自建个网站怎么做,wordpress不连续,30条新闻摘抄,网页qq登录手机版网址文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频#xff0c;本篇文章提供了一些基础知识点#xff0c;比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。 文章全部链接#xff1a; 基础知识点 Part1#xff1a;三角函数系的正交性 Part2#xff1a;T2π的周期函数的傅里叶级数展开 P… 文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频本篇文章提供了一些基础知识点比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。 文章全部链接 基础知识点 Part1三角函数系的正交性 Part2T2π的周期函数的傅里叶级数展开 Part3周期为T2L的函数展开 Part4傅里叶级数的复数形式 Part5从傅里叶级数推导傅里叶变换 总结 文章目录 Part2 T 2 π T 2 \pi T2π的周期函数的傅里叶级数展开Part3周期为 2 L 2L 2L的函数展开 Part2 T 2 π T 2 \pi T2π的周期函数的傅里叶级数展开
假设周期 T 2 π T 2 \pi T2π将一个周期函数展开为傅里叶级数如下 f ( x ) ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n x b n s i n n x ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n x b n s i n n x ) \begin{align} f(x) \sum_{n1}^{\infty} (a_n cos nx b_n sin nx) \frac{a_0} {2} \sum_{n 1}^{\infty} \left ( a_n cos nx b_n sin nx \right) \end{align} f(x)n1∑∞(ancosnxbnsinnx)2a0n1∑∞(ancosnxbnsinnx)
计算函数中的相关系数 a 0 a_0 a0、 a n a_n an、 b n b_n bn。 第一步求解 a 0 a_0 a0对 f ( x ) f(x) f(x)在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]之间计算积分 ∫ − π π f ( x ) d x \int_{- \pi}^{\pi} f(x)dx ∫−ππf(x)dx即为 ∫ − π π f ( x ) d x a 0 2 ∫ − π π 1 d x ∫ − π π ∑ n 1 ∞ a n c o s n x d x ∫ − π π ∑ n 1 ∞ b n s i n n x d x \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} f(x)dx \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} 1 dx \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} a_n cos nx dx \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} b_n sin nx dx \end{align} ∫−ππf(x)dx2a0∫−ππ1dx∫−ππn1∑∞ancosnxdx∫−ππn1∑∞bnsinnxdx 计算上式第2项 ∫ − π π ∑ 1 ∞ a n c o s n x d x ∫ − π π a 1 c o s x d x ∫ − π π a 2 c o s 2 x d x . . . ∫ − π π a n c o s n x d x . . . a 1 ∫ − π π c o s x d x a 2 ∫ − π π c o s 2 x d x . . . a n ∫ − π π c o s n x d x . . . \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_1^{\infty} a_n cos nx dx \int_{- \pi}^{\pi} a_1 cos x dx \int_{- \pi}^{\pi} a_2 cos 2x dx ... \int_{- \pi}^{\pi} a_n cos nx dx ... \\ a_1 \int_{- \pi}^{\pi} cos x dx a_2 \int_{- \pi}^{\pi} cos 2x dx ... a_n \int_{- \pi}^{\pi} cos nx dx ... \end{align} ∫−ππ1∑∞ancosnxdx∫−ππa1cosxdx∫−ππa2cos2xdx...∫−ππancosnxdx...a1∫−ππcosxdxa2∫−ππcos2xdx...an∫−ππcosnxdx... 根据三角函数的正交性 ∫ − π π ∑ n 1 ∞ a n c o s n x d x 0 \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} a_n cos nx dx 0 ∫−ππ∑n1∞ancosnxdx0
