做pc端网站行业现状,邳州徐州网站开发,深圳住房和建设局网站登录,制作静态网站图论基础与路径问题 图的构造邻接矩阵邻接表 所有可达路径邻接矩阵存储邻接表存储 字符串接龙有向图的完全可达性 图的构造
这里仅对图论路径问题中图的构造做整理总结归纳#xff0c;具体详细相关概念请参考代码随想录上的整理总结#xff1a;
图论理论基础深度优先搜索理… 图论基础与路径问题 图的构造邻接矩阵邻接表 所有可达路径邻接矩阵存储邻接表存储 字符串接龙有向图的完全可达性 图的构造
这里仅对图论路径问题中图的构造做整理总结归纳具体详细相关概念请参考代码随想录上的整理总结
图论理论基础深度优先搜索理论基础所有可达路径-dfs实战广度优先搜索理论基础
我们如何用代码来表示一个图呢
一般使用邻接表、邻接矩阵或者用类来表示。
邻接矩阵
邻接矩阵使用二维数组来表示图结构。 邻接矩阵是从节点的角度来表示图有多少节点就申请多大的二维数组。例如 grid[2][5] 6表示 节点 2 连接 节点5 为有向图节点2 指向 节点5边的权值为6。如果想表示无向图即grid[2][5] 6grid[5][2] 6表示节点2 与 节点5 相互连通权值为6 在一个 n 节点数为8 的图中就需要申请 8 * 8 这么大的空间。 这种表达方式邻接矩阵 在 边少节点多的情况下会导致申请过大的二维数组造成空间浪费。 而且在寻找节点连接情况的时候需要遍历整个矩阵即 n * n 的时间复杂度同样造成时间浪费。
邻接矩阵的优点
表达方式简单易于理解检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快适合稠密图在边数接近顶点数平方的图中邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。
缺点
遇到稀疏图会导致申请过大的二维数组造成空间浪费遍历 边 的时候需要遍历整个n * n矩阵造成时间浪费
邻接表 邻接表 使用 数组 链表的方式来表示。 邻接表是从边的数量来表示图有多少边 才会申请对应大小的链表。
邻接表的构造如图 这里表达的图是
节点1 指向 节点3 和 节点5节点2 指向 节点4、节点3、节点5节点3 指向 节点4节点4指向节点1
有多少边 邻接表才会申请多少个对应的链表节点。
从图中可以直观看出 使用 数组 链表 来表达 边的连接情况
邻接表的优点
对于稀疏图的存储只需要存储边空间利用率高遍历节点连接情况相对容易
缺点
检查任意两个节点间是否存在边效率相对低需要 O(V)时间V表示某节点连接其他节点的数量。实现相对复杂不易理解
所有可达路径
卡码网题目链接ACM模式
力扣题目链接 - 797. 所有可能的路径
题目描述 给定一个有 n 个节点的有向无环图节点编号从 1 到 n。请编写一个函数找出并返回所有从节点 1 到节点 n 的路径。每条路径应以节点编号的列表形式表示。
输入描述
第一行包含两个整数 NM表示图中拥有 N 个节点M 条边后续 M 行每行包含两个整数 s 和 t表示图中的 s 节点与 t 节点中有一条路径
输出描述 输出所有的可达路径路径中所有节点的后面跟一个空格每条路径独占一行存在多条路径路径输出的顺序可任意。如果不存在任何一条路径则输出 -1。
注意输出的序列中最后一个节点后面没有空格 例如正确的答案是 1 3 5,而不是 1 3 5 5后面没有空格
输入示例
5 5
1 3
3 5
1 2
2 4
4 5输出示例
1 3 5
1 2 4 5 提示信息 写在前面
在上述谈到图的两张存储方式中这里通过两种方式逐一巩固。此外本题是目是深度优先搜索比较好的入门题若对深搜不清楚的需先提前了解深度搜索理论与过程。
邻接矩阵存储
邻接矩阵 使用 二维数组来表示图结构 邻接矩阵是从节点的角度来表示图有多少节点就申请多大的二维数组。本题有n 个节点因为节点标号是从1开始的为了节点标号和下标对齐我们申请 n 1 * n 1 这么大的二维数组。vectorvectorint graph(n 1, vectorint(n 1, 0));输入每行两个整数 s 和 t表示图中的 s 节点与 t 节点中有一条路径则表示 graph[s][t] 1;输入m条边程序则有while (m--) {cin s t;// 使用邻接矩阵 1 表示 节点s 指向 节点tgraph[s][t] 1;
}深搜三部曲
1. 确认递归函数参数
首先我们dfs函数一定要存一个图用来遍历需要存一个目前我们遍历的节点定义为x还需要存一个n表示终点我们遍历的时候用来判断当 xn 时候 标明找到了终点至于 单一路径 和 路径集合 可以放在全局变量那么代码是这样的vectorvectorint result; // 收集符合条件的路径
vectorint path; // 0节点到终点的路径
// x目前遍历的节点
// graph存当前的图
// n终点
