-C_n(x)-aC_n(x)KC_n(xa)-C_n(x)ac KCn(xa)−Cn(x)−aCn′(x)KCn(xa)−Cn(x)ac 为正因为 C n ( x ) min y x { K c ( y − x ) L ( y ) α ∫ 0 ∞ C n − 1 ( y − ξ ) φ ( ξ ) d ξ } C_n(x)\min_{yx}\{Kc(y-x)L(y)\alpha\int_0^{\infty}C_{n-1}(y-\xi)\varphi(\xi)\mathrm{d}\xi\} Cn(x)yxmin{Kc(y−x)L(y)α∫0∞Cn−1(y−ξ)φ(ξ)dξ} ≤ K c a K ( x a ) α ∫ 0 ∞ C n − 1 ( x a − ξ ) φ ( ξ ) d ξ \leq Kca K(xa)\alpha\int_0^{\infty}C_{n-1}(xa-\xi)\varphi(\xi)\mathrm{d}\xi ≤KcaK(xa)α∫0∞Cn−1(xa−ξ)φ(ξ)dξ K c a C n ( x a ) . KcaC_n(xa). KcaCn(xa). 情况 3$ x a s_n . 在这个区域 . 在这个区域 .在这个区域 C_n(x) $是线性的因此是 K-凸的。归纳完成并证明了在这一部分考虑的情况下 (s, S) 策略的最优性。
交货延迟的情况
当存在交货延迟时最优策略的性质很大程度上取决于是超额需求被积压还是被加急处理。如果超额需求被积压那么已知最优策略是现有库存加上已订购但尚未交付的库存的函数如果超额需求被加急处理最优策略则将复杂得多——文章仅考虑积压为满足需求的情况。
令交货延迟记作 λ \lambda λ即在时期开始时下的订单在 λ \lambda λ个时期后的开始时交付。考虑 n n n个时期令 x x x表示当前库存 x 1 x_1 x1表示下个时期开始时要交付的库存 x j x_j xj表示 j j j个时期后交付的库存其中 j 1 , 2 , … , λ − 1 j1,2,\ldots,\lambda-1 j1,2,…,λ−1. 令 C n ( x , x 1 , … , x λ − 1 ) C_n(x,x_1,\ldots,x_{\lambda-1}) Cn(x,x1,…,xλ−1)表示最小期望成本则 C n ( x , x 1 , … , x λ − 1 ) min z ≥ 0 { c ( z ) L ( x ) α ∫ − ∞ C n − 1 ( x x 1 − ξ , x 2 , … , z ) φ ( ξ ) d ξ } . C_n(x,x_1,\ldots,x_{\lambda-1})\min_{z\geq 0}\{c(z)L(x)\alpha\int_-^{\infty}C_{n-1}(xx_1-\xi,x_2,\ldots,z)\varphi(\xi)\mathrm{d}\xi\}. Cn(x,x1,…,xλ−1)z≥0min{c(z)L(x)α∫−∞Cn−1(xx1−ξ,x2,…,z)φ(ξ)dξ}. 接下来将证明如 L ( x ) L(x) L(x)是凸的并且购买成本如前文所示非线性最优策略可由 S n S_n Sn和 s n s_n sn描述如果$ xx_1\ldots x_{\lambda-1}s_n 则不订购如果 则不订购如果 则不订购如果 xx_1\ldots x_{\lambda-1}s_n 则订购到 则订购到 则订购到S_n$.
根据 C n ( x , x 1 , … , x λ − 1 ) C_n(x,x_1,\ldots,x_{\lambda-1}) Cn(x,x1,…,xλ−1)定义对于 n ≥ λ n\geq \lambda n≥λ C n ( x , x 1 , x 2 , … , x λ − 1 ) C_n(x,x_1,x_2,\ldots,x_{\lambda-1}) Cn(x,x1,x2,…,xλ−1) L ( x ) α ∫ 0 ∞ L ( x x 1 − ξ ) φ ( ξ ) d ξ ⋯ L(x)\alpha\int_0^{\infty}L(xx_1-\xi)\varphi(\xi)\mathrm{d}\xi \cdots L(x)α∫0∞L(xx1−ξ)φ(ξ)dξ⋯ α λ − 1 ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ L ( x ⋯ x λ − 1 − ∑ i 1 λ − 1 ξ i ) φ ( ξ 1 ) ⋯ φ ( ξ λ − 1 ) d ξ ⋯ d ξ λ − 1 f n ( x x 1 ⋯ x λ − 1 ) , \alpha^{\lambda-1}\int_0^{\infty}\cdots\int_0^{\infty}L(x\cdots x_{\lambda-1}-\sum_{i1}^{\lambda-1}\xi_i)\varphi(\xi_1)\cdots\varphi(\xi_{\lambda-1})\mathrm{d}\xi\cdots\mathrm{d}\xi_{\lambda-1} f_n(xx_1\cdotsx_{\lambda-1}), αλ−1∫0∞⋯∫0∞L(x⋯xλ−1−i1∑λ−1ξi)φ(ξ1)⋯φ(ξλ−1)dξ⋯dξλ−1fn(xx1⋯xλ−1), 其中 f n ( u ) f_n(u) fn(u)满足 f n ( u ) min x ≥ 0 { c ( z ) α λ ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ L ( u z − ∑ i 1 λ ξ i ) φ ( ξ 1 ) ⋯ φ ( ξ λ ) d ξ 1 ⋯ d ξ λ } . f_n(u)\min_{x\geq0}\{c(z)\alpha^{\lambda}\int_0^{\infty}\cdots\int_0^{\infty}L(uz-\sum_{i1}^{\lambda}\xi_i)\varphi(\xi_1)\cdots\varphi(\xi_{\lambda})\mathrm{d}\xi_1\cdots\mathrm{d}\xi_{\lambda}\}. fn(u)x≥0min{c(z)αλ∫0∞⋯∫0∞L(uz−i1∑λξi)φ(ξ1)⋯φ(ξλ)dξ1⋯dξλ}. 因此若令 y u z yuz yuz即相当于 L ( y ) L(y) L(y)被 α λ ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ L ( u z − ∑ i 1 λ ξ i ) φ ( ξ 1 ) ⋯ φ ( ξ λ ) d ξ 1 ⋯ d ξ λ } \alpha^{\lambda}\int_0^{\infty}\cdots\int_0^{\infty}L(uz-\sum_{i1}^{\lambda}\xi_i)\varphi(\xi_1)\cdots\varphi(\xi_{\lambda})\mathrm{d}\xi_1\cdots\mathrm{d}\xi_{\lambda}\} αλ∫0∞⋯∫0∞L(uz−i1∑λξi)φ(ξ1)⋯φ(ξλ)dξ1⋯dξλ} 替换。然而如果 L ( y ) L(y) L(y)是凸的那么替换它的上式也是凸的这就足以完成证明。于是可以得出结论如果持有成本和缺货成本是线性的则每个时期中的最优策略总是 (s, S) 类型。
参考文献
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