计算第3项 ∫ − π π ∑ 1 ∞ b n s i n n x d x ∫ − π π b 1 s i n x d x ∫ − π π b 2 s i n 2 x d x . . . ∫ − π π b n s i n n x d x . . . b 1 ∫ − π π s i n x d x b 2 ∫ − π π s i n 2 x d x . . . b n ∫ − π π s i n n x d x . . . \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_1^{\infty} b_n sin nx dx \int_{- \pi}^{\pi} b_1 sin x dx \int_{- \pi}^{\pi} b_2 sin 2x dx ... \int_{- \pi}^{\pi} b_n sin nx dx ... \\ b_1 \int_{- \pi}^{\pi} sin x dx b_2 \int_{- \pi}^{\pi} sin 2x dx ... b_n \int_{- \pi}^{\pi} sin nx dx ... \end{align} ∫−ππ1∑∞bnsinnxdx∫−ππb1sinxdx∫−ππb2sin2xdx...∫−ππbnsinnxdx...b1∫−ππsinxdxb2∫−ππsin2xdx...bn∫−ππsinnxdx... 根据三角函数正交性 ∫ − π π ∑ n 1 ∞ b n s i n n x d x 0 \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} b_n sin nx dx 0 ∫−ππ∑n1∞bnsinnxdx0
那么 ∫ − π π f ( x ) d x a 0 2 ∫ − π π 1 d x a 0 2 x ∣ − π π a 0 2 2 π π a 0 \int_{- \pi}^{\pi} f(x)dx \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} 1 dx \frac{a_0}{2} x|_{- \pi}^{\pi} \frac{a_0}{2} 2 \pi \pi a_0 ∫−ππf(x)dx2a0∫−ππ1dx2a0x∣−ππ2a02ππa0计算求得 a 0 1 π ∫ − π π f ( x ) d x \begin{align} a_0 \frac{1}{\pi}\int_{- \pi}^{\pi} f(x)dx \end{align} a0π1∫−ππf(x)dx 第二步计算 a n a_n an等号两边同时乘以 c o s m x cos mx cosmx然后在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]区间内求积分。如下 ∫ − π π f ( x ) c o s m x d x a 0 2 ∫ − π π c o s m x d x ∫ − π π ∑ n 1 ∞ a n c o s n x c o s m x d x ∫ − π π ∑ n 1 ∞ b n s i n n x c o s m x d x \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) cos mx dx \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} cosmx dx \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} a_n cos nx cos mx dx \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} b_n sin nx cos mx dx \end{align} ∫−ππf(x)cosmxdx2a0∫−ππcosmxdx∫−ππn1∑∞ancosnxcosmxdx∫−ππn1∑∞bnsinnxcosmxdx
计算第一项结果为0 a 0 2 ∫ − π π c o s m x d x a 0 2 ∫ − π π c o s 0 x c o s m x d x 0 \begin{align} \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} cosmx dx \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} cos 0x cosmx dx 0 \end{align} 2a0∫−ππcosmxdx2a0∫−ππcos0xcosmxdx0
计算第二项 ∫ − π π ∑ n 1 ∞ a n c o s n x c o s m x d x ∫ − π π a 1 c o s x c o s m x d x ∫ − π π a 2 c o s 2 x c o s m x d x . . . ∫ − π π a n c o s n x c o s m x d x . . . a 1 ∫ − π π c o s x c o s m x d x a 2 ∫ − π π c o s 2 x c o s m x d x . . . a n ∫ − π π c o s n x c o s m x d x . . . \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} a_n cos nx cos mx dx \int_{- \pi}^{\pi} a_1 cos x cos mx dx \int_{- \pi}^{\pi} a_2 cos 2x cos mx dx ... \int_{- \pi}^{\pi} a_n cos nx cos mx dx ... \\ a_1 \int_{- \pi}^{\pi} cos x cos mx dx a_2 \int_{- \pi}^{\pi} cos 2x cos mx dx ... a_n \int_{- \pi}^{\pi} cos nx cos mx dx ... \end{align} ∫−ππn1∑∞ancosnxcosmxdx∫−ππa1cosxcosmxdx∫−ππa2cos2xcosmxdx...∫−ππancosnxcosmxdx...a1∫−ππcosxcosmxdxa2∫−ππcos2xcosmxdx...an∫−ππcosnxcosmxdx...
