大庆市建设局宫方网站,wordpress统一网站图片大小,杭州关键词自动排名,wordpress改版权设置9.0 引言
相当广泛的一类信号都能用周期复指数信号#xff08;纯虚复指数信号#xff09;的线性组合来表示#xff0c;而复指数信号又是线性时不变系统的特征函数#xff0c;故而傅里叶分析工具对于分析LTI系统很有用。
连续时间傅里叶变换提供了将信号表示成形如e^st纯虚复指数信号的线性组合来表示而复指数信号又是线性时不变系统的特征函数故而傅里叶分析工具对于分析LTI系统很有用。
连续时间傅里叶变换提供了将信号表示成形如e^st sjω 的复指数信号的线性组合然而由3.2节引人的特征函数性质及其他很多结果对任意s值都是适用的而并不是将它仅限于纯虚数的情况。这样的看法就导致了连续时间傅里叶变换的推广称为拉普拉斯变换这正是本章要讨论的。下一章将建立对应的离散时间傅里叶变换的推广称为z变换。
这些变换不仅仅为那些能用傅里叶变换进行分析的信号与系统提供了另一种分析工具和分析角度而且在一些不能应用傅里叶变换的重要方面它们也能够应用。
简而言之拉普拉斯变换和z变换能用于许多不稳定系统的分析从而在系统的稳定性或不稳定性的研究中起着重要的作用。这一事实再与拉普拉斯变换、z变换与傅里叶变换共有的代数性质组合在一起就形成了一整套重要的系统分析工具尤其是在第11章要讨论的反馈系统分析中更是如此。
9.1 拉普拉斯变换
在第3章中已经知道一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统对e^st复指数输入信号的响应y(t)是 其中 当s为纯虚数即sjω则式(9.2)的积分就对应于h(t)的傅里叶变换。
当s为一般的复变量式(9.2)就称为单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换(Laplace transform)。
一个信号x(t)的拉普拉斯变换定义如下 应该特别注意到这是一个自变量为s的函数而s是在e^st中指数的复变量。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 由式(9.3)定义的变换称为双边拉普拉斯变换以区别于将在9.9节中讨论的单边拉普拉斯变换。式(9.3)的双边变换涉及从- ∞到 ∞的积分而单边变换和式(9.3)有类似的形式但积分限是从0到∞因为我们主要讨论的是双边变换因此一般都略去“双边”二字仅在9.9节为了避免混淆而需要加上“双边”二字。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
复变量s一般可写成s σ jω其中σ和ω分别是它的实部和虚部。为方便起见常将拉普拉斯变换表示为算子 的形式而把x(t)和X(s)之间的变换关系记为
当s jω 时式(9.3)就变成 这就是x(t)的傅里叶变换即
当复变量s不为纯虚数时拉普拉斯变换与傅里叶变换也有一个直接的关系。为了看出这一点将式(9.3)的X(s)中的s表示成s σ jω则有 或者
我们可以把式(9.8)的右边看成x(t)e^-σt的傅里叶变换——
这就是说x(t)的拉普拉斯变换可以看成x(t)乘以个实指数信号以后的傅里叶变换。这个实指数e^-σt在时间上可以是衰减的或者是增长的这取决于σ是正还是负的。
为了说明拉普拉斯变换以及它与傅里叶变换的关系考虑下面的例子。
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【例1】单边实指数信号的傅里叶变换在a0时收敛。
根据之前的结论拉普拉斯变换就是a→aσ
等价于
即
当a0就是阶跃函数的拉普拉斯变换
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从这个例子应该特别注意到正如傅里叶变换不是对所有信号都收敛一样拉普拉斯变换也可能对某些Re{s}值收敛而对另一些Re{s}值则不收敛。
在式(9.13)中该拉普拉斯变换仅对 σRe{s} -a收敛如果a为正值那么X(s)就能在σ 0求值从而得到
如式(9.6)所指出的对于σ0虚轴拉普拉斯变换就等于傅里叶变换这只要将式(9.9)和式(9.15)比较一下就能看出。如果a是负的或为零则拉普拉斯变换仍然存在但傅里叶变换却不存在。
【例2】负单边实指数的拉普拉斯变换 对这个例子为保证收敛则要求Re{sa} 0或者Re{s} -a这就是说
比较一下式(9.14)和式(9.19)可见对例9.1和例9.2中的两个信号它们的拉普拉斯变换代数表示式都是一样的然而这个代数表示式能成立的s域却大不相同。
这就说明在给出一个信号的拉普拉斯变换时代数表示式和该表示式能成立的变量s值的范围都应该给出。
拉普拉斯变换的收敛域ROC一般把使积分式(9.3)收敛的s值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域(region of convergence)特简记为ROC。
也就是说收敛域是由这样一些s σ jω组成的对这些s来说x(t)e^-σt的傅里叶变换收敛。随着我们深入讨论拉普拉斯变换的性质关于收敛域将有更多的话要说。
表示收敛域的一个简便方法如图9.1所示。 变量s是一个复数在图9.1上展示出的复平面一般称为与这个复变量有关的s平面。
沿水平轴是Re{s}轴沿垂直轴是Im{s}轴水平轴和垂直轴有时分别称为 σ 轴和 jω 轴。
图9.1 ( a)的阴影部分就是对应例9.1的收敛域而图9.1(b)的阴影部分指出了例9.2的收敛域。
