青岛做网站需要多少钱,wordpress熊账号,wordpress 音乐网站,秦皇岛网站开发报价文章目录 abstract方向导数二元函数方向导数偏导数是方向导数的特例偏导数存在一定有对应的方向导数存在方向导数存在不一定有偏导数存在例 三元函数方向导数例 方向导数存在定理和计算公式证明二元函数三元函数 abstract
方向导数的概念,定理和计算公式方向导数是对偏导的补充… 文章目录 abstract方向导数二元函数方向导数偏导数是方向导数的特例偏导数存在一定有对应的方向导数存在方向导数存在不一定有偏导数存在例 三元函数方向导数例 方向导数存在定理和计算公式证明二元函数三元函数 abstract
方向导数的概念,定理和计算公式方向导数是对偏导的补充,其本质上是一个极限问题,而其计算可以转化为偏导的计算和方向余弦的计算,表现为偏导数构成的向量和方向余弦构成的向量作数量积
方向导数 偏导数反映的是函数(自变量)沿着坐标轴方向的变换率 为研究多元函数在某一点P沿任意方向(某个方向)的变化率,偏导数无法满足要求,因此引入多元函数的方向导数的概念 例如,设 f ( P ) f(P) f(P)表示某物体内点P的温度,那么这个物体的热传导就依赖于温度沿某些方向的变化率预测某地的风向和风力,就需要知道气压在该处沿某些方向的变化率
二元函数方向导数
设 l l l为 x O y xOy xOy平面上以 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0(x0,y0)为始点的一条射线,设其倾斜角为 α ( α ∈ [ 0 , π ) ) \alpha(\alpha\in[0,\pi)) α(α∈[0,π)),则 e l \bold{e_{l}} el ( cos α , cos β ) (\cos\alpha,\cos\beta) (cosα,cosβ)是与 l l l同方向的单位向量 α β π 2 \alpha\beta\frac{\pi}{2} αβ2π, cos β sin α \cos\beta\sin\alpha cosβsinα, cos 2 α cos 2 β \cos^2\alpha\cos^2\beta cos2αcos2β cos 2 α sin 2 α 1 \cos^{2}\alpha\sin^2\alpha1 cos2αsin2α1 由直线的参数方程公式,射线所在直线的参数方程为 x x 0 t cos α xx_0t\cos\alpha xx0tcosα; y y 0 t cos β yy_0t\cos\beta yy0tcosβ,其中 t t t为任意常数;而此处要求射线的方程,需要限制 t ⩾ 0 t\geqslant{0} t⩾0设函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y)在点 P 0 P_{0} P0的某个邻域 U ( P 0 ) U(P_{0}) U(P0)内有定义, P ( x 0 t cos α , y 0 t cos β ) P(x_0t\cos\alpha,y_0t\cos\beta) P(x0tcosα,y0tcosβ)为 l l l上的另一点,切 P ∈ U ( P 0 ) P\in{U}(P_{0}) P∈U(P0) 若记函数增量 Δ z \Delta{z} Δz f ( x 0 t cos α , y 0 t cos β ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0t\cos\alpha,y_0t\cos\beta)-f(x_0,y_0) f(x0tcosα,y0tcosβ)−f(x0,y0); P → P 0 P\to{P_0} P→P0的距离 ∣ P P 0 ∣ t |PP_{0}|t ∣PP0∣t lim t → 0 Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t→0limtΔz极限存在,则称该极限为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0(x0,y0)沿方向 l l l的方向导数,记为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)即 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0) lim t → 0 Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t→0limtΔz(1) 由方向导数的定义可知,式(1)就是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 P_{0} P0处沿着方向 l l l的变化率(射线 l l l方向的变化率)方向导数本质是求极限
偏导数是方向导数的特例
偏导数存在一定有对应的方向导数存在