当 m ≠ n m \ne n mn时 a n ∫ − π π c o s n x c o s m x d x 0 \begin{align} a_n \int_{- \pi}^{\pi} cos nx cos mx dx 0 \end{align} an∫−ππcosnxcosmxdx0
当 m n mn mn时根据三角函数平方公式可得 ∫ − π π c o s n x c o s n x d x 1 2 [ ∫ − π π 1 d x ∫ − π π c o s 2 n x d x ] π \int_{- \pi}^{\pi} cos nx cos nx dx \frac{1}{2} \left [\int_{- \pi}^{\pi}1dx \int_{- \pi}^{\pi}cos 2nxdx \right] \pi ∫−ππcosnxcosnxdx21[∫−ππ1dx∫−ππcos2nxdx]π该项只会保留当 m n mn mn时的结果即 ∫ − π π ∑ n 1 ∞ a n c o s n x c o s m x d x ∫ − π π a n c o s n x c o s n x d x π a n \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} a_n cos nx cos mx dx \int_{- \pi}^{\pi} a_n cos nx cos nx dx \pi a_n \end{align} ∫−ππn1∑∞ancosnxcosmxdx∫−ππancosnxcosnxdxπan
计算第三项 ∫ − π π ∑ n 1 ∞ b n s i n n x c o s m x d x ∫ − π π a 1 s i n x c o s m x d x ∫ − π π a 2 s i n 2 x c o s m x d x . . . ∫ − π π a n s i n n x c o s m x d x . . . a 1 ∫ − π π s i n x c o s m x d x a 2 ∫ − π π s i n 2 x c o s m x d x . . . a n ∫ − π π s i n n x c o s m x d x . . . \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} b_n sin nx cos mx dx \int_{- \pi}^{\pi} a_1 sin x cos mx dx \int_{- \pi}^{\pi} a_2 sin 2x cos mx dx ... \int_{- \pi}^{\pi} a_n sin nx cos mx dx ... \\ a_1 \int_{- \pi}^{\pi} sin x cos mx dx a_2 \int_{- \pi}^{\pi} sin 2x cos mx dx ... a_n \int_{- \pi}^{\pi} sin nx cos mx dx ... \end{align} ∫−ππn1∑∞bnsinnxcosmxdx∫−ππa1sinxcosmxdx∫−ππa2sin2xcosmxdx...∫−ππansinnxcosmxdx...a1∫−ππsinxcosmxdxa2∫−ππsin2xcosmxdx...an∫−ππsinnxcosmxdx...
由正交性可得第三项为0 ∫ − π π ∑ n 1 ∞ b n s i n n x c o s m x d x 0 \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} b_n sin nx cos mx dx 0 \end{align} ∫−ππn1∑∞bnsinnxcosmxdx0
那么就有 ∫ − π π f ( x ) c o s n x d x ∫ − π π ∑ n 1 ∞ a n c o s n x c o s m x d x π a n ⇒ a n 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s n x d x \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) cos nx dx \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} a_n cos nx cos mx dx \pi a_n \\ \Rightarrow \\ a_n \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) cos nx dx \end{align} ∫−ππf(x)cosnxdx∫−ππn1∑∞ancosnxcosmxdxπan⇒anπ1∫−ππf(x)cosnxdx 第三步计算 b n b_n bn等式两边乘以 s i n m x sin mx sinmx然后在区间 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]之间计算积分如下 ∫ − π π f ( x ) s i n m x d x a 0 2 ∫ − π π s i n m x d x ∫ − π π ∑ n 1 ∞ a n c o s n x s i n m x d x ∫ − π π ∑ n 1 ∞ b n s i n n x s i n m x d x \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) sin mx dx \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} sin mx dx \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} a_n cos nx sin mx dx \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} b_n sin nx sin mx dx \end{align} ∫−ππf(x)sinmxdx2a0∫−ππsinmxdx∫−ππn1∑∞ancosnxsinmxdx∫−ππn1∑∞bnsinnxsinmxdx
