设计有什么网站推荐,徐州有哪些网络公司,网站建设与规划心得体会,媒体发稿平台来源#xff1a;【《矩阵分析》期末速成 主讲人#xff1a;苑长#xff08;5小时冲上90#xff09;】https://www.bilibili.com/video/BV1A24y1p76q?vd_sourcec4e1c57e5b6ca4824f87e74170ffa64d 这学期考矩阵论#xff0c;使用教材是《矩阵论简明教程》#xff0c;因为没…来源【《矩阵分析》期末速成 主讲人苑长5小时冲上90】https://www.bilibili.com/video/BV1A24y1p76q?vd_sourcec4e1c57e5b6ca4824f87e74170ffa64d 这学期考矩阵论使用教材是《矩阵论简明教程》因为没时间听太长的课就看了b站上这个视频笔记几乎就是原视频copy和教材相比有一些没提到如奇异值分解、Householder矩阵、Given矩阵、广义逆矩阵等但大部分有可供参考。 目录 第1章 线性空间和线性变换考点一线性空间的基与维数考点二证明线性变换考点三像子空间、核子空间用线性变换定义的子空间考点四线性变换的矩阵求线性变换T在某基底下的矩阵 第2章 内积空间考点一内积空间的定义考点二标准正交基考点三正规矩阵的对角化 第3章 矩阵的标准形考点一哈密顿-凯莱(Hamilton-Cayley)定理考点二最小多项式考点三约当标准形Jordan标准形考点四史密斯标准形Smith标准形考点五用史密斯标准形方法求解约当标准形法二常用 第4章 向量和矩阵的范数考点一证明向量范数考点二证明矩阵范数考点三范数与正规矩阵的证明题 第5章 矩阵的分解考点一矩阵的三角分解考点二矩阵的QR分解考点三矩阵的满秩分解 第6章 矩阵的函数考点一矩阵的导数对一个变量的导数考点二矩阵的幂级数考点三矩阵函数A--f(At) 常见A--e~At~考点四矩阵函数在微分方程组中的应用考点五矩阵函数的性质e^At^--A 第7章 矩阵特征值的估计考点一Gerschgorin盖尔圆定理 第8章 矩阵的直积Kronecker积考点一直积考点二拉直 第1章 线性空间和线性变换
考点一线性空间的基与维数 线性空间若同时满足封闭性和8条规则则称非空集合V为数域P上的线性空间 基底V中线性无关的一组向量其他元组都可以被他们线性表示 d i m V n dimVn dimVn 子空间W对于线性空间V所定义的加法运算和数乘运算也构成P上的线性空间则称W为V的线性子空间简称子空间 生成子空间
设α1α2…αm是V上的m个元素由这m个元素的任意组合构成的集合{k1α1k2a2…kmam}对V中的加法及数乘封闭因而这个子集是V中的子空间记作L(α1α2…αm)
(1)V1∩V2 (2)V1V2 求和子空间的方法 维数定理 d i m V 1 d i m V 2 d i m ( V 1 V 2 ) d i m ( V 1 ∩ V 2 ) dimV~1~dimV~2~ dim(V~1~V~2~) dim(V~1~∩V~2~) dimV 1 dimV 2 dim(V 1 V 2 )dim(V 1 ∩V 2 )
【例1.1】求V1V2的维数及一个基
向量竖写为矩阵化为阶梯形一组极大无关组就是一个基维数为阶梯数
考点二证明线性变换 变换设V是P上的线性空间从V到V的映射称为V中的变换线性变换是常见的变换 线性变换设T是V上的变换如果对于任意的αβ∈Vk∈P都有 T ( a b ) T a T b ; T ( k a ) k T a T(ab)TaTb; T(ka) kTa T(ab)TaTb;T(ka)kTa 则称T为V上的线性变换
【例1.2】定义变换T如下TA CA-AC。证明: T是线性变换
把A替换为ab、ka列出T(ab)TaTbT(ka)kTa
考点三像子空间、核子空间用线性变换定义的子空间 像子空间 T V T α ∣ α 属于 V TV{Tα|α属于V} TVTα∣α属于V 像子空间是由V中所有元素的像Tα构成的Tα是α通过线性变换T得到的α∈V 核子空间 T − 1 ( 0 ) k e r T α ∣ α ∈ V T α 0 T^{-1}(0) kerT {α|α∈VTα0} T−1(0)kerTα∣α∈VTα0 核子空间中的元素α在线性变换T的作用下转换为0 例如投影变换{(x1, x2, x3)}三维空间
T(x1, x2, x3) (x1, x2, 0)
TV {(x1, x2, 0)}二维空间维数为2
T’(0) {(0, 0, x3)}一维空间维数为1