若函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 P_0 P0的偏导数存在,沿 x x x轴正方向同向的一个单位向量为 e l \bold{e}_{l} el i \bold{i} i ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0),则 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0) f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}(x_0,y_0) fx(x0,y0) 此时 Δ z \Delta{z} Δz f ( x 0 t , y 0 0 t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0t,y_00t)-f(x_0,y_0) f(x0t,y00t)−f(x0,y0) f ( x 0 t , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0t,y_0)-f(x_0,y_0) f(x0t,y0)−f(x0,y0) 同理,若 e l \bold{e}_{l} el j ( 0 , 1 ) \bold{j}(0,1) j(0,1),则 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0) f y ( x 0 , y 0 ) f_{y}(x_0,y_0) fy(x0,y0) 此时 Δ z \Delta{z} Δz f ( x 0 0 t , y 0 t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_00t,y_0t)-f(x_0,y_0) f(x00t,y0t)−f(x0,y0) f ( x 0 , y 0 t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0t)-f(x_0,y_0) f(x0,y0t)−f(x0,y0)
方向导数存在不一定有偏导数存在
若 e l i \bold{e}_{l}\bold{i} eli, ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)存在,未必有 ∂ f ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{x}}|_{(x_0,y_0)} ∂x∂f∣(x0,y0) f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}(x_0,y_0) fx(x0,y0)存在 例如: z x 2 y 2 z\sqrt{x^2y^2} zx2y2 在点 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)处沿 l i l\bold{i} li的方向的方向导数 ∂ f ∂ l ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(0,0)} ∂l∂f∣(0,0)1 由方向导数的定义可以计算方向导数,但是这很不方便,后面介绍使用方向导数存在定理和计算公式这里先用定义计算: Δ z f ( x 0 t , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta_{z}f(x_0t,y_0)-f(x_0,y_0) Δzf(x0t,y0)−f(x0,y0) f ( t , 0 ) − f ( 0 , 0 ) f(t,0)-f(0,0) f(t,0)−f(0,0) ∣ t ∣ − 0 |t|-0 ∣t∣−0 t t t, ( t 0 ) (t0) (t0)从而 lim t → 0 Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t→0limtΔz1,即 ∂ f ∂ l ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(0,0)} ∂l∂f∣(0,0)1 而 ∂ f ∂ x ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{x}}|_{(0,0)} ∂x∂f∣(0,0)不存在(因为 ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f x x 2 y 2 \frac{x}{\sqrt{x^2y^2}} x2y2 x,在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处没有定义)
例 求函数 z x e 2 y zxe^{2y} zxe2y在点 P ( 1 , 0 ) P(1,0) P(1,0)处,沿从点P到Q(2,-1)的方向的方向导数值 方向 l l l,即 P Q → ( 2 − 1 , − 1 − 0 ) ( 1 , − 1 ) \overrightarrow{PQ}(2-1,-1-0)(1,-1) PQ (2−1,−1−0)(1,−1)的方向 单位向量 l 0 1 1 2 ( − 1 ) 2 ( 1 , − 1 ) ( 1 2 , − 1 2 ) l_0\frac{1}{\sqrt{1^2(-1)^2}}(1,-1)(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}) l012(−1)2 1(1,−1)(2 1,−2 1) cos α 1 2 \cos{\alpha}\frac{1}{\sqrt{2}} cosα2 1 cos β − 1 2 \cos{\beta}-\frac{1}{\sqrt{2}} cosβ−2 1 ∂ z ∂ x ∣ P e 2 y ∣ ( 1 , 0 ) 1 \left.\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right|_Pe^{2y}|_{(1,0)}1 ∂x∂z Pe2y∣(1,0)1; ∂ z ∂ y ∣ P 2 x e 2 y ∣ ( 1 , 0 ) 2 \left.\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right|_P2xe^{2y}|_{(1,0)}2 ∂y∂z P2xe2y∣(1,0)2 ∂ z ∂ l \frac{\partial{z}}{\partial{l}} ∂l∂z ∂ z ∂ x ∣ P cos α ∂ z ∂ y ∣ P cos β \left.