计算第一项为0 a 0 2 ∫ − π π s i n m x d x a 0 2 ∫ − π π c o s 0 x s i n m x d x 0 \begin{align} \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} sin mx dx \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} cos 0x sin mx dx 0 \end{align} 2a0∫−ππsinmxdx2a0∫−ππcos0xsinmxdx0
计算第二项为0 ∫ − π π ∑ n 1 ∞ a n c o s n x s i n m x d x ∫ − π π a 1 c o s x s i n m x d x ∫ − π π a 2 c o s 2 x s i n m x d x . . . ∫ − π π a n c o s n x s i n m x d x . . . a 1 ∫ − π π c o s x s i n m x d x a 2 ∫ − π π c o s 2 x s i n m x d x . . . a n ∫ − π π c o s n x s i n m x d x . . . 0 \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} a_n cos nx sin mx dx \int_{- \pi}^{\pi} a_1 cos x sin mx dx \int_{- \pi}^{\pi} a_2 cos 2x sin mx dx ... \int_{- \pi}^{\pi} a_n cos nx sin mx dx ... \\ a_1 \int_{- \pi}^{\pi} cos x sin mx dx a_2 \int_{- \pi}^{\pi} cos 2x sin mx dx ... a_n \int_{- \pi}^{\pi} cos nx sin mx dx ... \\ 0 \end{align} ∫−ππn1∑∞ancosnxsinmxdx∫−ππa1cosxsinmxdx∫−ππa2cos2xsinmxdx...∫−ππancosnxsinmxdx...a1∫−ππcosxsinmxdxa2∫−ππcos2xsinmxdx...an∫−ππcosnxsinmxdx...0
计算第三项 ∫ − π π ∑ n 1 ∞ b n s i n n x s i n m x d x ∫ − π π b 1 s i n x s i n m x d x ∫ − π π b 2 s i n 2 x s i n m x d x . . . ∫ − π π b n s i n n x s i n m x d x . . . b 1 ∫ − π π s i n x s i n m x d x b 2 ∫ − π π s i n 2 x s i n m x d x . . . b n ∫ − π π s i n n x s i n m x d x . . . \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} b_n sin nx sin mx dx \int_{- \pi}^{\pi} b_1 sin x sin mx dx \int_{- \pi}^{\pi} b_2 sin 2x sin mx dx ... \int_{- \pi}^{\pi} b_n sin nx sin mx dx ... \\ b_1 \int_{- \pi}^{\pi} sin x sin mx dx b_2 \int_{- \pi}^{\pi} sin 2x sin mx dx ... b_n \int_{- \pi}^{\pi} sin nx sin mx dx ... \end{align} ∫−ππn1∑∞bnsinnxsinmxdx∫−ππb1sinxsinmxdx∫−ππb2sin2xsinmxdx...∫−ππbnsinnxsinmxdx...b1∫−ππsinxsinmxdxb2∫−ππsin2xsinmxdx...bn∫−ππsinnxsinmxdx...
当 m ≠ n m \ne n mn时 b n ∫ − π π s i n n x s i n m x d x 0 \begin{align} b_n \int_{- \pi}^{\pi} sin nx sin mx dx 0 \end{align} bn∫−ππsinnxsinmxdx0
当 m n mn mn时根据三角函数平方公式可得 ∫ − π π s i n n x s i n n x d x 1 2 [ ∫ − π π 1 d x − ∫ − π π c o s 2 n x d x ] π \int_{- \pi}^{\pi} sin nx sin nx dx \frac{1}{2} \left [\int_{- \pi}^{\pi}1dx - \int_{- \pi}^{\pi}cos 2nxdx \right] \pi ∫−ππsinnxsinnxdx21[∫−ππ1dx−∫−ππcos2nxdx]π该项只会保留当 m n mn mn时的结果即 ∫ − π π ∑ n 1 ∞ b n s i n n x s i n m x d x ∫ − π π b n s i n ( n x ) s i n ( n x ) d x π b n \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} b_n sin nx sin mx dx \int_{- \pi}^{\pi} b_n sin (nx) sin (nx) dx \pi b_n \end{align} ∫−ππn1∑∞bnsinnxsinmxdx∫−ππbnsin(nx)sin(nx)dxπbn