【例3】实指数信号和的拉普拉斯变换 为了确定它的收敛域我们注意到x(t)是两个实指数信号的和而X(s)是单独每一项的拉普拉斯变换之和。于是使这两项拉普拉斯变换都收敛的那些Re{s}值的集合就是Re{s} -1这样把式(9.22)右边这两项合起来就得到 【例4】实指数与复指数的和
转化为
拉普拉斯变换
即
以上4个例子中的每一个其拉普拉斯变换式都是有理的也即都是复变量s的两个多项式之比具有如下形式 其中N(s)和D(s)分别是分子多项式和分母多项式。
正如在例9.3和例9.4中所见到的只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合X(s)就一定是有理的。并且在9.7节中将会看到当线性时不变系统用线性常系数微分方程表征时也会见到有理变换。除去一个常数因子外在一个有理拉普拉斯变换式中分子与分母多项式都能够用它们的根来表示据此在s平面内标出N(s)和D(s)根的位置并指出收敛域就提供了一种描述拉普拉斯变换的方便而形象的表示。
例如 ① 用“×来表示式(9.23)中分母多项式的每个根的位置 ② 用“○来表示式(9.23)中分子多项式的每个根的位置 在图9.2(a)中就展示了例9.3的拉普拉斯变换的s平面表示。图9.2(b)则是例9.4的拉普拉斯变换式分子和分母多项式的根所对应的图。每一个例子的收敛域都在相应的图上用阴影区给出。
对于有理拉普拉斯变换来说
零点因为在分子多项式的那些根上X(s)0故称其为X(s)的零点( zero)
极点而在分母多项式的那些根上X(s)变成无界的故称分母多项式的根为X(s)的极点(pole)。
在有限s平面内X(s)的零点和极点除了一个常数因子外可以完全表征X(s)的代数表示式。
零-极点图(pole-zero plot)通过s平面内的极点和零点的X(s)的表示就称为X(s )的零-极点图。
然而正如在例9.1和例9.2中所看到的X(s)的代数表示式本身并不能确认该拉普拉斯变换的收敛域。这也就是说除了一个常数因子外一个有理拉普拉斯变换的完全表征是由该变换的零-极点图与它的收敛域一起组成的(一般在s平面内收敛域用阴影区表示如图9.1和图9.2所示)。
另外虽然不一定都需要给出一个有理变换X(s)的代数表示式但是有时为了指明X(s)在无限远点的极点或零点有了代数表示式倒是较为方便的。
也就是说
① 如果分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次那么X(s)将随s趋于无穷大而变为零无穷远处为零点。
② 如果分子多项式的阶次高于分母多项式的阶次那么X(s)将随s趋于无穷大而变成无界无穷远处为极点。
例如在式(9.23)中的拉普拉斯变换的分母的阶为2而分子的阶仅为1所以在这种情况下X(s)在无穷远点有一个零点。同样在式(9.30)中的拉普拉斯变换的分子的阶为2而分母的阶为3在无穷远点也有一个零点。
k阶零点如果分母的阶次超出分子的阶次为k次则X(s)在无穷远点一定有k阶零点
k阶极点如果分子的阶次超出分母的阶次为k次则X(s)在无穷远点一定有k阶极点。
【例5】如下信号的拉普拉斯变换
单位冲激的拉普拉斯变换 收敛域是整个s平面
整体的拉普拉斯变换
或者
其中这个收敛域是对x(t)的三项拉普拉斯变换都收敛的s值的集合。该例的零-极点图及其收敛域如图9.3所示。另外因为X(s)的分子、分母同阶次所以X(s)在无穷远点既无极点也无零点。
回顾式(9.6)当sjω 时拉普拉斯变换就是傅里叶变换。然而如果这个拉普拉斯变换的收敛域不包括 jω轴即Re{s}0不在收敛域那么傅里叶变换就不收敛。
正如从图9.3中所看到的事实上这就是例9.5的情况与在x(t)中(1/3 )e^2t·u(t)这一项没有傅里叶变换是一致的。
同时从这个例子还可看到式(9.35)中的两个零点出现在同一个s值上。一般都用零点或极点标志的重复次数来指出它们的阶数。在例9.5中有一个二阶零点在s 1,并且有两个一阶极点分别在s -1和s 2。在这个例子中收敛域位于最右边极点的右边。
一般来说对于一个有理拉普拉斯变换在极点位置和与一个给定的零-极点图有关的收敛域之间存在一种紧密的关系并且一些具体的限制都与x(t)的时域性质密切有关。下一节将说明这些限制和有关的性质。
9.2 拉普拉斯变换收敛域
从前面的讨论已经看到拉普拉斯变换的全部特性不仅要求X(s)的代数表示式而且还应该伴随着收敛域的说明。
这一点在例9.1和例9.2中体现得最为明显两个很不相同的信号能够有完全相同的X(s)代数表示式因此它们的拉普拉斯变换只有靠收敛域才能区分。
这一节将说明对各种信号在收敛域上的某些具体限制——理解了这些限制往往使我们仅仅从X(s)的代数表示式和x(t)在时域中的某些一般特征就能明确地给出或构成收敛域。 这一性质来自于这样一个事实X(s)的收敛域是由这样一些sσ jω所组成的在那里x(t)e^-σt的傅里叶变换收敛。
也就是说x(t)的拉普拉斯变换的收敛域是由这样一些s值组成的对于这些s值x(t)e^-σt是绝对可积的即 因为这个条件只与σ即s的实部有关所以就得到性质1。 这个性质在到目前为止所研究的例子中都能很容易地看出。因为在一个极点处X( s )为无限大式(9.3)的积分显然在极点处不收敛所以收敛域内不能包括属于极点的s值。 这个结果背后的直观性由图9.4和图9.5可以想到。 也就是说一个有限持续期的信号具有这个性质它在某一有限区间之外都是零如图9.4所示。
在图9.5(a)中画出了图9.4这样的x(t)乘以一个衰减的指数函数而在图9.5(b)中则画出同一类型的信号乘以一个增长的指数函数。因为x(t)为非零的区间是有限长的所以指数加权永远不会无界这样x(t)的可积性不会由于这个指数加权而破坏就是合情合理的了。
