网站开发api平台,扒完网站代码之后怎么做模板,南宁seo主管,单位网站建设规划序号内容1【数理知识】向量的坐标基表示法#xff0c;Matlab 代码验证2【数理知识】向量与基的内积#xff0c;Matlab 代码验证 文章目录 1. 向量与基的内积2. 二维平面向量举例3. 代码验证Ref 1. 向量与基的内积
假设存在一个二维平面内的向量 a ⃗ \vec{a} a #xff0c…序号内容1【数理知识】向量的坐标基表示法Matlab 代码验证2【数理知识】向量与基的内积Matlab 代码验证 文章目录 1. 向量与基的内积2. 二维平面向量举例3. 代码验证Ref 1. 向量与基的内积
假设存在一个二维平面内的向量 a ⃗ \vec{a} a 其在坐标基 e ⃗ 1 , e ⃗ 2 \vec{e}_1, \vec{e}_2 e 1,e 2 下的坐标值为 [ x y ] \left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}\right] [xy]。
我们这里先看一下向量 a ⃗ \vec{a} a 自身与坐标基 e ⃗ 1 \vec{e}_1 e 1 的内积。关于内积的原理请参考文章【数理知识】向量数乘内积外积matlab代码实现。这里我们直接使用其结论即向量的内积为一个向量在另一个向量方向上的投影长度乘以被投影向量的长度如下图所示 用公式描述为 a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 ∥ a ⃗ ∥ ∥ e ⃗ 1 ∥ cos ( θ ) \vec{a} \cdot \vec{e}_1 \|\vec{a}\| \|\vec{e}_1\| \cos(\theta) a ⋅e 1∥a ∥∥e 1∥cos(θ)
而在我们这里被投影向量为基向量 e ⃗ 1 \vec{e}_1 e 1而基向量 e ⃗ 1 \vec{e}_1 e 1 其模长 ∥ e ⃗ 1 ∥ \|\vec{e}_1\| ∥e 1∥ 又为 1 1 1因此 a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 ∥ a ⃗ ∥ ∥ e ⃗ 1 ∥ cos ( θ ) ∥ a ⃗ ∥ cos ( θ ) \begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{e}_1 \|\vec{a}\| \|\vec{e}_1\| \cos(\theta) \\ \|\vec{a}\| \cos(\theta) \end{aligned} a ⋅e 1∥a ∥∥e 1∥cos(θ)∥a ∥cos(θ)
数值上 ∥ a ⃗ ∥ cos ( θ ) \|\vec{a}\| \cos(\theta) ∥a ∥cos(θ) 等于向量 a ⃗ \vec{a} a 在坐标基 e ⃗ 1 \vec{e}_1 e 1 上的坐标值。如果坐标基 e ⃗ 1 \vec{e}_1 e 1 我们认为其为横坐标那么 a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 \vec{a} \cdot \vec{e}_1 a ⋅e 1 数值上就等于横坐标的值即 a x a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 \begin{aligned} a_x \vec{a} \cdot \vec{e}_1 \end{aligned} axa ⋅e 1
同理我们也可以得到 a ⃗ ⋅ e ⃗ 2 \vec{a} \cdot \vec{e}_2 a ⋅e 2 数值上等于纵坐标的值。 a y a ⃗ ⋅ e ⃗ 2 \begin{aligned} a_y \vec{a} \cdot \vec{e}_2 \end{aligned} aya ⋅e 2
最后公式化描述结论为 a x a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 [ a x a y ] ⋅ [ e 11 e 12 ] a x e 11 a y e 12 a y a ⃗ ⋅ e ⃗ 2 [ a x a y ] ⋅ [ e 21 e 22 ] a x e 21 a y e 22 , ∥ e ⃗ 1 ∥ ∥ e ⃗ 2 ∥ 1 \begin{aligned} a_x \vec{a} \cdot \vec{e}_1 \left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11} \\ e_{12} \\ \end{matrix}\right] a_x e_{11} a_y e_{12} \\ a_y \vec{a} \cdot \vec{e}_2 \left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{21} \\ e_{22} \\ \end{matrix}\right] a_x e_{21} a_y e_{22} \end{aligned},\quad \|\vec{e}_1\| \|\vec{e}_2\| 1 axaya ⋅e 1[axay]⋅[e11e12]axe11aye12a ⋅e 2[axay]⋅[e21e22]axe21aye22,∥e 1∥∥e 2∥1 2. 二维平面向量举例
接下来基于二维平面上的一个向量来举例。
假设存在一个上述的二维平面向量 a ⃗ \vec{a} a 在标准坐标基 e ⃗ 1 [ 1 0 ] , e ⃗ 2 [ 0 1 ] \vec{e}_1\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\right], \vec{e}_2\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right] e 1[10],e 2[01] 下的坐标值为 [ a x a y ] [ 3 4 ] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix}\right] [axay][34]。