void dfs (const vectorvectorint graph, int x, int n) {2. 确认终止条件
当目前遍历的节点 为 最后一个节点 n 的时候 就找到了一条 从出发点到终止点的路径。
// 当前遍历的节点x 到达节点n
// 找到符合条件的一条路径
if (x n)
{ result.push_back(path);return;
}3. 处理目前搜索节点出发的路径
接下来是走 当前遍历节点x的下一个节点。
首先是要找到 x节点指向了哪些节点呢 遍历方式是这样的
for (int i 1; i n; i) // 遍历节点x链接的所有节点
{ if (graph[x][i] 1) // 找到 x指向的节点就是节点i{ }
}接下来就是将 选中的x所指向的节点加入到 单一路径来
path.push_back(i); // 遍历到的节点加入到路径中来进入下一层递归
dfs(graph, i, n); // 进入下一层递归最后就是回溯的过程撤销本次添加节点的操作
path.pop_back(); // 回溯撤销本节点该过程整体代码
for (int i 1; i n; i) // 遍历节点x链接的所有节点
{ if (graph[x][i] 1) // 找到 x链接的节点{path.push_back(i); // 遍历到的节点加入到路径中来dfs(graph, i, n); // 进入下一层递归path.pop_back(); // 回溯撤销本节点}
}程序实现
#include iostream
#include vector
#include algorithm
#include queueusing namespace std;vectorvectorint result; // 手机符合条件的路径
vectorint path; //0节点到终点的路径
// graph存当前的图
// x目前遍历的节点
// n终点
void dfs(const vectorvectorint graph, int x, int n)
{// 当前遍历的节点x 到达节点n if(x n){result.push_back(path);return;}// 遍历节点x链接的所有节点for(int i 1; i n; i){// 找到 x指向的节点就是节点iif(graph[x][i] 1){// 将选中的x所指向的节点加入到 单一路径来。path.push_back(i);// 进入下一层递归dfs(graph,i,n);// 回溯的过程撤销本次添加节点的操作path.pop_back();}}
}int main()
{// m条边 n个节点 // graph[s][t] 1表示节点s可以指向tint m,n,s,t;cin n m;vectorvectorint graph(n1, vectorint(n1,0));while(m--){cin s t;// 使用邻接矩阵 表示无线图1 表示 s 与 t 是相连的graph[s][t] 1;}// 任何路径都是从节点1开始path.push_back(1);// 开始遍历dfs(graph,1,n);// 打印结果if(result.size() 0)cout -1 endl;for(int i 0; i result.size(); i){for(int j 0; j result[i].size() - 1; j){cout result[i][j] ;}cout result[i][result[i].size() - 1] endl;}return 0;
}邻接表存储 用邻接表存储和邻接矩阵存储的区别只需要修改图的定义存储、dfs函数内的参数以及对链表的遍历核心框架、思路均不变。
程序实现
//邻接表法
vectorvectorint result; // 手机符合条件的路径
vectorint path; //0节点到终点的路径
// graph存当前的图
// x目前遍历的节点
// n终点
void dfs(const vectorlistint graph, int x, int n)
{// 当前遍历的节点x 到达节点n if(x n){result.push_back(path);return;}// 遍历节点x链接的所有节点for(int node: graph[x]){// 将选中的x所指向的节点加入到 单一路径来。path.push_back(node);// 进入下一层递归dfs(graph,node,n);// 回溯的过程撤销本次添加节点的操作path.pop_back();}
}int main()