维数定理2设T是n维空间上的线性变换则 d i m T V d i m T − 1 ( 0 ) n dimTV dimT^{-1}(0)n dimTVdimT−1(0)n
考点四线性变换的矩阵求线性变换T在某基底下的矩阵 用矩阵A来表达线性变换T 定义 ( T α 1 T α 2 , . . . , T α n ) ( α 1 α 2 , . . . , α n ) A (Tα_1Tα_2,...,Tα_n) (α_1α_2,...,α_n)A (Tα1Tα2,...,Tαn)(α1α2,...,αn)A 求同一个线性变换在不同基底下的矩阵
p.s. 求逆方法(A|E)–(E|A-1)
【例1.4】
第2章 内积空间
考点一内积空间的定义 定义 元素大小
考点二标准正交基 标准正交基 用施密特Schmidt正交化的方法求标准正交基
【例2.1】
考点三正规矩阵的对角化 定义 此时V叫作复内积空间或者酉空间 酉矩阵的定义设A∈Cn×n且AHAAAHE则称A为酉矩阵 正规矩阵的定义设A∈Cn×n且AHAAAH则称A为正规矩阵 对角形矩阵、实对称矩阵、反实对称矩阵、厄密特矩阵、反厄密特矩阵、正交矩阵、酉矩阵都是正规矩阵 正规矩阵对角化正规矩阵一定可以对角化即存在酉矩阵U使得UHAU Λ Λ的对角线元素为A的特征值
第3章 矩阵的标准形
考点一哈密顿-凯莱(Hamilton-Cayley)定理 哈密顿凯莱定理每个n阶矩阵都是它的特征多项式的根。 设A为n阶矩阵 f ( λ ) ∣ λ E − A ∣ λ n a n − 1 λ n − 1 . . . a 1 λ a 0 f(λ)|λE-A|λ^n a_{n-1} λ^{n-1}...a_1λa_0 f(λ)∣λE−A∣λnan−1λn−1...a1λa0
则 f ( A ) A n a n − 1 A n − 1 . . . a 1 A a 0 E 0 f(A)A^na_{n-1}A^{n-1}...a_1Aa_0E0 f(A)Anan−1An−1...a1Aa0E0 简化运算求φ(A) φ ( λ ) f ( λ ) ⋅ q ( λ ) r ( λ ) φ(λ)f(λ)·q(λ)r(λ) φ(λ)f(λ)⋅q(λ)r(λ) φ ( A ) f ( A ) ⋅ q ( A ) r ( A ) 0 r ( A ) r ( A ) φ(A)f(A)·q(A)r(A)0r(A)r(A) φ(A)f(A)⋅q(A)r(A)0r(A)r(A)
【例3.1】
考点二最小多项式 特征多项式 f ( λ ) ∣ λ E − A ∣ f(λ)|λE-A| f(λ)∣λE−A∣称为矩阵A的特征多项式 零化多项式若A是一个方针φ(λ)是一个多项式 φ ( λ ) a m λ m a m − 1 λ m − 1 . . . a 1 λ a 0 φ(λ)a_mλ^ma_{m-1}λ^{m-1}...a_1λa_0 φ(λ)amλmam−1λm−1...a1λa0则称φ(λ)是A的零化多项式 特征多项式就是矩阵A的零化多项式特征多项式×任一多项式还是零化多项式零化多项式有无穷多个 最小多项式设A∈Cn×n在A的零化多项式中次数最低的首项系数为1的多项式称为矩阵A的最小多项式记作m(λ) 最小多项式的跟特征多项式对同一矩阵而言 设矩阵A属于Cn×n的所有特征值λ1,…,λsA的特征多项式为f(λ)|λE-A| 则A的最小多项式一定具有如下形式 m ( λ ) ( λ − λ 1 ) n 1 ( λ − λ 2 ) n 2 . . . ( λ − λ s ) n s m(λ)(λ-λ_1)^{n_1}(λ-λ_2)^{n_2}...(λ-λ_s)^{n_s} m(λ)(λ−λ1)n1(λ−λ2)n2...(λ−λs)ns
【例3.2】
考点三约当标准形Jordan标准形 λ矩阵设矩阵A的元素都是λ的多项式形如 行列式因子A(λ)中所有非零的k阶子式的首项系数为1的最大公因式D(λ)称为A的一个k级行列式因子 不变因子d1D1d2D2/D1d3D3/D2…dnDn/Dn-1 初级因子把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积所有这些一次因式的方幂相同的必须按出现次数计算称为A的初级因子 约当标准形定义称ri阶矩阵 求约当标准形的方法 法一用行列式因子法
【例3.3】 二阶有9个略
