大连做网站科技有限公司,暴雪加速器,做公众号微网站,网站上传后如何设置首页#x1f341;你好#xff0c;我是 RO-BERRY #x1f4d7; 致力于C、C、数据结构、TCP/IP、数据库等等一系列知识 #x1f384;感谢你的陪伴与支持 #xff0c;故事既有了开头#xff0c;就要画上一个完美的句号#xff0c;让我们一起加油 目录 前言1 AVL树的概念2. AVL… 你好我是 RO-BERRY 致力于C、C、数据结构、TCP/IP、数据库等等一系列知识 感谢你的陪伴与支持 故事既有了开头就要画上一个完美的句号让我们一起加油 目录 前言1 AVL树的概念2. AVL树节点的定义3. AVL树的插入4. AVL树的旋转实现代码 5 AVL树的验证6 AVL树的删除(了解)7 AVL树的性能 前言
前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍在其文档介绍中发现这几个容器有个共同点是其底层都是按照二叉搜索树来实现的但是二叉搜索树有其自身的缺陷假如往树中插入的元素有序或者接近有序二叉搜索树就会退化成单支树时间复杂度会退化成O(N)因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理即采用平衡树来实现。
1 AVL树的概念 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树查找元素相当于在顺序表中搜索元素效率低下。因此两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法当向二叉搜索树中插入新结点后如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)即可降低树的高度从而减少平均搜索长度。 一棵AVL树或者是空树或者是具有以下性质的二叉搜索树
它的左右子树都是AVL树左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)平衡因子 右子树高度 - 左子树高度
平衡因子并不是必须的它只是一种控制方式帮助我们更便捷的控制树
【扩充】 这里为什么高度差为1如果高度相等不是更平衡吗 节点是一个一个插入的有些情况是无法做到相等的最优就是高度差是1比如两个节点的树和四个节点的树等等。 2. AVL树节点的定义
AVL树节点的定义
templateclass T
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNodeT* _pLeft; // 该节点的左孩子AVLTreeNodeT* _pRight; // 该节点的右孩子AVLTreeNodeT* _pParent; // 该节点的双亲T _data;int _bf; // 该节点的平衡因子
};3. AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步
按照二叉搜索树的方式插入新节点调整节点的平衡因子
插入节点会影响新增节点的部分祖先 更新原则
若是插入的是左节点则父节点的平衡因子减1若是插入的是右节点则父节点的平衡因子加1
是否要继续更新取决于新增节点会不会影响父节点的高度从而决定会不会影响爷爷节点
更新后父节点所在的子树高度不变则不会影响爷爷节点 说明父节点的平衡因子是1或者-1父节点在矮的那边插入了节点左右均衡了于是父节点的高度不变则不会影响到爷爷更新结束 更新后父节点所在的子树高度改变则会影响爷爷节点 说明更新前父节点的平衡因子是0父节点变得不均衡但是不违反规则高度改变会影响爷爷节点继续往上更新 更新后父节点的平衡因子为2或-2说明该子树违反了平衡规则需要处理-旋转 代码实现 bool Insert(const pairK, V kv){if (_root nullptr){_root new Node(kv);return true;}Node* parent nullptr;Node* cur _root;while (cur){if (cur-kv.first kv.first){parent cur;cur cur-_right;}else if (cur-kv.first kv.first){parent cur;cur cur-_left;}else{return false;}}cur new Node(kv);if (parent-_kv.first kv.first){parent-_right cur;}else{parent-_left cur;}cur-_parent parent;//新节点插入后AVL树的平衡性可能会遭到破坏此时就需要更新平衡因子并检测是否破坏了AVL树的平衡性/*pCur插入后pParent的平衡因子一定需要调整在插入之前pParent的平衡因子分为三种情况-10, 1, 分以下两种情况1. 如果pCur插入到pParent的左侧只需给pParent的平衡因子-1即可2. 如果pCur插入到pParent的右侧只需给pParent的平衡因子1即可此时pParent的平衡因子可能有三种情况0正负1 正负21. 如果pParent的平衡因子为0说明插入之前pParent的平衡因子为正负1插入后被调整成0此时满足AVL树的性质插入成功2. 如果pParent的平衡因子为正负1说明插入前pParent的平衡因子一定为0插入后被更新成正负1此时以pParent为根的树的高度增加需要继续向上更新3. 如果pParent的平衡因子为正负2则pParent的平衡因子违反平衡树的性质需要对其进行旋转处理*/while (parent){// 更新双亲的平衡因子if (cur parent-left){parent-_bf--;}else{parent-_bf;}// 更新后检测双亲的平衡因子if (parent-_bf 0){break;}else if (parent-_bf 1 || parent-_bf -1){// 插入前双亲的平衡因子是0插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层因此需要继续向上调整cur cur-_parent;parent parent-_parent;}else if (parent-_bf 2 || parent-_bf -2){// 双亲的平衡因子为正负2违反了AVL树的平衡性需要对以pParent为根的树进行旋转处理if (parent-_bf 2 cur-_bf 1){RotateL(parent);}else if (parent-_bf -2 cur-_bf -1){RotateR(parent);}else if (parent-_bf -2 cur-_bf 1){RotateLR(parent);}else{RotateRL(parent);}break;}else{// 插入之前AVL树就有问题assert(false);}}return true;}4. AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点可能造成不平衡此时必须调整树的结构 使之平衡化。根据节点插入位置的不同AVL树的旋转分为四种