性质3的一个更加正规的证明如下假设x(t)是绝对可积的所以有 对于在收敛域内的sσjω就要求x(t)e^-σt是绝对可积的即 式(9.37)表明当Re{s} σ0时的s平面在收敛域内。对于σ 0e^-σt在x(t)为非零的区间内的最大值是e^-σT1因此可以写成 因为式(9.39)的右边是有界的所以左边也就是有界的因此当Re{s} 0时的s平面必须也在收敛域内。依类似的证明方法若σ0那么 x(t)e^-σt也是绝对可积的。因此收敛域包括整个s平面。
【例9.6】设x(t)为
傅里叶变换
在这个例子中因为x(t)是有限长的由性质3其收敛域就是整个s平面。在式(9.42)中形式上好像X(s)有一个极点在s-a而这与根据性质3与收敛域由整个s平面所组成是不一致的。然而事实上式(9.42)的代数表示式在s -a都是分子和分母的零点为了确定s -a处的X(s)值可以应用洛必达法则而得 所以
在x(t)为非零的区间上保证指数型权函数是有界的认识到这一点很重要上面的讨论主要依据这一事实x(t)是有限持续期的。下面两个性质要讨论有关这一结果的一种变形即x(t)具有的有限范围仅仅在正时间或负时间方向上。 右边信号若在某有限时间T1之前x(t)0则称该信号为右边信号。
如图9.6所示。
对于这样一个信号有可能不存在任何s值使其拉普拉斯变换收敛。
一个例子就是x(t)。
然而假如拉普拉斯变换对某一σ值收敛比如σ0那么 或者因为x(t)是右边信号可等效为 如果σ1σ0由于随t→∞e^-σ1t衰减得比e^-σt快如图9.7所示。 那么x(t)e^-σ1t也就一定绝对可积。正规一些可以说由于σ1σ0而有 因为T1是有限值根据式(9.45)在式(9.46)不等式的右边就是有限的所以x(t)e^-σ1t就是绝对可积的。
应该注意到在以上的证明中明显依赖这一事实x(t)是右边信号。因而即使σ1σ0随着t→-∞e^-σ1t发散快于e^-σ0t但是由于tT1时x(t)0x(t)e^-σ1t在负的时间轴方向也不能无界地增长。同时在这种情况下如果有某一点s在收敛域内那么所有位于这个s点右边的点也就是所有具有更大实部的点都在收敛域内。为此这时一般就说收敛域是在右半平面。 左边信号若在某一有限时间T2以后x(t)0则称该信号为左边信号。
如图9.8所示。 这个性质的证明和直观性完全与性质4所做的类似。同时对于一个左边信号如果有某一点s在收敛域内那么所有位于这个s点左边的点也都在收敛域内。因此一般就说收敛域是在左半平面。 双边信号对t 0和t 0都具有无限范围的信号如图9.9(a)所示。 对于这样一个信号其收敛域可以这样求出选取任一时间T0然而将x(t)分成右边信号xR(t)和左边信号xL(t)之和如图9.9(b)和图9.9(c)所示。x(t)的拉普拉斯变换的收敛域就是能使xR(t)和xL(t)两者的拉普拉斯变换都收敛的区域。
根据性质4对于某σR值的收敛域由Re{s} σR的半平面组成而根据性质5对于某σL值的收敛域由Re{s} σL的半平面组成。
的收敛域就是这两个半平面的重叠部分如图9.10所示。 当然这里假设σRσL因而这两半平面有某些重合。如果不是这种情况那么即使xR(t)和xL(t)的拉普拉斯变换存在x(t)的拉普拉斯变换也不存在。
【例9.7】设x(t)为
对于b0和b0均如图9.11所示。因为这是一个双边信号可将它分为右边信号和左边信号之和即
则 虽然式(9.48)中每一单独项的拉普拉斯变换都有一个收敛域但如果b≤0就没有公共的收敛域于是对这样一些b值x( t)就没有拉普拉斯变换。如果b0则α(t)的拉普拉斯变换是 相应的零-极点图如图9.12所示阴影区所指为收敛域。
一个信号要么没有拉普拉斯变换否则就一定属于由性质3到性质6这4类情况中的某一种。
有限持续期、右边信号、左边信号、双边信号。
于是对具有某一拉普拉斯变换的信号而言收敛域一定是整个s平面(有限长信号)、某一左半平面(左边信号)、某一右半平面(右边信号)、一条带状收敛域(双边信号)这4种中的一种。
在所有已经讨论过的例题中收敛域都有一个另外的性质收敛域在每一个方向上都是被极点所界定的或者延伸到无限远。事实上对有理拉普拉斯变换来说下面这个性质总是成立的。 对于这一性质的正规证明有些烦琐但它基本上是由于如下事实的一个结果一个具有有理拉普拉斯变换的信号均由指数信号的线性组合构成并且根据例9.1和例9.2该线性组合中的每一项变换的收敛域一定有这一性质。作为性质7的一个结果再与性质4和性质5结合在一起就有如下性质。 为了说明不同的收敛域如何与相同的零-极点图相联系考虑下面这个例子。
【例9.8】设有一拉普拉斯变换代数表达式
其零-极点图如图9.13(a)所示。正如在图9.13(b)图9.13(d)中所指出的与这个代数表示式有关的有三种可能的收敛域对应着三种不同的信号。
图9.13(b)零-极点图有关的是右边信号。因为收敛域包括jω轴所以该信号的傅里叶变换收敛。
图9.13(c)对应于一个左边信号。
图9.13(d)对应于一个双边信号。
后面这两个信号没有傅里叶变换因为它们的收敛域都不包括jω轴。
9.3 拉普拉斯逆变换
9.1节讨论了把一个信号的拉普拉斯变换看成该信号经指数加权后的傅里叶变换也就是说将s表示成sσjω一个信号x(t)的拉普拉斯变换是
其中s σjω在收敛域中。可以利用式(4.9)的傅里叶逆变换关系对式(9.53)求逆变换为 或者将两边各乘以e^σt可得 这就是说可以这样从拉普拉斯变换中来恢复x(t)在收敛域内将σ固定不变在ω从-∞到∞变化的这一组sσjω值上按式(9.55)求值。若将变量在式(9.55)中从ω改变为s并利用σ是常数这一点可以将该式的意义更为突出并对根据X(s)恢复x(t)有更深刻的认识。因为σ是常数所以ds jdω可得拉普拉斯逆变换的基本关系式为 上式说明x(t)可以用一个复指数信号的加权积分来表示。