现在我们更改坐标基为 e ⃗ 1 ′ [ 1 2 1 2 ] , e ⃗ 2 ′ [ − 1 2 1 2 ] \vec{e}_{1^\prime}\left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right], \vec{e}_{2^\prime}\left[\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right] e 1′[2 12 1],e 2′[−2 12 1]此新基下的坐标值为 [ a x ′ a y ′ ] [ 7 2 1 2 ] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \frac{7}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] [ax′ay′][2 72 1]。
首先验证结论 a x a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 [ a x a y ] ⋅ [ e 11 e 12 ] a x e 11 a y e 12 [ 3 4 ] ⋅ [ 1 0 ] 3 × 1 4 × 0 3 \begin{aligned} a_x \vec{a} \cdot \vec{e}_1 \left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11} \\ e_{12} \\ \end{matrix}\right] a_x e_{11} a_y e_{12} \\ \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\right] 3 \times 1 4 \times 0 3 \end{aligned} axa ⋅e 1[axay]⋅[e11e12]axe11aye12[34]⋅[10]3×14×03 a x ′ a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 ′ [ a x a y ] ⋅ [ e 1 1 ′ e 1 2 ′ ] a x e 1 1 ′ a y e 1 2 ′ [ 3 4 ] ⋅ [ 1 2 1 2 ] 3 × 1 2 4 × 1 2 7 2 \begin{aligned} a_{x^\prime} \vec{a} \cdot \vec{e}_{1^\prime} \left[\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11^\prime} \\ e_{12^\prime} \\ \end{matrix}\right] a_{x} e_{11^\prime} a_{y} e_{12^\prime} \\ \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right] 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{7}{\sqrt{2}} \end{aligned} ax′a ⋅e 1′[axay]⋅[e11′e12′]axe11′aye12′[34]⋅[2 12 1]3×2 14×2 12 7
通过观察下图也能大约看出向量 a ⃗ \vec{a} a 在新基 e ⃗ 1 ′ \vec{e}_{1^\prime} e 1′ 上的投影长度为 7 / 2 7/\sqrt{2} 7/2 。 这与坐标图中的效果也是一致的。
往下继续验证结论 a y a ⃗ ⋅ e ⃗ 2 [ a x a y ] ⋅ [ e 21 e 22 ] a x e 21 a y e 22 [ 3 4 ] ⋅ [ 0 1 ] 3 × 0 4 × 1 4 \begin{aligned} a_y \vec{a} \cdot \vec{e}_2 \left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{21} \\ e_{22} \\ \end{matrix}\right] a_x e_{21} a_y e_{22} \\ \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right] 3 \times 0 4 \times 1 4 \end{aligned} aya ⋅e 2[axay]⋅[e21e22]axe21aye22[34]⋅[01]3×04×14 a y ′ a ⃗ ⋅ e ⃗ 2 ′ [ a x a y ] ⋅ [ e 1 1 ′ e 1 2 ′ ] a x e 1 1 ′ a y e 1 2 ′ [ 3 4 ] ⋅ [ − 1 2 1 2 ] 3 × ( − 1 2 ) 4 × 1 2 1 2 \begin{aligned} a_{y^\prime} \vec{a} \cdot \vec{e}_{2^\prime} \left[\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11^\prime} \\ e_{12^\prime} \\ \end{matrix}\right] a_{x} e_{11^\prime} a_{y} e_{12^\prime} \\ \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right] 3 \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned} ay′a ⋅e 2′[axay]⋅[e11′e12′]axe11′aye12′[34]⋅[−2 12 1]3×(−2 1)4×2 12 1
第二个结论同样意味着向量 a ⃗ \vec{a} a 在新基 e ⃗ 2 ′ \vec{e}_{2^\prime} e 2′ 上的投影长度为 1 / 2 1/\sqrt{2} 1/2 。 3. 代码验证
a_x 3;
a_y 4;
a [a_xa_y];e_1 [ 10];
e_2 [ 01];e_1_prime [ sqrt(2)/2sqrt(2)/2];
e_2_prime [-sqrt(2)/2sqrt(2)/2];dot(a, e_1)
ans 3 dot(a, e_2)
ans 4 dot(a, e_1_prime)
ans 4.9497 dot(a, e_2_prime)
ans 0.7071Ref
