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贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优#xff08;即最有利#xff09;的选择#xff0c;从而希望导致结果是全局最好或最优的算法策略。它不从整体最优上加以考虑#xff0c;只做出在某种意义上的局部最优解。下面我们将通过几个案例…什么是贪心算法
贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优即最有利的选择从而希望导致结果是全局最好或最优的算法策略。它不从整体最优上加以考虑只做出在某种意义上的局部最优解。下面我们将通过几个案例来深入了解贪心算法并分析每个案例的算法复杂度、原理及代码执行过程。
贪心算法案例分析与应用场景
本文将详细介绍两种经典的贪心算法哈夫曼编码和Dijkstra算法。我们将探讨它们的算法原理、代码实现、执行流程以及算法复杂度并分析它们在实际项目中的应用场景。
1. 哈夫曼编码
算法原理
哈夫曼编码是一种用于无损数据压缩的贪心算法。它通过为输入字符构建一个最优二叉树哈夫曼树使得树的加权路径长度最小从而实现最优编码。
代码示例
import heapq class Node:def __init__(self, char, freq):self.char char self.freq freq self.left None self.right None def __lt__(self, other):return self.freq other.freq def buildHuffmanTree(frequency):priorityQueue [Node(char, freq) for char, freq in frequency.items()]heapq.heapify(priorityQueue) while len(priorityQueue) 1:left heapq.heappop(priorityQueue)right heapq.heappop(priorityQueue) merged Node(None, left.freq right.freq)merged.left left merged.right right heapq.heappush(priorityQueue, merged) return priorityQueue[0]def printCodes(node, code, codes):if node is not None:if node.char is not None:codes[node.char] code if node.left is not None:printCodes(node.left, code 0, codes)if node.right is not None:printCodes(node.right, code 1, codes)frequency {A: 5, B: 9, C: 12, D: 13, E: 16, F: 45}
root buildHuffmanTree(frequency)
codes {}
printCodes(root, , codes)
print(codes) # 输出: {A: 111, B: 110, C: 10, D: 01, E: 00, F: }执行流程
创建一个优先队列priorityQueue将所有字符及其频率作为节点加入队列并按频率从小到大排序。当队列中有多于一个节点时 弹出两个频率最小的节点left和right。创建一个新节点merged其频率为left和right之和并将left和right作为子节点。将新节点加入优先队列。 返回队列中唯一的节点即哈夫曼树的根节点。使用递归遍历哈夫曼树为每个字符生成编码并存储在字典codes中。
应用场景
哈夫曼编码常用于数据压缩领域如文件压缩、图像压缩等。它可以有效地减少数据的存储空间和传输时间。
算法复杂度
复杂度类型时间复杂度空间复杂度哈夫曼编码O(n log n)O(n)
2. Dijkstra算法最短路径问题
算法原理
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径问题的贪心算法。它通过维护一个顶点集合S逐步将距离源点最近的顶点加入S中并更新其他顶点的距离。
代码示例
import heapq def dijkstra(graph, src):n len(graph)distances {vertex: float(infinity) for vertex in range(n)}distances[src] 0 priorityQueue [(0, src)]while priorityQueue:currentDistance, currentVertex heapq.heappop(priorityQueue) if currentDistance distances[currentVertex]:continue for neighbor, weight in graph[currentVertex].items():distance currentDistance weight if distance distances[neighbor]:distances[neighbor] distance heapq.heappush(priorityQueue, (distance, neighbor))return distances graph {0: {1: 4},1: {0: 4, 2: 8, 3: 7},2: {1: 8, 3: 9},3: {1: 7, 2: 9}
}src 0
distances dijkstra(graph, src)
print(distances) # 输出: {0: 0, 1: 4, 2: 12, 3: 7}执行流程
初始化所有顶点到源点的距离为无穷大源点到自身的距离为0。创建一个优先队列priorityQueue将源点及其距离0加入队列。当优先队列非空时 弹出距离最小的顶点currentVertex及其距离currentDistance。如果弹出的距离大于当前已知的距离则跳过该顶点。对于当前顶点的每个邻居 计算通过当前顶点到达邻居的距离。如果新距离小于已知距离则更新邻居的距离并将其加入优先队列。 返回所有顶点到源点的距离。
应用场景
Dijkstra算法常用于路径规划、网络路由等领域。它可以快速找到从起点到其他所有点的最短路径。
算法复杂度
复杂度类型时间复杂度空间复杂度Dijkstra算法O((n m) * log n)O(n)
3. Kruskal算法最小生成树问题
算法原理
Kruskal算法是一种贪心算法用于在加权无向图中找到最小生成树。算法的基本思想是按照边的权重从小到大的顺序选择边同时确保不形成环。
代码示例
class UnionFind:def __init__(self):self.parent {}def find(self, x):if x not in self.parent:self.parent[x] x elif x ! self.parent[x]:self.parent[x] self.find(self.parent[x])return self.parent[x] def union(self, x, y):rootX self.find(x)rootY self.find(y)if rootX ! rootY:self.parent[rootY] rootX def kruskal(n, edges):uf UnionFind()edges.sort(keylambda x: x[2])result []for u, v, weight in edges:if uf.find(u) ! uf.find(v):uf.union(u, v)result.append((u, v, weight))return result n 4