式(9.56)的积分路径是在s平面内对应于满足Re{s}σ的全部s点的这条直线该直线平行于jω轴。再者在收敛域内可以选取任何这样一条直线也就是说在收致域内可以选取任何σ值而使X(σjω)收敛。对于一般的X(s)来说这个积分的求值要求利用复平面的围线积分在此不讨论。然而对于有理变换求其拉普拉斯逆变换不必直接计算式(9.56)而可以像在第4章求傅里叶逆变换所做的那样采用部分分式展开法。
这一过程基本上就是把一个有理代数表示式展开成低阶次项的线性组合。
例如假设没有重阶极点并假设分母多项式的阶高于分子多项式的阶真分式那么X(s)就可以展开为如下形式 根据X(s)的收敛域该式中每一项的收敛域都能推演出来然后由例9.1和例9.2每一项的拉普拉斯逆变换都可被确定。在式(9.57)中每一项的逆变换都有两种可能的选择
若收敛域位于极点s -ai的右边那么这一项的逆变换就是是一个右边信号
若收敛域位于极点s -ai的左边那么这一项的逆变换就是是一个左边信号。
将式(9.57)中每一项的逆变换相加就得到X(s)的逆变换。
【例9.9】设有X(s)
部分分式展开
因为X(s)的收敛域是Re{s} -1那么式(9.62)中的每一项的收敛域都应包括Re{s} -1。 拉普拉斯变换
【例9.10】假设X(s)同上收敛域Re{s}-2。
拉普拉斯变换
【例9.11】假设X(s)同上收敛域-2Re{s}-1。
拉普拉斯变换
正如在附录A中所讨论的当X(s)有重阶极点或者分母的阶次不高于分子的阶次假分式时部分分式展开式中除了在例9.9到例9.11中考虑的一次项外还应包括其他项。到9.5节当讨论完拉普拉斯变换的性质以后还将讨论其他一些拉普拉斯变换对连同拉普拉斯变换的性质起就能将例9.9所给出的求逆变换的方法推广到任意有理变换中去。
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真分式
假分式
简单真分式
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9.4 由零-极点图对傅里叶变换进行几何求值
在9.1节已经看到一个信号的傅里叶变换就是拉普拉斯变换在jω轴上的求值。
这一节将讨论由与一个有理拉普拉斯变换有关的零-极点图来求傅里叶变换的一种求值方法。
并且更一般地说求拉普拉斯在任意s点上的值的几何求值法。
为了建立这一方法首先考虑只有单个零点的拉普拉斯变换[即X(s) (s-a)]在某一给定的s如s s1处求值。这个代数表示式s1-a是两个复数的和向量求和一个是s1另一个是-a它们中的每一个都能在复平面内用一个向量来表示如图9.15所示。 然后代表这个复数(s1- a)的向量就是向量s1和-a之和在图9.15中可以看出这个向量就是从s a这个零点到点s1的向量s1-a。这样X(s1)的模就是这个向量的长度而相位就是这个向量对于实轴的角度。如果X(s)在sa是一个极点即X(s)1/(s-a)那么X(s)的分母就是上面讨论的同一向量这时X(s)的模是该向量(从极点s a到ss1点)长度的倒数而相位则是该向量相对于实轴角度的负值。
一个更一般的有理拉普拉斯变换是由上述讨论的零点和极点项的乘积所组成的也就是说一个有理拉普拉斯变换可以因式分解成
为了求取X(s)在ss1的值乘积中的每―项都可用一个从零点或极点到s1点的向量来表示。那么X(s)的模就是各零点向量(从各个零点到s1的向量)长度乘积的M倍被各极点向量(从各个极点到s1的向量)长度的积相除而复数X(s)的相角则是这些零点向量相角的和减去这些极点向量相角的和。
如果在式(9.70)中比例因子M是负的则对应有一个附加相角π。
如果X(s)有多阶极点或零点(或均有)即相应于某些αi 或/和 βi是相等的那么这些多阶极点或零点向量的长度和相角在X(s1)中都应包括相应的倍数(等于极点或零点的阶)。
【例9.12】设X(s)为 傅里叶变换
X(s)的零-极点图如图9.16所示。 为了用几何法确定傅里叶变换在图中构造了一个极点向量。傅里叶变换在频率ω处的模就是从极点到虚轴上 jω 点向量长度的倒数而傅里叶变换的相位就是该向量相角的负值。由图9.16从几何上可写出
傅里叶变换几何确定的价值往往在于近似观察整体特性。例如在图9.16中很快能看出极点向量的长度随ω的增加而单调增加因此傅里叶变换的模将随ω的增加而单调下降。由零-极点图对傅里叶变换特性得出一般性结论的能力下面会用一阶和二阶系统作为例子进一步说明。
9.4.1 一阶系统
……
9.4.2 二阶系统
……
9.4.3全通系统
……
9.5 拉普拉斯变换的性质
这一节将考虑相应的一组拉普拉斯变换的性质。很多结果的导出都和傅里叶变换中相应性质的导出是类似的因此这里不进行详细推导有些将在本章末习题中作为课后作业(见习题9.52至习题9.54)。
9.5.1 线性性质 注意和函数的L变换的收敛域是取交集
这个交可以是空的若是这样X(s)就没有收敛域即x(t)不存在拉普拉斯变换。
X( s )的收敛域也可能比这个“交”大——作为一个简单例子在式(9.82)中若x1(t)x2(t)且a-b则有x(t)0因此X(s)0这样X(s)的收敛域就是整个s平面。
【例9.13】考虑信号
其中单项拉普拉斯变换
X(s)和X(s)的零-极点图及收敛域如图9.22(a)和图9.22(b)所示。 由式(9.82)知
由此在x1(t)和x2(t)的线性组合中在s -1的极点被s -1的零点所抵消。X( s )X1(s)-X2(s)的零-极点图如图9.22(c)所示。X1(s)和X2(s)的收敛域的交是Re{s} -1。然而因为收敛域总是被一个极点或无限远点所界定对这个例子来说X(s)的收敛域就能够再向左延伸直至被s -2的极点所界定为止这就是由于在s -1零极点抵消的结果。