{// m条边 n个节点 // graph[s][t] 1表示节点s可以指向tint m,n,s,t;cin n m;vectorlistint graph(n1);while(m--){cin s t;// 使用邻接矩阵 表示无线图1 表示 s 与 t 是相连的graph[s].push_back(t);}// 任何路径都是从节点1开始path.push_back(1);// 开始遍历dfs(graph,1,n);// 打印结果if(result.size() 0)cout -1 endl;for(int i 0; i result.size();i){for(int j 0; j result[i].size() - 1; j){cout result[i][j] ;}cout result[i][result[i].size() - 1] endl;}return 0;
}字符串接龙
卡码网题目链接ACM模式
题目描述
字典 strList 中从字符串 beginStr 和 endStr 的转换序列是一个按下述规格形成的序列
序列中第一个字符串是 beginStr。序列中最后一个字符串是 endStr。每次转换只能改变一个字符。转换过程中的中间字符串必须是字典 strList 中的字符串。 给你两个字符串 beginStr 和 endStr 和一个字典 strList找到从 beginStr 到 endStr 的最短转换序列中的字符串数目。如果不存在这样的转换序列返回 0。
输入描述 第一行包含一个整数 N表示字典 strList 中的字符串数量。 第二行包含两个字符串用空格隔开分别代表 beginStr 和 endStr。 后续 N 行每行一个字符串代表 strList 中的字符串。
输出描述 输出一个整数代表从 beginStr 转换到 endStr 需要的最短转换序列中的字符串数量。如果不存在这样的转换序列则输出 0。
输入示例
6
abc def
efc
dbc
ebc
dec
dfc
yhn输出示例
4提示信息 从 startStr 到 endStr在 strList 中最短的路径为 abc - dbc - dec - def所以输出结果为 4 本题只需要求出最短路径的长度就可以了不用找出具体路径。
所以这道题要解决两个问题
图中的线是如何连在一起的起点和终点的最短路径长度
首先题目中并没有给出点与点之间的连线而是要我们自己去连条件是字符只能差一个。
所以判断点与点之间的关系需要判断是不是差一个字符如果差一个字符那就是有链接。
然后就是求起点和终点的最短路径长度这里无向图求最短路广搜最为合适广搜只要搜到了终点那么一定是最短的路径。 因为广搜就是以起点中心向四周扩散的搜索。
本题如果用深搜会比较麻烦要在到达终点的不同路径中选则一条最短路。 而广搜只要达到终点一定是最短路。
另外需要有一个注意点
本题是一个无向图需要用标记位标记着节点是否走过否则就会死循环使用set来检查字符串是否出现在字符串集合里更快一些
程序实现
#include iostream
#include string
#include queue
#include unordered_set
#include unordered_mapusing namespace std;int main()
{int n;string beginStr;string endStr;string str;unordered_setstring strSet; // 字典 存放每一个字符串cin n;cin beginStr endStr;for(int i 0; i n;i){cin str;strSet.insert(str);}// 记录strSet里的字符串是否被访问过同时记录路径长度unordered_mapstring, int visitMap; // 记录的字符串路径长度// 初始化队列queuestring que;que.push(beginStr);// 加入队列即标记访问visitMap.insert(pairstring,int(beginStr, 1));while(!que.empty()){// 获取队头字符串拿出来string word que.front();que.pop();// 这个字符串在路径中的长度为 visitMap[word]int path visitMap[word];// 开始在这个str中挨个字符去替换for(int i 0; i word.size(); i){// 用一个新字符串替换str因为每次要置换一个字符string newWord word;// 遍历26的字母for(int j 0; j 26; j){newWord[i] j a;// 发现替换字母后字符串与终点字符串相同if(newWord endStr){cout path 1 endl; // 找到了路径 return 0;}// 字符串集合里出现了newWord并且newWord没有被访问过if (strSet.find(newWord) ! strSet.end() visitMap.find(newWord) visitMap.end()){// 添加访问信息并将新字符串放到队列中visitMap.insert(pairstring, int(newWord, path 1));que.push(newWord);}}}}// 没找到输出0return 0;
