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介绍
在统计学中#xff0c;几何分布是描述了在一系列独立同分布的伯努利试验中#xff0c;第一次成功所需的试验次数的概率分布。在连续抛掷硬币的试验中#xff0c;每次抛掷结果为正面向上的概率为 p p p#xff0c;反面向上的概率为 1 − p 1-p …概率基础——几何分布
介绍
在统计学中几何分布是描述了在一系列独立同分布的伯努利试验中第一次成功所需的试验次数的概率分布。在连续抛掷硬币的试验中每次抛掷结果为正面向上的概率为 p p p反面向上的概率为 1 − p 1-p 1−p。几何随机变量 X X X表示连续抛掷硬币直到第一次出现正面向上的试验次数。
理论及公式
几何分布的概率质量函数PMF为 P ( X k ) ( 1 − p ) k − 1 × p P(X k) (1 - p)^{k-1} \times p P(Xk)(1−p)k−1×p
其中 k k k是试验次数 p p p 是每次试验成功正面向上的概率。 几何分布的期望和方差可以通过其概率质量函数得到。设几何随机变量为 X X X表示第一次成功所需的试验次数。
期望均值 E ( X ) 1 p E(X) \frac{1}{p} E(X)p1
方差 V a r ( X ) 1 − p p 2 Var(X) \frac{1-p}{p^2} Var(X)p21−p
其中 p p p是每次试验成功正面向上的概率。
这些公式可以帮助我们计算几何分布的期望和方差从而更好地理解该分布的特征和性质。
示例与绘图
接下来我们将使用Python来实现绘制几何分布的概率质量函数图。
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import geomfig, ax plt.subplots(2, 1)
params [0.5, 0.3]x range(1, 11)for i in range(len(params)):geom_rv geom(params[i])ax[i].plot(x, geom_rv.pmf(x), ro, lw5, alpha0.6, labelGeometric PMF)ax[i].vlines(x, 0, geom_rv.pmf(x), colorsr)ax[i].set_xlim(0, 10)ax[i].set_ylim(0, 0.6)ax[i].set_title(p %.2f % params[i])ax[i].set_xticks(x)ax[i].set_yticks([0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6])ax[i].grid(ls--)
plt.show() 运行以上代码将会得到一个几何分布的概率质量函数图。从图中可以看出随着试验次数的增加成功的概率逐渐减小但总体上呈指数下降的趋势。这是因为每次试验成功的概率 p p p乘以 ( 1 − p ) k − 1 (1-p)^{k-1} (1−p)k−1随着 k k k的增加 ( 1 − p ) k − 1 (1-p)^{k-1} (1−p)k−1的值逐渐减小从而导致整体概率下降。
from scipy.stats import geom
import matplotlib.pyplot as pltx range(1, 20)
geom_rv geom(p0.5)
geom_rvs geom_rv.rvs(size100000)
plt.hist(geom_rvs, bins20, densityTrue, alpha0.75, edgecolorblack)
plt.gca().axes.set_xticks(range(1, 20))mean, var, skew, kurt geom_rv.stats(momentsmvsk)
print(Mean:, mean)
print(Variance:, var)
plt.grid(ls--)
plt.show() 总结
本文介绍了几何分布及Python实现利用了函数包的各个方法计算出各个理论统计值利用采样样本数据计算出来的值和理论值基本算都是相等的。