例9.13 这个例子要说明一个由信号的线性组合构成的信号其拉普拉斯变换的收敛域有时可能会延伸到超过这些单项收敛域的交。
9.5.2 时移性质 9.5.3 s域平移 这就是说X(s-s0)的收敛域是X(s)的收敛域平移一个Re{s0}。于是对位于R中的任何一个s值s Re{s0}的值一定在R中如图9.23所示。 应该注意如果X(s)有一个极点或零点在sa那么X(s-s0)就有一个极点或零点在s-s0 a也就是sas0。
式(9.88)的一个重要的特殊情况是当s0jω0时也就是当一个信号x(t)用来调制一个周期复指数信号e^jω0t时式(9.88)就变成 式(9.89)的右边可以看成在s平面内平行于实轴的一个平移这就是说若x(t)的拉普拉斯变换在s a有一个极点或零点那么e^jω0t·x(t)就在s ajω0有一个极点或零点。
9.5.4 时域尺度变换 这就是说对于在R中的任何s值[见图9.24(a)]a · s 的值一定位于R1中如图9.24(b)所示这里0a1。 注意对于0a1X(s)的收敛域要变为原来的a倍如图9.24(b)所示而对于a1收敛域要扩展为原来的a倍。另外式(9.90)还意味着若a为负收敛域就要进行倒置再加一个尺度变换。特别是如图9.24(c)所示该图是对应于-1a0的情况1/|a|·X(s/a)的收敛域涉及关于jω轴的反转再加上一个1/|a|因子的收敛域大小的变化。因此x(t)的时间反转就形成收敛域的反转即 9.5.5 共轭 因此
因此若x(t)为实函数并且若X(s)有一个极点或零点在ss0即如果X(s)在s s0无界或为零那么X(s)也一定有一个复数共轭的ss0*的极点或零点。例如例9.4中的实信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)就有共轭成对极点s 1±3j和零点
结论实函数的L变换的零/极点一定在实轴上、或相对于实轴对称。
9.5.6 卷积性质 因此和9.5.1节的线性性质一样X1(s)X2(s)的收敛域包括X1(s)和X2(s)的收敛域的相交部分。
如果在乘积中有零极点相消那么X1(s)X2(s)的收敛域也可以比它们的相交部分大。
例如若 那么X1(s)X2(s)1它的收敛域就是整个s平面。
正如在第4章中所看到的傅里叶变换中的卷积性质在线性时不变系统的分析中起着很重要的作用。在9.7节和9.8节中也将利用拉普拉斯变换的卷积性质来分析线性时不变系统更具体一些就是分析由线性常系数微分方程所表征的系统。
9.5.7 时域微分 将式(9.56)的逆变换式两边对t微分就可得到这个性质。
sX(s)的收敛域包括X(s)的收敛域并且如果X(s)中有一个s0的一阶极点被乘以s(零点)抵消了还可以比X(s)的收敛域更大。
例如若x(t)u(t)那么X(s) 1/s收敛域是Re{s} 0而x(t)的导数是一个单位冲激函数δ(t)它的拉普拉斯变换是1而且收敛域是整个s平面。
9.5.8 s域微分 L变换两边对s微分可证。
【例9.14】求x(t)的L变换。 拉普拉斯变换
事实上反复利用式9.100可得
或更为一般的形式
下一个例子要说明当将部分分式展开用于求一个具有重阶极点的有理函数的逆变换时这个特殊的拉普拉斯变换对是特别有用的。
【例9.15】考虑如下拉普拉斯变换
部分分式展开
因为收敛域在极点s -1和s -2的右边所以每一项逆变换都是一个右边信号再应用式(9.14)和式(9.104)可得逆变换为
9.5.9 时域积分 这个性质是9.5.7节所述微分性质的逆性质利用9.5.6节的卷积性质可以将它导出即 由例9.1若a 0则有 根据卷积性质有 它的收敛域应包括X(s)的收敛域和式(9.108)中u(t)拉普拉斯变换收敛域的相交这就是式(9.106)给出的收敛域结果。
9.5.10 初值定理与终值定理
若t0x(t)0并且在t0时x(t)不包含冲激或高阶奇异函数在这些特别限制下就可以直接从拉普拉斯变换式中计算出初值x(0)即当t从正值方向趋于0时x(t)的值。
以及终值即t→∞时x(t)的值。 这些结果的导出留在习题9.53中考虑。
【例9.16】初值定理与终值定理在验证一个信号的拉普拉斯变换计算结果的正确性方面很有用。
例如考虑例9.4中的信号x(t)由式(9.24)可见x(0*)2同时利用式(9.29)可求出 这与式(9.110)的初值定理是一致的。
9.5.11 性质列表
表9.1综合了本节中所得到的全部性质在9.7节将拉普拉斯变换用于线性时不变系统的分析和表征时会用到很多这些性质。正如已在几个例子中所说明的拉普拉斯变换及其收敛域的各种性质都能为一个信号及其变换提供大量的信息而这些无论是在表征信号方面还是校核一个计算的结果方面都是有用的。在9.7节和9.8节及本章末的习题中将给出应用这些性质的其他一些例子。 9.6 常用拉普拉斯变换对
正如9.3节所指出的把X(s)分解成较简单的一些项的线性组合拉普拉斯逆变换往往很容易求得因为这些简单项的拉普拉斯变换可以直接写出来或者极易求得。
表9.2列出了若干常用的拉普拉斯变换对。 第1对直接由式(9.3)得到。
第2对、第6对可由例9.1分别以a0和aα代入求出。
第4对利用微分性质由例9.14可得。
第8对在变换对4的基础上利用9.5.3节的性质可得。
变换对3、5、7、9分别在变换对2、4、6、8的基础上再结合9.5.4节的时域尺度变换性质以a -1代入而得出。
类似地变换对10到16都可以利用表9.1的有关性质在前面那些变换对的基础上导得(见习题9.55)。
9.7 用拉普拉斯变换分析与表征线性时不变系统
