教育网站建设网,永康市住房和城乡建设局网站,有网站想修改里面的内容怎么做,有哪些做软件的网站09 权重衰减 范数和权重衰减利用高维线性回归实现权重衰减初始化模型参数定义 L 2 L_2 L2范数惩罚定义训练代码实现忽略正则化直接训练使用权重衰减 权重衰减的简洁实现 范数和权重衰减
在训练参数化机器学习模型时#xff0c;权重衰减#xff08;decay weight#xff09… 09 权重衰减 范数和权重衰减利用高维线性回归实现权重衰减初始化模型参数定义 L 2 L_2 L2范数惩罚定义训练代码实现忽略正则化直接训练使用权重衰减 权重衰减的简洁实现 范数和权重衰减
在训练参数化机器学习模型时权重衰减decay weight是最广泛应用的正则化技术之一它通常也被称为 L 2 L_2 L2正则化。这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度 因为在所有函数 f f f中函数 f 0 f 0 f0所有输入都得到值 0 0 0 在某种意义上是最简单的。
一种简单的方法是通过线性函数 f ( x ) w ⊤ x f(\mathbf{x}) \mathbf{w}^\top \mathbf{x} f(x)w⊤x 中的权重向量的某个范数来度量其复杂性 例如 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2。 要保证权重向量比较小 最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。 将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失 调整为最小化预测损失和惩罚项之和。
损失由下式给出 L ( w , b ) 1 n ∑ i 1 n 1 2 ( w ⊤ x ( i ) b − y ( i ) ) 2 . L(\mathbf{w}, b) \frac{1}{n}\sum_{i1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} b - y^{(i)}\right)^2. L(w,b)n1i1∑n21(w⊤x(i)b−y(i))2. x ( i ) \mathbf{x}^{(i)} x(i)是样本 i i i的特征 y ( i ) y^{(i)} y(i)是样本 i i i的标签 ( w , b ) (\mathbf{w}, b) (w,b)是权重和偏置参数。
为了惩罚权重向量的大小 必须以某种方式在损失函数中添加 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2 我们通过正则化常数 λ \lambda λ来描述这种权衡 这是一个非负超参数我们使用验证数据拟合 L ( w , b ) λ 2 ∥ w ∥ 2 , L(\mathbf{w}, b) \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2, L(w,b)2λ∥w∥2,
对于 λ 0 \lambda 0 λ0我们恢复了原来的损失函数。 对于 λ 0 \lambda 0 λ0我们限制 ∥ w ∥ \| \mathbf{w} \| ∥w∥的大小。 这里我们仍然除以 2 2 2当我们取一个二次函数的导数时 2 2 2和 1 / 2 1/2 1/2会抵消。
通过平方 L 2 L_2 L2范数我们去掉平方根留下权重向量每个分量的平方和。 这使得惩罚的导数很容易计算导数的和等于和的导数。 L 2 L_2 L2正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式 w ← ( 1 − η λ ) w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w ⊤ x ( i ) b − y ( i ) ) . \begin{aligned} \mathbf{w} \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} b - y^{(i)}\right). \end{aligned} w←(1−ηλ)w−∣B∣ηi∈B∑x(i)(w⊤x(i)b−y(i)).
我们根据估计值与观测值之间的差异来更新 w \mathbf{w} w。 然而我们同时也在试图将 w \mathbf{w} w的大小缩小到零。 这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。 我们仅考虑惩罚项优化算法在训练的每一步衰减权重。 与特征选择相比权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。 较小的 λ \lambda λ值对应较少约束的 w \mathbf{w} w 而较大的 λ \lambda λ值对 w \mathbf{w} w的约束更大。
是否对相应的偏置 b 2 b^2 b2进行惩罚在不同的实践中会有所不同 在神经网络的不同层中也会有所不同。 通常网络输出层的偏置项不会被正则化。
利用高维线性回归实现权重衰减
%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l首先生成数据生成公式如下 y 0.05 ∑ i 1 d 0.01 x i ϵ where ϵ ∼ N ( 0 , 0.0 1 2 ) . y 0.05 \sum_{i 1}^d 0.01 x_i \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2). y0.05i1∑d0.01xiϵ where ϵ∼N(0,0.012).
选择标签是关于输入的线性函数。 标签同时被均值为0标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显我们可以将问题的维数增加到 d 200 d 200 d200 并使用一个只包含20个样本的小训练集。
n_train, n_test, num_inputs, batch_size 20, 100, 200, 5
true_w, true_b torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter d2l.load_array(test_data, batch_size, is_trainFalse)初始化模型参数
定义一个函数来随机初始化模型参数
def init_params():w torch.normal(0, 1, size (num_inputs, 1), requires_grad True)b torch.zeros(1, requires_grad True)return [w, b]定义 L 2 L_2 L2范数惩罚
def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2)) / 2定义训练代码实现
下面的代码将模型拟合训练数据集并在测试数据集上进行评估。
def train(lambd):w, b init_params()net, loss lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_lossnum_epochs, lr 100, 0.003animator d2l.Animator(xlabelepochs, ylabelloss, yscalelog,xlim[5, num_epochs], legend[train, test])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:# 增加了L2范数惩罚项# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量l loss(net(X), y) lambd * l2_penalty(w)l.sum().backward()d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)if (epoch 1) % 5 0:animator.add(epoch 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print(w的L2范数是, torch.norm(w).item())忽略正则化直接训练
用lamdb0禁用权重衰减后运行代码。此时训练误差有所减少但测试误差没有减少这意味着出现了严重的过拟合。
train(lambd 0)w的L2范数是 14.971677780151367使用权重衰减
使用权重衰减来运行代码。此时训练误差增大但测试误差减小。这正是我们期望从正则化中得到的效果。
train(lambd 3)w的L2范数是 0.34405317902565权重衰减的简洁实现
在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。默认情况下PyTorch同时衰减权重和便宜。这里只为权重设置了weight_decay所以偏置参数 b b b不会衰减。
def train_concise(wd):net nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))for param in net.parameters():param.data.normal_()loss nn.MSELoss(reductionnone)num_epochs, lr 100, 0.003# 偏置参数没有衰减trainer torch.optim.SGD([{params:net[0].weight,weight_decay: wd},{params:net[0].bias}], lrlr)animator d2l.Animator(xlabelepochs, ylabelloss, yscalelog,xlim[5, num_epochs], legend[train, test])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:trainer.zero_grad()l loss(net(X), y)l.mean().backward()trainer.step()if (epoch 1) % 5 0:animator.add(epoch 1,(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print(w的L2范数, net[0].weight.norm().item())train_concise(0)w的L2范数 13.416662216186523train_concise(3)w的L2范数 0.39273694157600403