那么就有 ∫ − π π f ( x ) s i n n x d x ∫ − π π ∑ n 1 ∞ b n s i n n x s i n m x d x π b n ⇒ b n 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n n x d x \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) sin nx dx \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n 1}^{\infty} b_n sin nx sin mx dx \pi b_n \\ \Rightarrow \\ b_n \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) sin nx dx \end{align} ∫−ππf(x)sinnxdx∫−ππn1∑∞bnsinnxsinmxdxπbn⇒bnπ1∫−ππf(x)sinnxdx 综上可以得出对于一个周期 T 2 π T2 \pi T2π的周期函数其傅里叶级数为 f ( x ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n x b n s i n n x ) 其中 , a 0 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a n 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s n x d x b n 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n n x d x \begin{align} f(x) \frac{a_0} {2} \sum_{n 1}^{\infty} \left ( a_n cos nx b_n sin nx \right) \\ 其中, \\ a_0 \frac{1}{\pi}\int_{- \pi}^{\pi} f(x)dx \\ a_n \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) cos nx dx \\ b_n \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) sin nx dx \end{align} f(x)2a0n1∑∞(ancosnxbnsinnx)其中,a0π1∫−ππf(x)dxanπ1∫−ππf(x)cosnxdxbnπ1∫−ππf(x)sinnxdx Part3周期为 2 L 2L 2L的函数展开
对于一个 T 2 L T2L T2L的周期函数 f ( t ) f ( t 2 L ) f(t) f(t2L) f(t)f(t2L) 展开傅里叶级数。
换元法令 x π L t x \frac{\pi}{L} t xLπt那么 t L π x t \frac{L}{\pi} x tπLx代入到 f ( t ) f(t) f(t) f ( t ) f ( L π x ) \begin{align} f(t) f(\frac{L}{\pi}x) \end{align} f(t)f(πLx)
令 g ( x ) f ( t ) f ( L π x ) g(x) f(t) f(\frac{L}{\pi}x) g(x)f(t)f(πLx)。
有 x x x与 t t t、 f ( t ) g ( x ) f(t)g(x) f(t)g(x)的换算关系可以得到 ( t − L ⇔ x − π ) ⇒ f ( − L ) g ( − π ) (t-L \Leftrightarrow x-\pi) \Rightarrow f(-L) g(-\pi) (t−L⇔x−π)⇒f(−L)g(−π) ( t L ⇔ x π ) ⇒ f ( L ) g ( π ) (tL \Leftrightarrow x\pi) \Rightarrow f(L) g(\pi) (tL⇔xπ)⇒f(L)g(π) ( t 3 L ⇔ x 3 π ) ⇒ f ( 3 L ) g ( 3 π ) (t3L \Leftrightarrow x 3\pi) \Rightarrow f(3L) g(3 \pi) (t3L⇔x3π)⇒f(3L)g(3π) . . . ... ...
因为 f ( t ) f(t) f(t)是一个周期为 2 L 2L 2L函数有 f ( − L ) f ( L ) f ( 3 L ) . . . f(-L) f(L) f(3L)... f(−L)f(L)f(3L)...那么就有 g ( − π ) g ( π ) g ( 3 π ) . . . g(-\pi) g( \pi) g(3 \pi)... g(−π)g(π)g(3π)...可以看出 g ( x ) g(x) g(x)是一个周期为 2 π 2 \pi 2π的周期函数。
展开 g ( x ) g(x) g(x)傅里叶级数为 g ( x ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n x b n s i n n x ) 其中 , a 0 1 π ∫ − π π g ( x ) d x a n 1 π ∫ − π π g ( x ) c o s n x d x b n 1 π ∫ − π π g ( x ) s i n n x d x \begin{align} g(x) \frac{a_0} {2} \sum_{n 1}^{\infty} \left ( a_n cos nx b_n sin nx \right) \\ 其中, \\ a_0 \frac{1}{\pi}\int_{- \pi}^{\pi} g(x)dx \\ a_n \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} g(x) cos nx dx \\ b_n \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} g(x) sin nx dx \end{align} g(x)2a0n1∑∞(ancosnxbnsinnx)其中,a0π1∫−ππg(x)dxanπ1∫−ππg(x)cosnxdxbnπ1∫−ππg(x)sinnxdx