考点四史密斯标准形Smith标准形 矩阵A的初等变换 互换矩阵A的任意两行/列 以非零的数k乘A的某一行/列 以多项式φ(λ)乘以A的某一行/列加到另一行/列上 以上三种变换不会改变行列式因子 史密斯标准形 任一个非零多项式矩阵A都可以经过初等变换化为史密斯标准形 化为史密斯标准形的具体步骤 先确定左上角第一个元素d1D1一阶行列式因子 将d1所在的行和列的其他元素都消为0通过初等变换得到 再确定新矩阵B1(λ)的左上角第一个元素d2新D1‘新D1‘为新矩阵B1(λ的一阶行列式因子 得到 重复这个过程即可得到史密斯标准形
【例3.4】求Smith标准形和不变因子 考点五用史密斯标准形方法求解约当标准形法二常用
史密斯标准形
【例3.5】求约当标准形 第4章 向量和矩阵的范数
考点一证明向量范数
向量范数的定义
则称||x||为Cn上的向量范数简称向量范数
常用的向量范数
【例4.1】
考点二证明矩阵范数
1.矩阵范数的定义 常用的矩阵范数 相容性 谱半径 谱半径与范数
【例4.2】
考点三范数与正规矩阵的证明题 正规矩阵对角化正规矩阵一定可以对角化即存在酉矩阵U使得UHAU Λ, Λ的对角线元素为A的特征值 【例4.3】
第5章 矩阵的分解
考点一矩阵的三角分解 Dolittle分解法ALR 矩阵特点以三阶为例
【例5.1】求矩阵的Dolittle分解
考点二矩阵的QR分解 QR分解定理AQRA: n阶复矩阵Q: 酉矩阵R: 上三角矩阵 QR分解的一般步骤以三阶方矩为例 把矩阵A写成列向量的形式A(α1α2α3) 用施密特正交化方法把α1α2α3正交化
【例5.2】 求矩阵的QR分解
考点三矩阵的满秩分解 满秩分解将矩阵A分解为列满秩×行满秩矩阵形如 满秩分解的一般步骤 作初等行变换
【例5.3】求矩阵的满秩分解
第6章 矩阵的函数
考点一矩阵的导数对一个变量的导数 函数矩阵以实变量t的实函数aij(t)为元素的矩阵 函数矩阵对一个变量的导数
【例6.1】求dA/dt
考点二矩阵的幂级数 矩阵幂级数设 A ( a i j ∈ C n × n ) A(a_{ij}∈C^{n×n}) A(aij∈Cn×n)称形如 收敛性设幂级数Σk0akxk的收敛半径为RA∈Cn×n则 收敛半径R1/ρρlimk-∞|ak1/ak|
【例6.2】判断矩阵幂级数
考点三矩阵函数A–f(At) 常见A–eAt 计算矩阵函数的方法最小多项式法 计算矩阵函数的一般步骤
【例6.3】求矩阵函数eAt
考点四矩阵函数在微分方程组中的应用 一阶线性常系数齐次微分方程组 一阶线性常系数非齐次微分方程组
【例6.4】
考点五矩阵函数的性质eAt–A
deAt/dtAeAteAtA则[deAt/dt]|t0AdeA·0Ae0A 第7章 矩阵特征值的估计
考点一Gerschgorin盖尔圆定理 盖尔圆定义 盖尔圆定理矩阵A∈Cn×n的全体特征值都在它的n个盖尔圆构成的并集之中 A的列盖尔圆A∈Cn×n与AT的特征值相同根据盖尔圆定理A的特征值也在AT的n个盖尔圆构成的并集之中称AT的盖尔圆为A的列盖尔圆
【例7.1】估计矩阵的特征分布
推论若A为实矩阵A∈Rn×n且A的n个盖尔圆是孤立的则A有n个互不相同的实特征值
【例7.2】画出矩阵盖尔圆草图、矩阵能够对角化吗 根据盖尔圆理论对任何矩阵A特征值一定满足|λaii|≤Ri 若λ0则|λaii|≤Ri 若矩阵A严格对角占优即|λaii|Ri则λ≠0|A|≠0 A为实矩阵特征方程|λE-A|0为实代数方程它的复根一定成对出现一定是共轭的即a±ib的形式
【例7.3】
第8章 矩阵的直积Kronecker积
考点一直积
直积的定义设矩阵A(aij)m×nB(bij)p×q
【例8.1】
矩阵直积的性质
【例8.2】求A⊗B的一个特征值和特征向量
【例8.3】
【例8.4】
考点二拉直 拉直的定义 拉直的性质 改错 A B ( 拉直 ) ( A ⊗ E p ) B ( 拉直 ) AB(拉直)(A⊗E~p~)B(拉直) AB(拉直)(A⊗E p )B(拉直)按B展开 定理 A ⊗ E n − ( 改为 ) − A ⊗ E p A⊗E~n-(改为)-A⊗E~p A⊗E n−(改为)−A⊗E p
【例8.5】
∵ ( A ⊗ B ) ( x ⊗ y ) ( A x ) ⊗ ( B y ) ∴ ( A ⊗ E n ) ( E m ⊗ B T ) ( A ⊗ B T ) ∵(A⊗B)(x⊗y)(Ax)⊗(By) ∴(A⊗En)(Em⊗BT)(A⊗BT) ∵(A⊗B)(x⊗y)(Ax)⊗(By)∴(A⊗En)(Em⊗BT)(A⊗BT)
线性矩阵方程组设A∈Cm×mB∈Cn×nF∈Cm×nX∈Cm×n
【例8.6】