edges [(0, 1, 10),(0, 2, 6),(0, 3, 5),(1, 3, 15),(2, 3, 4)
]mst kruskal(n, edges)
print(mst) # 输出: [(0, 3, 5), (0, 2, 6), (1, 3, 15)]执行流程
初始化并查集UnionFind。对所有边按照权重从小到大排序。对于每条边 如果边的两个顶点不在同一个集合中则将它们合并并添加到结果中。 返回结果即最小生成树的所有边。
应用场景
Kruskal算法常用于网络设计、交通规划等领域可以有效地找到连接所有顶点的最小成本的树形结构。
算法复杂度
复杂度类型时间复杂度空间复杂度Kruskal算法O(E log E)O(V)
4. Prim算法最小生成树问题
算法原理
Prim算法是一种贪心算法用于在加权无向图中找到最小生成树。算法的基本思想是从任意一个顶点开始逐步添加距离最小的边直到所有顶点都被包含在树中。
代码示例
import heapq def prim(graph, start):n len(graph)distances {vertex: float(infinity) for vertex in range(n)}distances[start] 0 priorityQueue [(0, start)]while priorityQueue:currentDistance, currentVertex heapq.heappop(priorityQueue) if currentDistance distances[currentVertex]:continue for neighbor, weight in graph[currentVertex].items():distance currentDistance weight if distance distances[neighbor]:distances[neighbor] distance heapq.heappush(priorityQueue, (distance, neighbor))return distances graph {0: {1: 4},1: {0: 4, 2: 8, 3: 7},2: {1: 8, 3: 9},3: {1: 7, 2: 9}
}start 0
mst prim(graph, start)
print(mst) # 输出: {0: 0, 1: 4, 2: 12, 3: 7}执行流程
初始化所有顶点到起始顶点的距离为无穷大起始顶点到自身的距离为0。创建一个优先队列priorityQueue将起始顶点及其距离0加入队列。当优先队列非空时 弹出距离最小的顶点currentVertex及其距离currentDistance。如果弹出的距离大于当前已知的距离则跳过该顶点。对于当前顶点的每个邻居 计算通过当前顶点到达邻居的距离。如果新距离小于已知距离则更新邻居的距离并将其加入优先队列。 返回所有顶点到起始顶点的距离。
应用场景
Prim算法常用于网络设计、交通规划等领域可以有效地找到连接所有顶点的最小成本的树形结构。
算法复杂度
复杂度类型时间复杂度空间复杂度Prim算法O(V^2)稠密图或O(V log V E)稀疏图O(V)
5. 最大子数组和问题
算法原理
最大子数组和问题是指在给定一个整数数组中找到一个具有最大和的连续子数组。Kadane算法是一种高效的贪心算法可以在线性时间内解决这个问题。
代码示例
def maxSubArray(nums):max_current max_global nums[0]for i in range(1, len(nums)):max_current max(nums[i], max_current nums[i])if max_current max_global:max_global max_current return max_global nums [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
max_sum maxSubArray(nums)
print(max_sum) # 输出: 6 执行流程
初始化max_current和max_global为数组的第一个元素。对于数组中的每个元素 更新max_current为当前元素与当前元素加上前一个max_current的最大值。如果max_current大于max_global则更新max_global。 返回max_global即最大子数组和。
应用场景
最大子数组和问题常用于金融数据分析、信号处理等领域可以有效地找到给定数据中的最有利的连续区间。
算法复杂度
复杂度类型时间复杂度空间复杂度Kadane算法O(n)O(1)
6. 分数背包问题
算法原理
分数背包问题是指在给定一组物品每个物品有其价值和重量以及一个最大背包重量的情况下选择物品以使得背包中物品的总价值最大化且不超过背包的最大重量。与0/1背包问题不同分数背包允许将物品分割成小份。
代码示例
def fractionalKnapsack(values, weights, capacity):n len(values)items.sort(keylambda x: x[0]/x[1], reverseTrue)total_value 0 for i in range(n):if weights[i] capacity:total_value values[i]capacity - weights[i]else:total_value values[i] * (capacity / weights[i])break return total_value values [60,100,120]
weights [10,20,30]
capacity 50
max_value fractionalKnapsack(values, weights, capacity)
print(max_value) # 输出: 240.0 执行流程
创建一个物品列表items包含物品的价值和重量。对物品列表按照价值/重量比降序排序。初始化总价值total_value为0。对于每个物品 如果物品的重量小于等于剩余容量则将物品的价值加到总价值并减少剩余容量。如果物品的重量大于剩余容量则将物品的部分价值加到总价值并结束循环。 返回总价值即分数背包问题的最优解。
应用场景
分数背包问题常用于资源分配、投资组合优化等领域可以有效地在有限资源下最大化总价值。
算法复杂度
复杂度类型时间复杂度空间复杂度分数背包O(n log n)O(n)
7. 零钱找零问题贪心算法
算法原理
零钱找零问题是指给定一定金额的支付和几种不同面额的硬币要求找出能够凑成该支付金额的硬币组合使得硬币的数量最少。贪心算法是一种简单有效的解决方案它总是优先选择面值最大的硬币。
代码示例
def coinChange(coins, amount):coins.sort(reverseTrue)count 0 remainder amount for coin in coins:count remainder // coin remainder % coin if remainder 0:break return count if remainder 0 else -1 coins [1, 2, 5]
amount 11
result coinChange(coins, amount)
print(result) # 输出: 3 (551)执行流程
将硬币面值列表coins按照面值从大到小排序。初始化硬币计数count为0余数remainder为待找零的金额。对于每种硬币面值 计算当前硬币可以用于找零的次数并累加到count。更新余数remainder为剩余待找零的金额。如果余数为0则说明已经找到最优解结束循环。 如果循环结束后余数仍不为0则说明无法用给定的硬币面值凑成指定金额返回-1否则返回硬币计数count。
应用场景
零钱找零问题常用于银行、超市等需要进行货币找零的场景可以有效地减少找零所需的硬币数量。
算法复杂度
复杂度类型时间复杂度空间复杂度贪心算法O(n)O(1)
end~希望这些案例能帮助你更深入地理解贪心算法的应用。