\frac{\partial{z}} {\partial{x}}\right|_P\cos{\alpha} \left.\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right|_P\cos{\beta} ∂x∂z Pcosα∂y∂z Pcosβ 1 × 1 2 2 × − 1 2 − 2 2 1\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}2\times{-\frac{1}{\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{2}}{2} 1×2 12×−2 1−22
三元函数方向导数 对于三元函数 u f ( x , y , z ) uf(x,y,z) uf(x,y,z)来说,它在空间一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_{0}(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)沿某 P 0 P_0 P0为始点的射线 l l l的方向 e l \bold{e}_{l} el ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)的方向导数为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0) lim t → 0 Δ u t \lim\limits_{t\to{0^{}}} \frac{\Delta{u}}{t} t→0limtΔu(1) 其中 Δ u \Delta{u} Δu f ( x 0 t cos α , y 0 t cos β , z 0 t cos γ ) − f ( x 0 , y 0 , z 0 ) f(x_0t\cos\alpha,y_0t\cos\beta,z_0t\cos\gamma)-f(x_0,y_0,z_0) f(x0tcosα,y0tcosβ,z0tcosγ)−f(x0,y0,z0) 若式(1)极限存在,则称该极限为 u f ( x , y , z ) uf(x,y,z) uf(x,y,z)在点 P 0 P_{0} P0沿方向 l l l的方向导数,记为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0,z_0)} ∂l∂f∣(x0,y0,z0)
例
设多元一次函数 f ( x , y , z ) a x b y c z f(x,y,z)axbycz f(x,y,z)axbycz,向量 l l l的方向余弦为 cos α , cos β , cos γ \cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma} cosα,cosβ,cosγ设点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z), P ′ ( x Δ x , y Δ y , z Δ z ) P(x\Delta{x},y\Delta{y},z\Delta{z}) P′(xΔx,yΔy,zΔz)都是 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)上的点 Δ f \Delta{f} Δf f ( x Δ x , y Δ y , z Δ z ) f(x\Delta{x},y\Delta{y},z\Delta{z}) f(xΔx,yΔy,zΔz)- f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) a ( x Δ x ) b ( y Δ y ) c ( z Δ z ) a(x\Delta{x})b(y\Delta{y})c(z\Delta{z}) a(xΔx)b(yΔy)c(zΔz)- ( a x b y c z ) (axbycz) (axbycz) a Δ x b Δ y c Δ z a\Delta{x}b\Delta{y}c\Delta{z} aΔxbΔycΔz f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)沿 l l l方向的平均变化率为 Δ f ∣ P P ′ ∣ \frac{\Delta{f}}{|PP|} ∣PP′∣Δf 1 ∣ P P ′ ∣ ( a Δ x b Δ y c Δ z ) \frac{1}{|PP|}(a\Delta{x}b\Delta{y}c\Delta{z}) ∣PP′∣1(aΔxbΔycΔz) ( Δ x , Δ y , Δ z ) (\Delta{x},\Delta{y},\Delta{z}) (Δx,Δy,Δz) ( ∣ P P ′ ∣ cos α , ∣ P P ′ ∣ cos β , ∣ P P ′ ∣ cos γ ) (|PP|\cos{\alpha},|PP|\cos{\beta},|PP|\cos{\gamma}) (∣PP′∣cosα,∣PP′∣cosβ,∣PP′∣cosγ) a Δ x b Δ y c Δ z a\Delta{x}b\Delta{y}c\Delta{z} aΔxbΔycΔz ( a ∣ P P ′ ∣ cos α b ∣ P P ′ ∣ cos β c ∣ P P ′ ∣ cos γ ) (a|PP|\cos{\alpha}b|PP|\cos{\beta}c|PP|\cos{\gamma}) (a∣PP′∣cosαb∣PP′∣cosβc∣PP′∣cosγ) Δ f ∣ P P ′ ∣ \frac{\Delta{f}}{|PP|} ∣PP′∣Δf a cos α b cos β c cos γ a\cos{\alpha}b\cos{\beta}c\cos{\gamma} acosαbcosβccosγ; 令 t ∣ P P ′ ∣ t|PP| t∣PP′∣, lim t → 0 Δ f t \lim\limits_{t\to{0}}{\frac{\Delta{f}}{t}} t→0limtΔf a cos α b cos β c cos γ a\cos{\alpha}b\cos{\beta}c\cos{\gamma} acosαbcosβccosγ,所以 ∂ f ∂ l \frac{\partial{f}}{\partial{l}} ∂l∂f a cos α b cos β c cos γ a\cos{\alpha}b\cos{\beta}c\cos{\gamma} acosαbcosβccosγ(1) 这表明,一次函数沿 l l l方向的方向导数不随点的位置而改变但是沿不同方向的方向导数一般不同(方向余弦发生改变)
方向导数存在定理和计算公式
若函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y)在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P{(x_0,y_0,z_0}) P(x0,y0,z0)可微分,那么函数在该点沿任意方向 l l l的方向导数存在,且 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0) f x ( x 0 , y 0 ) cos α f y ( x 0 , y 0 ) cos β f_{x}(x_0,y_{0})\cos\alphaf_{y}(x_0,y_0)\cos\beta fx(x0,y0)cosαfy(x0,y0)cosβ(0) 其中 cos α , cos β \cos\alpha,\cos\beta cosα,cosβ是方向 l l l方向余弦;直线 l l l在坐标面 x O y xOy xOy内,所以若要按空间直线处理, cos γ \cos\gamma cosγ0 类似的,若函数 u f ( x , y , z ) uf(x,y,z) uf(x,y,z)在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)为微分,则函数在该点验证方向 e l \bold{e}_{l} el ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)的方向导数为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0,z_0)} ∂l∂f∣(x0,y0,z0) f x ( x 0 , y 0 ) cos α f y ( x 0 , y 0 ) cos β f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos γ f_{x}(x_0,y_0)\cos\alphaf_{y}(x_0,y_0)\cos\betaf_{z}(x_0,y_0,z_0)\cos\gamma fx(x0,y0)cosαfy(x0,y0)cosβfz(x0,y0,z0)cosγ
证明
二元函数
由假设, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)可微分,所以 Δ z \Delta{z} Δz f ( x 0 Δ x , y 0 Δ y ) f(x_0\Delta{x},y_0\Delta{y}) f(x0Δx,y0Δy)- f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0) f(x0,y0) f x ( x 0 , y 0 ) Δ x f_{x}(x_0,y_0)\Delta{x} fx(x0,y0)Δx f y ( x 0 , y 0 ) Δ y f_{y}(x_0,y_0)\Delta{y} fy(x0,y0)Δy o ( ρ ) o(\rho) o(ρ)(1);其中 ρ ( Δ x ) 2 ( Δ y ) 2 \rho\sqrt{(\Delta{x})^2(\Delta{y})^2} ρ(Δx)2(Δy)2 ,但点 ( x 0 Δ x , y 0 Δ y ) (x_0\Delta{x},y_0\Delta{y}) (x0Δx,y0Δy)在以 P 0 P_0 P0为始点的射线 l l l上时,自变量 x , y x,y x,y的增量之间存在确定关系,应有 Δ x t cos α \Delta{x}t\cos\alpha Δxtcosα, Δ y t cos β \Delta{y}t\cos\beta Δytcosβ, ρ ( Δ x ) 2 ( Δ y ) 2 t \rho\sqrt{(\Delta{x})^2(\Delta{y})^2}t ρ(Δx)2(Δy)2 t 式(1)改写为 Δ z \Delta{z} Δz f x ( x 0 , y 0 ) t cos α f y ( x 0 , y 0 ) t cos α o ( t ) f_{x}(x_0,y_0){t\cos\alpha}f_{y}(x_0,y_0)t\cos\alphao(t) fx(x0,y0)tcosαfy(x0,y0)tcosαo(t) 所以 lim t → 0 Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{}}}\frac{\Delta{z}}{t} t→0limtΔz lim t → 0 f x ( x 0 , y 0 ) t cos α f y ( x 0 , y 0 ) t cos α o ( t ) t \lim\limits_{t\to{0^{}}} \frac{f_{x}(x_0,y_0){t\cos\alpha}f_{y}(x_0,y_0)t\cos\alphao(t)}{t} t→0limtfx(x0,y0)tcosαfy(x0,y0)tcosαo(t) f x ( x 0 , y 0 ) cos α f y ( x 0 , y 0 ) cos β f_{x}(x_0,y_0)\cos\alphaf_{y}(x_0,y_0)\cos\beta fx(x0,y0)cosαfy(x0,y0)cosβ(2)’定理和计算公式(0)得证
