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一、伪逆矩阵
◼ A的伪逆矩阵与SVD
◼ 用Python代码计算A的伪逆矩阵
◼ 笔算A的伪逆矩阵 一、伪逆矩阵
◼ A的伪逆矩阵与SVD
逆矩阵并不总是存在#xff0c;即使是方阵。然而#xff0c;对于非正方形矩阵#xff0c;存在一个伪逆矩阵#xff0c;也叫摩尔-彭罗斯…目录
一、伪逆矩阵
◼ A的伪逆矩阵与SVD
◼ 用Python代码计算A的伪逆矩阵
◼ 笔算A的伪逆矩阵 一、伪逆矩阵
◼ A的伪逆矩阵与SVD
逆矩阵并不总是存在即使是方阵。然而对于非正方形矩阵存在一个伪逆矩阵也叫摩尔-彭罗斯逆矩阵。
例如矩阵A是m×n。使用伪逆矩阵A^我们可以进行以下转换。 我们定义伪逆矩阵A^为 V和U来自奇异值分解。 我们通过转置Σ和所有对角元素的逆得到D^。假设Σ的定义如下 那么D的定义如下 现在我们可以看到A^A的原理 以同样的方式AA^ I。
综上所述如果我们能够对矩阵A进行奇异值分解我们就可以通过VD^UT来计算A^这是一个A的伪逆矩阵。 对于任意一个矩阵AA的伪逆矩阵必然存在且必然满足以下四个条件 这四个条件(性质)蕴含了一个事情AA^必然是一个效果等同单位矩阵I、但又不是单位矩阵I的矩阵。
伪逆矩阵的极限形式定义 伪逆矩阵更加常用的定义基于SVD奇异值分解 这个公式要注意的是中间的的求法。因为是一个对角线矩阵但又不一定是方阵所以计算它的伪逆矩阵的步骤是特殊又简单的 将对角线上的元素取倒数 再将整个矩阵转置一次 ◼ 用Python代码计算A的伪逆矩阵
让我们用Numpy试试伪逆矩阵吧
import numpy as npA np.array([[1, 2],[3, 4],[5, 6]], dtypenp.float64)
AP np.linalg.pinv(A)
print(AP A)
print(AP A)
下面是输出结果 ◼ 笔算A的伪逆矩阵
我们把矩阵 A 定义为 我们首先求出 A^TA 和 AA^T , 进而求出 A^TA 的特征值和特征向量
利用 Aνiσiυi,i1,2 求奇异值
当然我们也可以用 σ i sqrt{ λ i }直接求出奇异值为sqrt{3} 和 1。最终可以得到 A 的奇异值分解为 其中矩阵 U D和 V 是矩阵 A奇异值分解后得到的矩阵。对角矩阵 D的伪逆 D^ 是其非零元素取倒数之后再转置得到的。所以可以得到 A 的伪逆为