拉普拉斯变换的重要应用之一是对线性时不变系统的分析与表征。对于线性时不变系统拉普拉斯变换的作用直接来自于卷积性质(见9.5.6节)。
根据这一性质就可以得到一个线性时不变系统输入和输出的拉普拉斯变换是通过乘以系统单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来的。即
其中X(s)Y(s)和H(s)分别是系统输入、输出和单位冲激响应的拉普拉斯变换。
式(9.112)是与傅里叶变换场合的式(4.56)相对应的。事实上当s jω时式(9.112)拉普拉斯变换中的每一项都变成相应的傅里叶变换这样式(9.112)就完全相当于式(4.56)。
另外根据3.2节关于线性时不变系统对复指数信号响应的讨论若一个线性时不变系统的输入是x(t) e^st那么其输出就一定是H(s)e^st也就是说e^st是系统的一个特征函数而其特征值就等于单位冲激响应的拉普拉斯变换。
当s jω时H(jω)就是这个线性时不变系统的频率响应。
在拉普拉斯变换的范畴内一般称H(s)为系统函数转移函数。
线性时不变系统的很多性质都与系统函数在s平面的特性密切有关。
下面将通过几个重要的系统性质和几类重要系统来说明这一点。
9.7.1因果性
对于一个因果线性时不变系统其单位冲激响应在t0时为零因此是一个右边信号这样根据9.2节的讨论可见有 应该强调的是相反的结论未必是成立的。
如例9.19所说明的位于最右边极点的右边的收敛域并不保证系统是因果的它只保证单位冲激响应是右边的。
因果系统t0时有h(t)0。
右边信号tt0时有h(t)0。
然而如果H(s)是有理的那么如例9.17和例9.18所表明的只须看它的收敛域是否是右半平面的就能确定该系统是否是因果的从而有
【例9.17】
……
【例9.18】
……
【例9.19】
……
可以用完全类似的方式来处理有关反因果性的概念。
反因果系统如果系统的单位冲激响应在t0h(t)0就说该系统是反因果的。
因为在这种情况下h(t)是左边信号由9.2节知道系统函数H(s)的收敛域就必须是某个左半平面。同样一般来说其相反的结论是不成立的
也就是说如果H(s)的收敛域是某个左半平面那么我们所知道的只是h(t)是左边的。
然而如果H(s)是有理的那么收敛域位于最左边极点的左边就等效于系统是反因果的。
有理的自变量的幂的多项式之比——不含e^s、lns……
9.7.2 稳定性
H(s)的收敛域也可以与系统的稳定性联系起来。正如2.3.7节曾提到的一个线性时不变系统的稳定性等效于它的单位冲激响应是绝对可积的这时单位冲激响应的傅里叶变换收敛(见4.4节)。因为一个信号的傅里叶变换就等于拉普拉斯变换沿jω轴求值所以就有
【例9.20】考虑一个线性时不变系统其系统函数为
因为没有给出收敛域那么根据9.2节的讨论知道存在几种不同的收敛域就会有几种不同的单位冲激响应与式(9.119)给出的H(s)代数表示式相联系。
然而如果有关于系统的因果性或稳定性方面的信息那么适当的收敛域还是能被确定的。
例如若系统已知是因果的那么收敛域一定为图9.25(a)所示。 这时的单位冲激响应就是
注意这种收敛域的选择并未包括 jω 轴因此对应的系统是不稳定的。只要看看h(t)不是绝对可积的就能得出这个结果。
另一方面若系统已知是稳定的那么收敛域就如图9.25(b)所示。相应的单位冲激响应是 这是绝对可积的。
最后收敛域为图9.25(c)所示这时的单位冲激响应为 系统是反因果的而且是不稳定的。
当然一个系统是稳定(或不稳定)的而有一个非有理的系统函数这完全是可能的。例如式(9.115)的系统函数不是有理的含e^s而它的单位冲激响应式(9.118)是绝对可积的这就表明系统是稳定的。
然而对于具有有理系统函数的系统其稳定性很容易用系统的极点来说明。例如对于图9.25的零-极点图稳定性就对应于收敛域的选择要在两个极点之间以使jω轴位于收敛域内。
对于一种特别而重要的系统稳定性可以很简单地用极点的位置来表征。具体而言考虑一个因果线性时不变系统具有有理系统函数H(s)因为系统是因果的收敛域就在最右边极点的右边因此这个系统若是稳定的即收敛域包括jω轴H(s)的最右边的极点就必须位于jω轴的左边即 【例9.21】系统单位冲激响应
因果稳定系统拉普拉斯变换
极点在s-1在s平面的左半平面。
与此相反系统单位冲激响应
因果不稳定系统拉普拉斯变换
极点在s2在s平面的右半平面。
【例9.22】
……
9.7.3 由线性常系数微分方程表征的线性时不变系统
4.7节已经讨论过利用傅里叶变换来得到一个由线性常系数微分方程表征的线性时不变系统的频率响应而用不着首先解出单位冲激响应或时域解。
用完全类似的方式拉普拉斯变换的性质也能用来直接求得一个由线性常系统微分方程所表征系统的系统函数。
下面的例子用来说明这一过程。
【例9.23】考虑如下LTI系统的输入-输出线性常系数微分方程。 左右两边作拉普拉斯变换由系统函数的定义
则有
这样就给出了系统函数的代数表示式但没有收敛域。事实上正如在2.4节所讨论的微分方程本身并不能完全表征这个线性时不变系统有不同的单位冲激响应都与这个微分方程相吻合。
如果除了这个微分方程之外还知道系统是因果的那么就可以推断出收敛域在最右边极点的右边在这个例子中就对应于Re{s} -3
如果已知系统是反因果的那么收敛域就是Re{s}-3。
在例9.23中由微分方程得到H(s)的过程可以应用到更一般的情况。
考虑如下形式的线性常系数微分方程 在上式两边进行拉普拉斯变换并反复应用线性和微分性质可得 或者
因此一个由微分方程表征的系统其系统函数总是有理的。
它的零点就是如下方程的解 而它的极点就是如下方程的解
和前面的讨论一样式(9.133)并没有包括H(s)收敛域的说明因为该线性常系数微分方程本身没有限制收敛域。然而如果给出系统有关稳定性或因果性的附加说明收敛域就可以被推演出来。