将 x π L t x \frac{\pi}{L}t xLπt代入有 c o s n x c o s n π L t s i n n x s i n n π L t g ( x ) f ( t ) ∫ − π π d x ∫ − L L d π L t π L ∫ − L L d t 1 π ∫ − π π d x 1 π ∫ − L L d π L t 1 π π L ∫ − L L d t 1 L ∫ − L L d t \begin{align} cos nx cos \frac{n \pi}{L}t \\ sin nx sin \frac{n \pi}{L}t \\ g(x) f(t) \\ \int_{-\pi}^{\pi} dx \int_{-L}^{L} d \frac{\pi}{L}t \frac{\pi}{L} \int_{-L}^{L}dt \\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} dx \frac{1}{\pi} \int_{-L}^{L} d \frac{\pi}{L}t \frac{1}{\pi} \frac{\pi}{L} \int_{-L}^{L}dt \frac{1}{L} \int_{-L}^{L}dt \\ \end{align} cosnxsinnxg(x)∫−ππdxπ1∫−ππdxcosLnπtsinLnπtf(t)∫−LLdLπtLπ∫−LLdtπ1∫−LLdLπtπ1Lπ∫−LLdtL1∫−LLdt
代入展开函数有 f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n π L t b n s i n n π L t ) 其中 , a 0 1 L ∫ − L L f ( t ) d x a n 1 L ∫ − L L f ( t ) c o s n π L t d x b n 1 L ∫ − L L f ( t ) s i n n π L t d x \begin{align} f(t) \frac{a_0} {2} \sum_{n 1}^{\infty} \left ( a_n cos \frac{n \pi}{L}t b_n sin \frac{n \pi}{L}t \right) \\ 其中, \\ a_0 \frac{1}{L}\int_{- L}^{L} f(t)dx \\ a_n \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) cos \frac{n \pi}{L}t dx \\ b_n \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) sin \frac{n \pi}{L}t dx \end{align} f(t)a0anbn2a0n1∑∞(ancosLnπtbnsinLnπt)其中,L1∫−LLf(t)dxL1∫−LLf(t)cosLnπtdxL1∫−LLf(t)sinLnπtdx 在工程中 t t t从 0 0 0开始周期 T 2 L T 2L T2L令 ω π L 2 π T \omega \frac{\pi}{L} \frac{2 \pi}{T} ωLπT2π有 L π ω L \frac{\pi}{\omega} Lωπ
对于周期函数 ∫ − L L d t ∫ 0 2 L d t ∫ 0 T d t \begin{align} \int_{-L}^{L} dt \int_{0}^{2L} dt \int_{0}^{T} dt \end{align} ∫−LLdt∫02Ldt∫0Tdt 代入上面的展开函数就得到对于 T 2 L T2L T2L的周期函数其傅里叶级数展开如下 f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n ω t b n s i n n ω t ) 其中 , a 0 1 L ∫ − L L f ( t ) d x a n 1 L ∫ − L L f ( t ) c o s n ω t d x b n 1 L ∫ − L L f ( t ) s i n n ω t d x \begin{align} f(t) \frac{a_0} {2} \sum_{n 1}^{\infty} \left ( a_n cos n \omega t b_n sin n \omega t \right) \\ 其中, \\ a_0 \frac{1}{L}\int_{- L}^{L} f(t)dx \\ a_n \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) cos n \omega t dx \\ b_n \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) sin n \omega t dx \end{align} f(t)2a0n1∑∞(ancosnωtbnsinnωt)其中,a0L1∫−LLf(t)dxanL1∫−LLf(t)cosnωtdxbnL1∫−LLf(t)sinnωtdx 原视频博主提供了一个示例计算如下图所示的周期函数的傅里叶展开。 解
由上图知道周期 T 2 L 20 T 2L 20 T2L20令 ω π L π 10 \omega \frac{\pi} {L} \frac{\pi}{10} ωLπ10π。根据上面得到的结论上图的傅里叶级数展开函数为 f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n ω t b n s i n n ω t ) 其中 L 10 a 0 1 L ∫ − L L f ( t ) d x a n 1 L ∫ − L L f ( t ) c o s n ω t d x b n 1 L ∫ − L L f ( t ) s i n n ω t d x \begin{align} f(t) \frac{a_0} {2} \sum_{n 1}^{\infty} \left ( a_n cos n \omega t b_n sin n \omega t \right) 其中L10 \\ a_0 \frac{1}{L}\int_{- L}^{L} f(t)dx \\ a_n \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) cos n \omega t dx \\ b_n \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) sin n \omega t dx \end{align} f(t)a0anbn2a0n1∑∞(ancosnωtbnsinnωt)L1∫−LLf(t)dxL1∫−LLf(t)cosnωtdxL1∫−LLf(t)sinnωtdx其中L10 代入图示函数计算 a 0 1 10 [ ∫ 0 10 7 d x ∫ 0 10 3 d x ] 1 10 [ 7 ⋅ ( 10 − 0 ) 3 ⋅ ( 20 − 10 ) ] 10 \begin{align} a_0 \frac{1}{10} \left[ \int_{0}^{10} 7dx \int_{0}^{10} 3dx \right] \\ \frac{1}{10} \left[ 7 \cdot (10-0) 3 \cdot (20-10) \right] \\ 10 \end{align} a0101[∫0107dx∫0103dx]101[7⋅(10−0)3⋅(20−10)]10 a n 1 10 [ ∫ 0 10 7 c o s n ω t d x ∫ 10 20 3 c o s n ω t d x ] 1 10 [ 7 n ω s i n n ω t ∣ 0 10 3 n ω s i n n ω t ∣ 10 20 ] 1 n π [ 7 ( s i n n π − s i n 0 ) 3 ( s i n 2 n π − s i n n π ) ] 0 \begin{align} a_n \frac{1}{10} \left[ \int_{0}^{10} 7 cos n \omega t dx \int_{10}^{20} 3 cos n \omega t dx \right] \\ \frac{1}{10} \left[ \frac{7}{n \omega} sin n \omega t |_{0}^{10} \frac{3}{n\omega} sin n \omega t |_{10}^{20} \right] \\ \frac{1}{n \pi} \left[ 7 ( sin n \pi - sin 0) 3 (sin 2n \pi - sin n \pi) \right] \\ 0 \end{align} an101[∫0107cosnωtdx∫10203cosnωtdx]101[nω7sinnωt∣010nω3sinnωt∣1020]nπ1[7(sinnπ−sin0)3(sin2nπ−sinnπ)]0 b n 1 10 [ ∫ 0 10 7 s i n n ω t d x ∫ 10 20 3 s i n n ω t d x ] 1 10 [ − 7 n ω c o s n ω t ∣ 0 10 − 3 n ω c o s n ω t ∣ 10 20 ] − 1 n π [ 7 ( c o s n π − c o s 0 ) 3 ( c o s 2 n π − c o s n π ) ] 4 n π [ 1 − c o s n π ] \begin{align} b_n \frac{1}{10} \left[ \int_{0}^{10} 7 sin n \omega t dx \int_{10}^{20} 3 sin n \omega t dx \right] \\ \frac{1}{10} \left[ - \frac{7}{n \omega} cos n \omega t |_{0}^{10}- \frac{3}{n\omega} cos n \omega t |_{10}^{20} \right] \\ - \frac{1}{n \pi} \left[ 7 ( cos n \pi - cos 0) 3 (cos 2n \pi - cos n \pi )\right] \\ \frac{4}{n \pi} \left[ 1 - cos n \pi \right] \end{align} bn101[∫0107sinnωtdx∫10203sinnωtdx]101[−nω7cosnωt∣010−nω3cosnωt∣1020]−nπ1[7(cosnπ−cos0)3(cos2nπ−cosnπ)]nπ4[1−cosnπ]
当 n n n是奇数时 c o s n π − 1 cos n \pi -1 cosnπ−1此时 b n 8 n π b_n \frac{8}{n \pi} bnnπ8
当 n n n是偶数时 c o s n π 1 cos n \pi 1 cosnπ1此时 b n 0 b_n 0 bn0
最后图示函数的傅里叶级数展开为 F ( t ) { 5 ∑ n 1 ∞ ( 8 n π s i n n π 10 t ) n 2 k 1 , k ∈ z 5 , n 2 k , k ∈ z \begin{align} F(t) \left\{\begin{matrix} 5 \sum_{n1}^{\infty} (\frac{8}{n \pi} sin \frac{n \pi}{10} t) n2k1,k \in z \\ 5 , n2k,k \in z \end{matrix}\right. \end{align} F(t){5∑n1∞(nπ8sin10nπt)5,n2k1,k∈zn2k,k∈z 从展开函数中可以发现当 n n n越大时 8 n π \frac{8}{n \pi} nπ8越小 n π 10 \frac{n \pi}{10} 10nπ越大即频率越高。现在取 n 1 , 3 , 5 n1, 3, 5 n1,3,5得到每个频率分量分别为 n 1 时为 8 π s i n π 10 t n 3 时为 8 3 π s i n 3 π 10 t n 5 时为 8 5 π s i n 5 π 10 t \begin{align} n 1时为 \frac{8}{ \pi} sin \frac{ \pi}{10} t \\ n 3 时为 \frac{8}{3 \pi} sin \frac{3 \pi}{10} t \\ n 5 时为 \frac{8}{5 \pi} sin \frac{5 \pi}{10} t \\ \end{align} n1时为π8sin10πtn3时为3π8sin103πtn5时为5π8sin105πt 这三个频率以及它们叠加后的图示如下可以发现频率越大其振幅越小叠加后的变化大致与给定示意图一致。
