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昨天学了矩阵的合同关系#xff0c;老汤讲义里也列举了三大关系的定义和判别法#xff0c;方便我们进行区分。但是光看还是难以入脑#xff0c;为此#xff0c;我想自己梳理一遍#xff0c;顺带也复习一下线代之前的所学。… 文章目录 引言一、定义二、判别法写在最后 引言
昨天学了矩阵的合同关系老汤讲义里也列举了三大关系的定义和判别法方便我们进行区分。但是光看还是难以入脑为此我想自己梳理一遍顺带也复习一下线代之前的所学。 一、定义
矩阵等价 —— 设 A , B \pmb{A,B} A,B 为同型矩阵若存在可逆矩阵 P , Q \pmb{P,Q} P,Q 使得 P A Q B \pmb{PAQB} PAQB 称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 等价记为 A ≅ B \pmb{A\cong B} A≅B 。
矩阵相似 —— 设 A , B \pmb{A,B} A,B 为 n n n 阶矩阵若存在可逆矩阵 P \pmb{P} P 使得 P − 1 A P B \pmb{P^{-1}APB} P−1APB 称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 相似记为 A ∼ B \pmb{A\sim B} A∼B 。
矩阵合同 —— 设 A , B \pmb{A,B} A,B 为 n n n 阶实对称矩阵若存在可逆矩阵 P \pmb{P} P 使得 P T A P B \pmb{P^TAPB} PTAPB 称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 合同记为 A ≃ B \pmb{A\simeq B} A≃B 。
从定义来看在考研范围内合同的要求最高为 n n n 阶实对称矩阵相似要求为方阵而等价则只要求同型。
三者关系的定义形式也很类似都是存在可逆矩阵使得一个矩阵左乘右乘变为另一个矩阵。容易看出相似和合同关系一定是等价关系因为相似和合同中的矩阵 P , P T , P − 1 \pmb{P,P^T,P^{-1}} P,PT,P−1 都是可逆的。
我们也可以发现如果矩阵 P \pmb{P} P 满足 P T P − 1 \pmb{P^TP^{-1}} PTP−1 相似关系和合同关系似乎就等价了。恰巧这样的矩阵我们也学过叫作正交矩阵。但是实际上是有些问题的我们需要借助对角化的内容来进行论证请看我的。 假设两个实对称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 相似是否能推出一定合同呢答案是肯定的。 证明 由 A ∼ B \pmb{A\sim B} A∼B 有存在可逆矩阵 P \pmb{P} P 使得 P − 1 A P B \pmb{P^{-1}APB} P−1APB 。又因为矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 为实对称矩阵一定可以相似对角化即存在正交矩阵 Q 1 , Q 2 \pmb{Q_1,Q_2} Q1,Q2 使得 Q 1 − 1 A Q Λ Q 2 − 1 B Q 2 \pmb{Q_1^{-1}AQ\LambdaQ^{-1}_2BQ_2} Q1−1AQΛQ2−1BQ2 。由 Q 1 T Q 1 − 1 , Q 2 T Q 2 − 1 \pmb{Q_1^TQ_1^{-1},Q_2^TQ_2^{-1}} Q1TQ1−1,Q2TQ2−1 则 Q 1 T A Q 1 Q 2 T B Q 2 \pmb{Q_1^TAQ_1Q_2^TBQ_2} Q1TAQ1Q2TBQ2 两边同时左乘 ( Q 2 T ) − 1 Q 2 \pmb{(Q_2^T)^{-1}Q_2} (Q2T)−1Q2 右乘 Q 2 − 1 Q 2 T \pmb{Q_2^{-1}Q_2^T} Q2−1Q2T 即 Q 2 Q 1 T A Q 1 Q 2 T B \pmb{Q_2Q_1^TAQ_1Q_2^TB} Q2Q1TAQ1Q2TB 整理可得 ( Q 1 Q 2 T ) T A ( Q 1 Q 2 T ) B \pmb{(Q_1Q_2^T)^TA(Q_1Q_2^T)B} (Q1Q2T)TA(Q1Q2T)B 证毕。
假设两个实对称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 合同是否能推出一定相似呢答案是否定的。 证明 由 A ≃ B \pmb{A\simeq B} A≃B 存在可逆矩阵 P \pmb{P} P非正交矩阵 使得 P T A P B \pmb{P^TAPB} PTAPB 。 矩阵 B \pmb{B} B 为实对称矩阵一定可以相似对角化有 Q T B Q Λ \pmb{Q^{T}BQ\Lambda} QTBQΛ 则有 Q T P T A P Q Λ \pmb{Q^TP^TAPQ\Lambda} QTPTAPQΛ 。将 A \pmb{A} A 单独放到一边有 A P Q Λ Q − 1 P − 1 ( P T ) − 1 ( ( Q T ) − 1 Λ Q − 1 ) P − 1 ( P T ) − 1 B P − 1 \pmb{APQ\Lambda Q^{-1}P^{-1}(P^T)^{-1}((Q^T)^{-1}\Lambda Q^{-1})P^{-1}(P^T)^{-1}BP^{-1}} APQΛQ−1P−1(PT)−1((QT)−1ΛQ−1)P−1(PT)−1BP−1 。当且仅当 ( P T ) − 1 P \pmb{(P^T)^{-1}P} (PT)−1P 时即 P \pmb{P} P 为正交矩阵时有如上结论。
证毕。
第一个命题没有涉及到 P \pmb{P} P 这一可逆而不确定是否正交的矩阵故可顺利进行。而第二个命题无法保证 P \pmb{P} P 正交故无法进行下去。 二、判别法
如何判断两个同型矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 是否等价呢 给出判别法若 r ( A ) r ( B ) r(\pmb{A})r(\pmb{B}) r(A)r(B) 则矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 等价。
如何判断两个 n n n 阶矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 是否相似呢 给出判别法若 A , B \pmb{A,B} A,B 的特征值相同且 A , B \pmb{A,B} A,B 均可以相似对角化则矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 相似。
如何判断两个实对称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 是否合同呢 给出判别法 A , B \pmb{A,B} A,B 的正、负、零特征值个数相同。
从判别法可以看出等价只要求两个矩阵的秩相同而相似除秩相同外还需要保证两个矩阵的行列式、迹、特征值、特征多项式也相同合同则除秩相等外还需保证其正、负、零特征值个数对应相同。 写在最后
在考研范围内我们只能得出
在实对称矩阵范围 相似一定合同合同不一定相似相似一定等价合同一定等价。
在一般 n n n 阶矩阵范围 相似和合同无关相似一定等价合同一定等价。