新节点插入较高左子树的左侧—左左右单旋 上图在插入前AVL树是平衡的新节点插入到30的左子树(注意此处不是左孩子)中30左子树增加了一层导致以60为根的二叉树不平衡要让60平衡只能将60左子树的高度减少一层右子树增加一层即将左子树往上提这样60转下来因为60比30大只能将其放在30的右子树而如果30有右子树右子树根的值一定大于30小于60只能将其放在60的左子树旋转完成后更新节点的平衡因子即可。
在旋转过程中有以下几种情况需要考虑
30节点的右孩子可能存在也可能不存在60可能是根节点也可能是子树
如果是根节点旋转完成后要更新根节点如果是子树可能是某个节点的左子树也可能是右子树
void _RotateR(PNode pParent)
{// pSubL: pParent的左孩子// pSubLR: pParent左孩子的右孩子PNode pSubL pParent-_pLeft;PNode pSubLR pSubL-_pRight;// 旋转完成之后30的右孩子作为双亲的左孩子pParent-_pLeft pSubLR;// 如果30的左孩子的右孩子存在更新亲双亲if (pSubLR)pSubLR-_pParent pParent;// 60 作为 30的右孩子pSubL-_pRight pParent;// 因为60可能是棵子树因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲PNode pPParent pParent-_pParent;// 更新60的双亲pParent-_pParent pSubL;// 更新30的双亲pSubL-_pParent pPParent;// 如果60是根节点根新指向根节点的指针if (NULL pPParent){_pRoot pSubL;pSubL-_pParent NULL;}else{// 如果60是子树可能是其双亲的左子树也可能是右子树if (pPParent-_pLeft pParent)pPParent-_pLeft pSubL;elsepPParent-_pRight pSubL;}// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子pParent-_bf pSubL-_bf 0;
}新节点插入较高右子树的右侧—右右左单旋 实现及情况考虑可参考右单旋。 新节点插入较高左子树的右侧—左右先左单旋再右单旋 将双旋变成单旋后再旋转即先对30进行左单旋然后再对90进行右单旋旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
// 旋转之前60的平衡因子可能是-1/0/1旋转完成之后根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
void _RotateLR(PNode pParent)
{PNode pSubL pParent-_pLeft;PNode pSubLR pSubL-_pRight;// 旋转之前保存pSubLR的平衡因子旋转完成之后需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int bf pSubLR-_bf;// 先对30进行左单旋_RotateL(pParent-_pLeft);// 再对90进行右单旋_RotateR(pParent);if(1 bf)pSubL-_bf -1;else if(-1 bf)pParent-_bf 1;
}新节点插入较高右子树的左侧—右左先右单旋再左单旋 参考右左双旋。 总结 假如以pParent为根的子树不平衡即pParent的平衡因子为2或者-2分以下情况考虑
pParent的平衡因子为2说明pParent的右子树高设pParent的右子树的根为pSubR
当pSubR的平衡因子为1时执行左单旋当pSubR的平衡因子为-1时执行右左双旋
pParent的平衡因子为-2说明pParent的左子树高设pParent的左子树的根为pSubL
当pSubL的平衡因子为-1是执行右单旋当pSubL的平衡因子为1时执行左右双旋
旋转完成后原pParent为根的子树个高度降低已经平衡不需要再向上更新。
实现代码
#pragma oncetemplateclass K, class V
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNodeK, V* _left;AVLTreeNodeK, V* _right;AVLTreeNodeK, V* _parent;int _bf; // balance factorpairK, V _kv;AVLTreeNode(const pairK, V kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv){}
};templateclass K, class V
class AVLTree
{typedef AVLTreeNodeK, V Node;
public:bool Insert(const pairK, V kv){if (_root nullptr){_root new Node(kv);return true;}Node* parent nullptr;Node* cur _root;while (cur){if (cur-kv.first kv.first){parent cur;cur cur-_right;}else if (cur-kv.first kv.first){parent cur;cur cur-_left;}else{return false;}}cur new Node(kv);if (parent-_kv.first kv.first){parent-_right cur;}else{parent-_left cur;}cur-_parent parent;while (parent){if (cur parent-left){parent-_bf--;}else{parent-_bf;}if (parent-_bf 0){break;}else if (parent-_bf 1 || parent-_bf -1){cur cur-_parent;parent parent-_parent;}else if (parent-_bf 2 || parent-_bf -2){// 旋转处理if (parent-_bf 2 cur-_bf 1){RotateL(parent);}else if (parent-_bf -2 cur-_bf -1){RotateR(parent);}else if (parent-_bf -2 cur-_bf 1){RotateLR(parent);}else{RotateRL(parent);}break;}else{// 插入之前AVL树就有问题assert(false);}}return true;}void