}有向图的完全可达性
卡码网题目链接ACM模式
题目描述 给定一个有向图包含 N 个节点节点编号分别为 12…N。现从 1 号节点开始如果可以从 1 号节点的边可以到达任何节点则输出 1否则输出 -1。
输入描述 第一行包含两个正整数表示节点数量 N 和边的数量 K。 后续 K 行每行两个正整数 s 和 t表示从 s 节点有一条边单向连接到 t 节点。
输出描述 如果可以从 1 号节点的边可以到达任何节点则输出 1否则输出 -1。
输入示例
4 4
1 2
2 1
1 3
2 4输出示例
1提示信息 思路
本题给我们是一个有向图 因此路径是存在方向的
递归三部曲
1. 确认递归函数参数
需要传入地图当前的节点数到当前节点是通路同时还需要一个数组用来记录我们都走过了哪些节点这样好知道最后有没有把所有房间都遍历的。 所以 递归函数参数如下
// key 当前的节点数到当前节点是通路
// visited 记录访问过的房间
void dfs(const vectorlistint graph, int key, vectorbool visited) {2. 确认终止条件
遍历的时候什么时候终止呢这里有一个很重要的逻辑就是在递归中是处理当前访问的节点还是处理下一个要访问的节点
如果我们是处理当前访问的节点当前访问的节点如果是 true 说明是访问过的节点那就终止本层递归如果不是true我们就把它赋值为true因为这是我们处理本层递归的节点。
代码就是这样的
// 写法一处理当前访问的节点
void dfs(const vectorlistint graph, int key, vectorbool visited) {if (visited[key]) {return;}visited[key] true;listint keys graph[key]; // 获取当前节点连接的节点链表for (int key : keys) {// 深度优先搜索遍历dfs(graph, key, visited);}
}如果我们是处理下一层访问的节点而不是当前层。那么就要在 深搜三部曲中第三步处理目前搜索节点出发的路径的时候对 节点进行处理。
这样的话就不需要终止条件而是在 搜索下一个节点的时候直接判断 下一个节点是否是我们要搜的节点。
代码就是这样的
// 写法二处理下一个要访问的节点
void dfs(const vectorlistint graph, int key, vectorbool visited) {listint keys graph[key]; // 获取当前节点连接的节点链表for (int key : keys){// 确认下一个是没访问过的节点if(visited[key] false) {visited[key] true;dfs(graph, key, visited);}}
}可以看出如何看待 我们要访问的节点直接决定了两种不一样的写法
上述程序中好像没有发现回溯的逻辑。本题是需要判断 1节点 是否能到所有节点那么我们就没有必要回溯去撤销操作了只要遍历过的节点一律都标记上。
那什么时候需要回溯操作呢 当我们需要搜索一条可行路径的时候就需要回溯操作了因为没有回溯就没法“调头”
程序实现
#include iostream
#include vector
#include listusing namespace std;// key 当前得到的可以
// visited 记录访问过的房间
void dfs(vectorlistint graph, int key, vectorbool visited)
{listint keys graph[key]; // 获取当前节点下挂的节点链表for(int key: keys){if(visited[key] false) // 遍历每一个节点 并做dfs标记{visited[key] true;dfs(graph,key,visited);}}
}int main()
{int n, m, s, t;cin n m;vectorlistint graph(n1);while(m--){cin s t;graph[s].push_back(t);}vectorbool visited(n 1, false);visited[1] true; // 节点1 预先处理dfs(graph, 1, visited); // dfs计算能到达的最远节点能到达并做标记for(int i 1; i n; i){if(visited[i] false){cout -1 endl; return 0;}}cout 1 endl; return 0;
}