例如如果在系统中强加上初始松弛的条件它就是因果的那么收敛域就一定位于最右边极点的右边。
【例9.24】
……
9.7.4 系统特性与系统函数的关系举例
已经看到诸如因果性和稳定性之类的系统性质都能直接与系统函数及其特性联系起来。
事实上已经给出的拉普拉斯变换的每一个性质都能以这种方式用于将系统特性与系统函数联系起来。这一节将用几个例子来说明这一点。
【例9.25】假设一LTI系统输入
在此输入下的输出
则可得到系统函数
而且还可以确定系统函数的收敛域。由9.5.6节的卷积性质知道Y(s)的收敛域至少必须包括X(s)和H(s)的收敛域相交部分。检查一下H(s)的收敛域的三种可能情况
即极点s -2的左边极点-2和极点-1之间以及极点s -1的右边。
可见只有Re{s} -1一种选择才能与X(s)和Y(s)的收敛域相符。因为这个收敛域就是H(s)的最右边极点的右边因此可得H(s )是因果的。又因为H(s)的两个极点都有负的实部所以系统又是稳定的。再者根据式(9.131)和式(9.133)之间的关系还能给出下列微分方程 【例9.26】假定关于某个LTI系统已知如下信息试确定系统函数
根据条件1和条件2可知系统是不稳定的——因为系统是因果的而又有一个实部为正的极点在s 4。并且系统函数具有如下形式 其中p(s)是一个s的多项式。
由于对输入x(t) 1 e^0·t的响应y(t)必须等于H(0) ·e^0·tH(0)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
不懂Y(s)H(s)X(s)
y(t)H(s)x(t)是什么
3.2 线性时不变系统对复指数信号的响应 这里的s、z是常量 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
因此由条件3可得p(0)0也就是说p(s)必定有一个根在s 0于是p(s)就应具有 其中q(s)是另一个s多项式。
最后根据条件4和9.5.10节中的初值定理可知 若分子的阶次比分母的阶次高那么这个极限一定发散。因此对于这个极限要能得到一个有限的非零值只有sH(s)是分子分母同阶次的情况下才有可能。现在已经知道分母阶次为2因此要使式(9.138)能成立q(s)必须是一个常数即q(s)K。这个常数可以按如下求出 令式(9.138)和式(9.139)相等可见K 4因此
【例9.27】考虑一个稳定的因果系统其单位冲激响应为h(t)系统函数为H(s)。假定H(s)是有理的有一个极点在s -2原点没有零点其余的极点和零点位置都不知道。对于下列每一种说法判断是否能肯定地说是对的是否能肯定地说是错的或者说由于条件不充分而无法确认它的真实性。
a收敛。
b
cth(t)是一个稳定因果系统的单位冲激响应。
ddh(t)/dt在它的拉普拉斯变换中至少有一个极点。
eh(t)是有限持续期的。
fH(s) H( - s)。
g
分析
a是错的。因为于相应于h(t)的拉普拉斯变换在s -3的值如果这个值收敛那就意味着s -3在收敛域内。
傅里叶变换收敛 拉普拉斯变换的jω在收敛域内
但是一个稳定因果系统的收敛域总是在它的全部极点的右边而s -3不在极点s -2的右边。
b也是错的。因为这等于说H(0)0可是已知H(s)在原点没有零点。
拉普拉斯变换公式令s0。
c这个说法是对的。按表9.1所列的根据9.5.8节得到的性质th(t)的拉普拉斯变换与H(s)有相同的收敛域而H(s)的收敛域包括jω轴因此对应的系统是稳定的。同时对于t0h(t)0这意味着对于t0也有th(t)0因此th(t)代表的是一个因果系统的单位冲激响应。
H(s)与H(s)有相同的收敛域一阶极点→二阶极点
d这个说法也是对的。因为根据表9.1dh(t)/dt的拉普拉斯变换为sH(s)而乘以一个s并没有消去在s -2的极点。
e是错的。如果h(t)是有限持续期的它的拉普拉斯变换的收敛域就必须是整个s平面。然而H(s)在s -2已经有极点。
f也是错的。倘若这是对的那么因为H(s)在s -2有一个极点那就必须在s2也有个极点而对于一个稳定因果系统其全部极点都一定位于s平面的左半平面这是相矛盾的。
g这个说法的真假由给出的条件无法肯定。因为这种情况要求H(s)分子分母同阶次但是缺乏足够的条件来判断H(s)是否属于这种情况。
9.7.5 巴特沃思滤波器
……
9.8 系统函数的代数属性与方框图表示
利用拉普拉斯变换可将微分、卷积、时移等这些时域中的运算用代数运算来代替。
时域运算 → 代数运算
我们已经看到这样做在分析线性时不变系统时的很多好处。这一节将要讨论系统函数代数属性的另一个重要应用即通过分析线性时不变系统的互联及基本系统的构造单元的互联来综合出复杂系统中的应用。
9.8.1 线性时不变系统互联的系统函数
考虑两个系统的并联如图9.30(a)所示。 总系统的单位冲激响应是 由拉普拉斯变换的线性性质有 同理两个系统的级联如图9.30(b)所示其单位冲激响应为 系统函数为
通过代数运算在表示线性系统的互联时利用拉普拉斯变换可以扩展到远比图9.30这种简单 的并联和级联更为复杂的互联中去。
为此考虑图9.31所示两个系统的反馈互联。第11章将要详细讨论这类互联系统的设计、应用和分析。尽管在时域中这类系统的分析不是特别简单但是确定由输入x(t)到输出yt)的总系统函数还是一个直接的代数运算。 具体而言由图9.31有 和 由此可得 或者
9.8.2 由微分方程和有理系统函数描述的因果线性时不变系统的方框图表示
2.4.3节曾说明过利用相加、乘以一个系数、积分这些基本运算可将由一阶微分方程描述的线性时不变系统用方框图来表示。