RotateL(Node* parent){Node* subR parent-_right;Node* subRL subR-_left;parent-_right subRL;if (subRL)subRL-_parent parent;subR-_left parent;Node* ppnode parent-_parent;parent-_parent subR;if (parent _root){_root subR;subR-_parent nullptr;}else{if (ppnode-_left parent){ppnode-_left subR;}else{ppnode-_right subR;}subR-_parent ppnode;}parent-_bf 0;subR-_bf 0;}void RotateR(Node* parent){Node* subL parent-_left;Node* subLR subL-_right;parent-_left subLR;if (subLR)subLR-_parent parent;subL-_right parent;Node* ppnode parent-_parent;parent-_parent subL;if (parent _root){_root subL;subL-_parent nullptr;}else{if (ppnode-_left parent){ppnode-_left subL;}else{ppnode-_right subL;}subL-_parent ppnode;}subL-_bf 0;parent-_bf 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL parent-_left;Node* subLR subL-_right;int bf subLR-_bf;RotateL(parent-_left);RotateR(parent);if (bf -1){subLR-_bf 0;subL-_bf 0;parent-_bf 1;}else if (bf 1){subLR-_bf 0;subL-_bf -1;parent-_bf 0;}else if (bf 0){subLR-_bf 0;subL-_bf 0;parent-_bf 0;}else{assert(false);}}private:Node* _root nullptr;
};5 AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制因此要验证AVL树可以分两步
验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列就说明为二叉搜索树 验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确
int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{// 空树也是AVL树if (nullptr pRoot) return true;// 计算pRoot节点的平衡因子即pRoot左右子树的高度差int leftHeight _Height(pRoot-_pLeft);int rightHeight _Height(pRoot-_pRight);int diff rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等或者// pRoot平衡因子的绝对值超过1则一定不是AVL树if (diff ! pRoot-_bf || (diff 1 || diff -1))return false;// pRoot的左和右如果都是AVL树则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(pRoot-_pLeft) _IsBalanceTree(pRoot-_pRight);}6 AVL树的删除(了解)
因为AVL树也是二叉搜索树可按照二叉搜索树的方式将节点删除然后再更新平衡因子只不错与删除不同的时删除节点后的平衡因子更新最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现学生们可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C描述》殷人昆版。
AVL树是一种自平衡的二叉搜索树它的删除操作与插入操作类似但需要在删除节点后进行平衡操作以保持树的平衡性。 AVL树的删除操作可以分为以下几种情况
如果待删除的节点是叶子节点直接删除即可。如果待删除的节点只有一个子节点将子节点替代待删除节点的位置。
如果待删除的节点有两个子节点可以选择以下两种方式进行删除
找到待删除节点的前驱或后继节点将其值复制到待删除节点并将前驱或后继节点删除。找到待删除节点的左子树中的最大值或右子树中的最小值将其值复制到待删除节点并将最大值或最小值节点删除。
删除节点后需要从被删除节点的父节点开始向上回溯检查每个祖先节点是否平衡。如果发现某个祖先节点不平衡需要进行相应的旋转操作来恢复平衡。
7 AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1这样可以保证查询时高效的时间复杂度即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作性能非常低下比如插入时要维护其绝对平衡旋转的次数比较多更差的是在删除时有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此如果需要一种查询高效且有序的数据结构而且数据的个数为静态的(即不会改变)可以考虑AVL树但一个结构经常修改就不太适合。
AVL树是一种自平衡二叉搜索树它的性能相对于普通的二叉搜索树更加稳定。AVL树的性能可以从以下几个方面来介绍 查找操作AVL树的查找操作与普通的二叉搜索树相同时间复杂度为O(log n)其中n为树中节点的数量。由于AVL树是平衡的所以查找操作的性能是稳定的。 插入和删除操作AVL树在插入和删除节点时会进行自平衡操作以保持树的平衡性。这些自平衡操作包括旋转和重新计算节点的平衡因子。插入和删除操作的时间复杂度也是O(log n)但由于需要进行自平衡操作所以相对于普通二叉搜索树AVL树的插入和删除操作可能会更耗时。 平衡性AVL树的平衡性保证了树的高度始终保持在一个较小的范围内。具体来说AVL树的任意节点的左右子树高度差不超过1。这种平衡性保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度都能够保持在O(log n)。 空间复杂度AVL树的空间复杂度与节点数量成正比即O(n)。每个节点需要存储键值对以及额外的平衡因子信息。
总的来说AVL树在查找操作上具有较好的性能但在插入和删除操作上可能会稍微慢一些。然而AVL树的平衡性保证了树的高度始终保持在一个较小的范围内从而保证了整体的性能稳定性。
