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第四章 向量组的线性相关性
2#xff09;向量组的线性相关性
3#xff09;向… 大家觉不错的话就恳求大家点点关注点点小爱心指点指点 目录
第四章 向量组的线性相关性
2向量组的线性相关性
3向量组的秩
4线性方程组的解的结构 第四章 向量组的线性相关性
2向量组的线性相关性 定义4:给定向量组A:a[1],a[2],…,a[m];如果存在不全为零的数k[1],k[2],…,k[m]使k[1]a[1]k[2]a[2]…k[m]a[m]0则称向量组A是线性相关的否则它就线性无关定理4 向量组A:a[1],a[2],…,a[m]线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a[1],a[2],…,a[m])的秩小于向量个数m向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)m定理5 1若向量组A:a[1],a[2],…,a[m];线性相关则向量组B:a[1],a[2],…,a[m],a[m1]也线性相关(R(A)m,则R(A)1m1,所以R(B)m1)。反之向量组B线性无关则向量组A也线性无关(R(B)m1,则R(A)1m1,所以R(A)m)2m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量的个数m时一定线性相关特别地n1个n维向量一定线性相关(R(A)n1))。3设向量组A:a[1],a[2],…,a[m];线性无关而向量组B:a[1],a[2],…,a[m],b线性相关则向量b必能由向量组A线性表示且表示式惟一3向量组的秩 定义5:设有向量组A如果在A中能选出r个向量a[1],a[2],…,a[r],满足i向量组Aa[1],a[2],…,a[r]线性无关ii向量组A中仍意r1个向量如果A中r1个向量的话都是线性相关的那么称向量组A[0]是向量组A的最大线性无关向量组简称最大无关组最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩记作R[A]推论最大无关组的等价定义设向量组A[0]a[1],a[2],…,a[r]是向量组A的一个部分组且满足i向量组A[0]线性无关ii向量组A的任一向量都能由向量组A[0]线性表示那么向量组A[0]便是向量组A的一个最大无关组定理6 矩阵的秩等于它列向量的秩也等于行向量的秩极大无关组不唯一4线性方程组的解的结构 Ax0*性质1 若x[1],x[2]为方程组*的解则x[1][2]也是方程*的解性质2 若x[1]为向量方程*的解k为实数则xk[1]也是向量方程*的解定理7 设mxn矩阵A的秩R[A]r,则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩R[s]n-rAxb#性质3 设x[1]及x[2]都是向量方程#的解则x[1]-[2]为对应的齐次线性方程组Ax0的解如果大家还有不懂或者建议都可以发在评论区我们共同探讨共同学习共同进步。谢谢大家