这三种运算也能用来构造更高阶系统的方框图本节将用几个例子来给予说明。
【例9.28】考虑一个因果LTI系统函数
由9.7.3节可知这个系统也能用下列微分方程来描述
具有初始松弛条件。在2.4.3节曾构造出一个方框图表示如图2.32所示。另一种等效的方框图(相应于图2.32中的a3和b1)如图9.32(a)所示。 左右同时积分 —— 化微分为积分
图中1/s 是一个单位冲激响应为u(t)的系统的系统函数也就是一个积分器的系统函数。
在图9.32(a)的反馈回路中的系统函数-3就相应于乘以系数-3。
这个方框图所涉及的反馈回路很像上一小节考虑并画在图9.31中的反馈回路唯一的差别是输入到相加器中的这两个信号在图9.32(a)中是相加的而在图9.31中是相减的。然而若在反馈回路中改变相乘系数的符号所得出的图9.32(b)就与图9.31完全一样了。这样可用式(9.163)证明出
e(t)系统输入信号——enter
e(t)x(t) - 3y(t)
【例9.29】考虑一个因果LTI系统函数
由式(9.164)可以想到这个系统可以看成一个系统函数为1/(s 3)的系统与系统函数为(s2)的系统的级联结果。如图9.33(a)所示图中已经用了图9.32(a)的方框图来代表1/(s 3)。 对于式(9.164)的系统还有可能得到另一种方框图表示。利用拉普拉斯变换的线性和微分性质可知图9.33(a)中的y(t)和z(t)是由下列方程关联起来的:
然而输入至积分器的e(t)就是输出z(t)的导数所以
这样就直接导出了另一种方框图表示如图9.33(b)所示。
注意因为 图9.33(a)中的方框图要求z(t)的微分而与此对照图9.33(b)并不涉及任何信号的直接微分。
【例9.30】考虑因果二阶系统的系统函数
这个系统的输入x(t)和输出y(t)满足如下微分方程 采用与前面例子类似的想法可以得出这个系统的方框图表示如图9.34(a)所示。 因为积分器的输入就是积分器输出的导数所以方框图中各信号关联如下 同时将式(9.166)重写成 或者 这是与图9.34( a)所代表的完全相同的。
图9.34(a)中出现的系数可以直接根据系统函数中的系数或等效微分方程中的系数确认出来所以称这种方框图为直接型表示。
对系统函数进行稍许变化可以得到实际中很重要的其他方框图表示。特别是式(9.165)中的H(s)可重写成
这就令人想到能将该系统表示成两个一阶系统的级联。这种级联型表示如图9.34(b)所示。
另外将H(s)进行部分分式展开可得
这就产生了并联型表示如图9.34(c)所示。
【例9.31】考虑如下系统函数
再次利用系统函数的代数属性可将H(s)写成几种不同的形式其中每一种都有对应方框图表示。
特别是能将H(s)写成
因此H(s)可看成图9.34(a)的系统与系统函数为(2s^24s -6)的系统的级联。完全就像在例9.29中所做的那样可以用“抽头”信号的办法把出现在第一个系统积分器输入端的信号抽出来以提取第二个系统所要求的导数。有关这一详细过程将在习题9.36中讨论而所得的直接型方框图表示则如图9.35所示。 再一次看到在直接型表示中方框图中出现的系数可以直观地由系统函数式(9.167)中的系数来确定。
作为一种替代方式还能将H(s)写成 或者 其中第一个是一种级联型表示而第二个则是一种并联型表示。这些都将在习题9.36中讨论。
对于由微分方程和有理系统函数描述的因果线性时不变系统构造方框图表示的方法都可以用于高阶的系统。另外往往在如何构成上有很大的灵活性。例如若将式(9.168)中的分子颠倒一下次序就可以写成 这又是一种不同的级联型表示。同样正如在习题9.38中所说明的一个四阶系统函数可以写成两个二阶系统函数的乘积而其中每个二阶系统函数又有几种不同的表示方式(如直接型、级联型或并联型)并且还能写成低阶项的和而每个低阶项又有几种不同的表示。这样一来简单的低阶系统就可以作为基本的构造单元用来实现更复杂的高阶系统。
9.9 单边拉普拉斯变换
本章前面各节讨论的拉普拉斯变换一般称为双边拉普拉斯变换。稍许有些不同的另一种拉普拉斯变换形式称为单边拉普拉斯变换将在这一节给予介绍和讨论。
单边拉普拉斯变换在分析具有非零初始条件的(即系统最初不是松弛的)由线性常系数微分方程所描述的因果系统时有很大的价值。
一个连续时间信号x(t)的单边拉普拉斯变换X(s)定义为 这里积分的下限取为0-以表明在积分区间内包括了集中于t0的任何冲激或高阶奇异函数。
对于一个信号及其单边拉普拉斯变换再次采用一个方便的简化符号为
比较式(9.170)和式(9.3)即可发现单边和双边拉普拉斯变换在定义上的不同在于积分的下限。双边拉普拉斯变换决定于t-∞到t ∞的整个信号而单边拉普拉斯变换仅仅决定于t0-到∞的信号。
这样一来在t0时不同而在t≥0时相同的两个信号将有不同的双边拉普拉斯变换而有相同的单边拉普拉斯变换。同理任何在t0时都为零的信号其双边和单边拉普拉斯变换相同。
因为x(t)的单边拉普拉斯变换就是将信号x(t)在t 0时将它的值置为零而求得的双边拉普拉斯变换因此有关双边拉普拉斯变换中的很多细节、概念和结果都能直接用于单边的情况。
例如利用9.2节对右边信号的性质4即可得出式(9.170)的收敛域总是位于某个右半平面。单边拉普拉斯逆变换的求取也与双边变换是相同的只是单边变换的收敛域一定总是在右半面的。
9.9.1 单边拉普拉斯变换举例
【例9.32】
……
【例9.33】
……
【例9.34】
……
【例9.35】
……
【例9.36】
……
9.9.2 单边拉普拉斯变换性质
……
9.9.3 利用单边拉普拉斯变换求解微分方程
单边拉普拉斯变换的一个主要应用是求解具有非零初始条件的线性常系数微分方程现用下面的例子来说明它。
……
9.10 小结
……