三元函数 设 P ′ ( x 0 Δ x , y 0 Δ y , z 0 Δ z ) P(x_0\Delta{x},y_0\Delta{y},z_0\Delta{z}) P′(x0Δx,y0Δy,z0Δz)是 l l l上的点,则 l l l的方向余弦可以表示为: cos α Δ x ∣ P P ′ ∣ \cos{\alpha}\frac{\Delta{x}}{|PP|} cosα∣PP′∣Δx cos β Δ y ∣ P P ′ ∣ \cos{\beta}\frac{\Delta{y}}{|PP|} cosβ∣PP′∣Δy cos γ Δ z ∣ P P ′ ∣ \cos{\gamma}\frac{\Delta{z}}{|PP|} cosγ∣PP′∣Δz ∣ P P ′ ∣ ( Δ x ) 2 ( Δ y ) 2 ( Δ z ) 2 |PP|\sqrt{(\Delta{x})^2(\Delta{y})^2(\Delta{z})^2} ∣PP′∣(Δx)2(Δy)2(Δz)2 由假设的 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)可微,由可微的定义: f ( P ′ ) − f ( P ) f x ( P 0 ) Δ x f y ( P 0 ) Δ y f z ( P 0 ) Δ z o ( ( Δ x ) 2 ( Δ y ) 2 ( Δ z ) 2 ) f x ( P 0 ) Δ x f y ( P 0 ) Δ y f z ( P 0 ) Δ z o ( ∣ P P ′ ∣ ) \begin{aligned} f(P)-f(P)f_x(P_0)\Delta{x}f_y(P_0)\Delta{y}f_z(P_0)\Delta{z} \\o(\sqrt{(\Delta{x})^2(\Delta{y})^2(\Delta{z})^2}) \\ f_x(P_0)\Delta{x}f_y(P_0)\Delta{y}f_z(P_0)\Delta{z}o(|PP|) \end{aligned} f(P′)−f(P)fx(P0)Δxfy(P0)Δyfz(P0)Δzo((Δx)2(Δy)2(Δz)2 )fx(P0)Δxfy(P0)Δyfz(P0)Δzo(∣PP′∣) 对两边同时除以 ∣ P P ′ ∣ |PP| ∣PP′∣ f ( P ′ ) − f ( P ) ∣ P P ′ ∣ f x ( P 0 ) Δ x f y ( P 0 ) Δ y f z ( P 0 ) Δ z o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ f x ( P 0 ) cos α f y ( P 0 ) cos β f z ( P 0 ) cos γ o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ \frac{f(P)-f(P)}{|PP|} \frac{f_x(P_0)\Delta{x}f_y(P_0)\Delta{y}f_z(P_0)\Delta{z}o(|PP|)}{|PP|} \\f_x(P_0)\cos{\alpha}f_y(P_0)\cos{\beta}f_z(P_0)\cos{\gamma}\frac{o(|PP|)}{|PP|} ∣PP′∣f(P′)−f(P)∣PP′∣fx(P0)Δxfy(P0)Δyfz(P0)Δzo(∣PP′∣)fx(P0)cosαfy(P0)cosβfz(P0)cosγ∣PP′∣o(∣PP′∣) 对两边取极限: ∂ f ∂ l lim P ′ → P 0 f ( P ′ ) − f ( P ) ∣ P P ′ ∣ lim P ′ → P 0 ( f x ( P 0 ) cos α f y ( P 0 ) cos β f z ( P 0 ) cos γ o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ ) f x ( P 0 ) cos α f y ( P 0 ) cos β f z ( P 0 ) cos γ \begin{aligned} \frac{\partial{f}}{\partial{l}} \lim_{P\to{P_0}}{\frac{f(P)-f(P)}{|PP|}} \\\lim_{P\to{P_0}} \left(f_x(P_0)\cos{\alpha}f_y(P_0)\cos{\beta}f_z(P_0)\cos{\gamma}\frac{o(|PP|)}{|PP|} \right) \\f_x(P_0)\cos{\alpha}f_y(P_0)\cos{\beta}f_z(P_0)\cos{\gamma} \end{aligned} ∂l∂fP′→P0lim∣PP′∣f(P′)−f(P)P′→P0lim(fx(P0)cosαfy(P0)cosβfz(P0)cosγ∣PP′∣o(∣PP′∣))fx(P0)cosαfy(P0)cosβfz(P0)cosγ
