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信息量#xff08;Information Content#xff09;是信息论中的一个核心概念#xff0c;用于定量描述一个事件发生时所提供的“信息”的多少。它通常用随机变量 #x1d465;的概率分布来定义。事件 #x1d465;发生所携带的信息量由公式给出#xff1…【1】通信的定义
信息量Information Content是信息论中的一个核心概念用于定量描述一个事件发生时所提供的“信息”的多少。它通常用随机变量 的概率分布来定义。事件 发生所携带的信息量由公式给出 I ( x ) − log p ( x ) I(x)-\log p(x) I(x)−logp(x) 其中 p ( x ) p(x) p(x)表示事件 发生的概率。 ∙ 概率越小,事件越不常见,发生时提供的信息量越大。 ∙ 概率为 1 的事件是确定的,不提供任何信息量( I ( x ) 0 )。 ∙ 概率接近 0 的事件非常罕见,信息量趋近无穷大。 \begin{aligned}\bullet\quad\text{概率越小,事件越不常见,发生时提供的信息量越大。}\\\bullet\quad\text{概率为 }1\text{ 的事件是确定的,不提供任何信息量(}I(x)0\text{)。}\\\bullet\quad\text{概率接近 }0\text{ 的事件非常罕见,信息量趋近无穷大。}\end{aligned} ∙概率越小,事件越不常见,发生时提供的信息量越大。∙概率为 1 的事件是确定的,不提供任何信息量(I(x)0)。∙概率接近 0 的事件非常罕见,信息量趋近无穷大。
信息量描述单个事件的信息贡献而熵Entropy是信息量的期望值用于衡量整个概率分布的不确定性
对于离散随机变量的熵的定义为 H [ x ] − ∑ x p ( x ) log 2 p ( x ) \mathrm{H}[x]-\sum_xp(x)\log_2p(x) H[x]−x∑p(x)log2p(x)
对于连续随机变量的熵的定义为 H [ x ] E [ − ln p ( x ) ] − ∫ p ( x ) ln p ( x ) d x \mathrm H[x]\mathbb E[-\ln p(x)]-\int p(x)\ln p(x) dx H[x]E[−lnp(x)]−∫p(x)lnp(x)dx
从通信角度来说熵的值相当于对随机变量 x x x 的每个可能状态进行编码时理论上的最短平均编码长度。
熵越大系统的不确定性越大熵越小系统越接近确定性。
【2】机器学习应用
在机器学习中一般需要构造一个概率分布 q ( x ) q(x) q(x) 来逼近一个未知的目标分布 p ( x ) p(x) p(x)。
对于一个给定的连续分布 p ( x ) p(x) p(x)其随机变量 x x x 取特定值所能提供的信息量为 − l n p ( x ) − ln p(x) −lnp(x)并且该随机变量 x x x 的平均信息量为 − ∫ p ( x ) l n p ( x ) d x − ∫p(x) ln p(x) dx −∫p(x)lnp(x)dx。
当用近似分布 q ( x ) q(x) q(x) 来替代目标分布 p ( x ) p(x) p(x) 时随机变量 x 取特定值的估计信息量变 为 − l n q ( x ) − ln q(x) −lnq(x)而相应的熵变为 − ∫ p ( x ) l n q ( x ) d x −∫p(x) ln q(x) dx −∫p(x)lnq(x)dx。
疑问
问题这里为什么变成 p ( x ) l n q ( x ) p(x)lnq(x) p(x)lnq(x)而不是 q ( x ) l n q ( x ) q(x)lnq(x) q(x)lnq(x)?
在机器学习中当使用一个近似分布 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 来替代目标分布 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 时出现 ( p ( x ) ln q ( x ) p(x) \ln q(x) p(x)lnq(x)) 而不是 ( q ( x ) ln q ( x ) q(x) \ln q(x) q(x)lnq(x) ) 的原因主要源于我们关心的是目标分布 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 的特性而不是 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 本身。这可以从以下几个方面理解 1. 核心目标逼近目标分布 ( p(x) )
我们的目标是构造一个 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 来逼近 ( p ( x ) p(x) p(x) )。因此我们需要使用 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 来评估 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 的好坏。如果直接使用 ( q ( x ) ln q ( x ) q(x) \ln q(x) q(x)lnq(x) )我们只是在描述 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 本身的性质而没有体现它与 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 的关系。 2. 期望的计算权重由 ( p(x) ) 决定
在概率分布中期望的计算权重应该反映目标分布 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 的实际情况。通过积分 − ∫ p ( x ) ln q ( x ) d x - \int p(x) \ln q(x) dx −∫p(x)lnq(x)dx我们是用目标分布 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 的概率来加权评估 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 的表现。 这意味着我们关注的是目标分布下的“真实情况”而不是 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 自己的特性。 3. 解释信息论中的编码思想
信息论中我们希望用 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 来编码目标分布 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 中的数据。如果 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 是真实分布 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 是我们的近似分布
( − ln p ( x ) -\ln p(x) −lnp(x) )真实分布下的理想编码长度。( − ln q ( x ) -\ln q(x) −lnq(x) )用近似分布编码时的实际长度。
用 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 来编码 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 时随机变量 ( x x x ) 的取值是依据 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 来产生的因此应该以 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 为权重来衡量编码的平均长度即 ( − ∫ p ( x ) ln q ( x ) d x -\int p(x) \ln q(x) dx −∫p(x)lnq(x)dx)。 4. 直观理解错误代价的衡量
如果我们直接使用 ( q ( x ) ln q ( x ) q(x) \ln q(x) q(x)lnq(x) )那相当于仅关注 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 自己的内部一致性但我们真正关心的是 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 与 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 的差异。这种差异需要通过目标分布 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 来衡量
( p ( x ) ln q ( x ) p(x) \ln q(x) p(x)lnq(x) )用 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 来描述 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 时的估计误差。它是对真实分布 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 的状态进行编码的平均代价而非对 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 自身的特性描述。 5. 与 KL 散度的关系
KL 散度Kullback-Leibler divergence用于衡量两个分布的差异其定义为 D K L ( p ∣ ∣ q ) ∫ p ( x ) ln p ( x ) q ( x ) d x − ∫ p ( x ) ln q ( x ) d x ∫ p ( x ) ln p ( x ) d x D_{KL}(p || q) \int p(x) \ln \frac{p(x)}{q(x)} dx - \int p(x) \ln q(x) dx \int p(x) \ln p(x) dx DKL(p∣∣q)∫p(x)lnq(x)p(x)dx−∫p(x)lnq(x)dx∫p(x)lnp(x)dx 可以看出 ( − ∫ p ( x ) ln q ( x ) d x -\int p(x) \ln q(x) dx −∫p(x)lnq(x)dx) 是 KL 散度的一部分用来描述 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 对 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 的拟合质量。 总结
变成 ( − ∫ p ( x ) ln q ( x ) d x -\int p(x) \ln q(x) dx −∫p(x)lnq(x)dx) 是因为我们关心的是 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 对目标分布 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 的拟合情况而不是 ( q ( x ) q(x) q(x) ) 自己的特性。通过以 ( p ( x ) p(x) p(x) ) 作为权重来计算期望我们能够更准确地反映目标分布下的编码代价和近似质量。
后记
2024年11月21日21点00分于上海。基于GPT4o大模型生成。
