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最近作者受到邀请让我帮忙给刚入门的学弟讲讲滑模控制。可是作者也不知道怎么向未入门的学弟讲解这些基础知识所以作者翻了翻近几年写的很好的文章以及视频。综合起来来总结出一套比较基础且适用于初学者的文章吧。这里我们先贴一下王崇卫同学的笔记。 对应的视频连接在下面 【Advanced控制理论】171. 滑模控制目的
对于滑模控制而言我觉得我们先要明白其目的再来学习。一开始我们对滑动控制的定义是滑动模式是先使用受控系统产生两个以上的子系统然后再刻意加入一些切换条件产生滑动模式以达成控制目标的一种技术。
滑模控制sliding mode control, SMC也叫变结构控制其本质上是一类特殊的非线性控制且非线性表现为控制的不连续性。这种控制策略与其他控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定而是可以在动态过程中根据系统当前的状态如偏差及其各阶导数等有目的地不断变化迫使系统按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动。
例如滑动模式控制中存在滑动曲面s0s0s0,一开始时系统会在有限时间内到达滑动曲面之后就会沿着滑动曲面移动。在滑动模式的理论叙述中系统会约束在滑动曲面上因此只需将系统视为在滑动曲面上滑动。不过实际系统的实现是用高频切换来让系统近似在滑动曲面上滑动高频切换的控制信号让系统在很邻近滑动曲面的范围内切跳chatter而且其频率是不固定的。虽然整体系统是非线性的不过下图中当系统到达滑动曲面后理想没有切跳系统会限制在s0s0s0的滑动曲面上滑动曲面是线性时不变系统在原点处指数稳定。
2. 滑模控制优缺点
2.1 滑模控制的优点
滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏 鲁棒性、无须系统在线辨识、物理实现简单。
2.2 滑模控制的缺点
当状态轨迹到达滑动模态面后难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。国内外主要通过改进滑模趋近律达到减弱抖振的目的。
3. 滑模控制需要条件
上文讲到滑模变结构控制器设计也包括两部分一是能从状态空间的任何位置有限时间到达滑模面 s0s 0s0二是在滑模面上可以收敛到原点平衡点。这也就代表我们要存在有一个稳定的滑模面且该滑模面是可达的。为此有以下四个条件
稳定性条件在s0的滑模面上状态是收敛的即滑动模态存在可达性条件在切换面s0以外的运动点将于有限时间内到达切换面保证滑模运动的稳定性达到控制系统运动品质要求。
下面将按照四个条件来叙述如何设计滑模控制的控制器这里的部分内容借鉴了文章滑动模型控制Sliding Mode Control并结合作者的理解进行写作。
3.1 被控系统的滑模面生成
首先第一步就是我们需要明白我们需要找到一个滑模面来让被控系统在滑模面上维持稳定。 例如假设存在一个被控系统 x˙1x2x˙2u\begin{aligned} \dot{x}_1 x_2 \\ \dot{x}_2 u \end{aligned}x˙1x˙2x2u
这个时候我们就需要根据被控系统设计一个滑模面滑模面一般可以设计为如下的形式 s(x)∑i1n−1cixixns(x) \sum_{i1}^{n-1} c_i x_i x_ns(x)i1∑n−1cixixn 因为在滑模控制中要保证多项式pn−1cnpn−2⋯c2pc1p^{n − 1} c_n p^{n − 2} \cdots c_2 p c_1pn−1cnpn−2⋯c2pc1为Hurwitz (简单来说这条条件是为了满足状态在s0s0s0的滑模面上可以收敛)。
什么是Hurwitz即上述多项式的特征值的实数部分在左半平面即为负。
我们可以看到上述的被控系统是存在有两个变量所以需要取n2n2n2即 s(x)c1x1x2s ( x ) c_1 x_1 x_2s(x)c1x1x2为了保证多项式 pc1pc_1pc1为Hurwitz需要多项式pc10pc_10pc10的特征值实数部分为负即c10c_10c10。 我们知道滑模控制需要使得状态x1x_1x1 和x2x_2x2的导数均达到零我们令 s0s0s0分析一下结果有 {cx1x20x˙1x2⇒cx1x˙10⇒{x1(t)e−ctx1(0)x2(t)x˙1(t)−cx1(0)e−ct\left\{\begin{aligned} cx_1 x_2 0 \\ \dot{x}_1 x_2 \end{aligned}\right. ~~ \Rightarrow ~~ c x_1 \dot{x}_1 0 ~~ \Rightarrow ~~ \left\{\begin{aligned} x_1(t) \text{e}^{-ct} x_1(0) \\ x_2(t) \dot{x}_1(t) -c x_1(0) \text{e}^{-ct} \end{aligned}\right.{cx1x20x˙1x2 ⇒ cx1x˙10 ⇒ {x1(t)e−ctx1(0)x2(t)x˙1(t)−cx1(0)e−ct 通过上式可以看到状态x1x_1x1 和 x2x_2x2 最终都是趋向于零的而且速度是以指数速率趋紧的。指数速率意味着当t1/ct1/ct1/c时趋零过程完成63.2%63.2\%63.2%当t3/ct3/ct3/c时趋零过程完成 95.021%95.021\%95.021%。那么我们通过调节参数ccc的大小即可实现对趋零速度的调节ccc 越大速度越快。 因此如果满足了 scx1x20scx_1 x_20scx1x20那么系统的状态x1x_1x1 和x2x_2x2也将沿着滑模面趋近于零 (s0s0s0称之为滑模面)。
3.2 可达性控制器设计
在拿到滑模面后则证明被控系统的稳定性条件成立下面一步就是可达性条件即状态xxx 从状态空间中任意一点出发可以在有限时间到达 s0s0s0 的滑模面上此时我们可以采用李雅普诺夫间接法来分析从前面可知切换函数 sss 是状态变量 xxx 的函数取以下的李雅普诺夫函数
V12s2V \frac{1}{2} s^2V21s2
对时间求导可得 V˙ss˙s(−sgn(s)−s)−sgn(s)s−s2−(∣s∣s2)0\begin{aligned} \dot{V} s \dot{s} \\ s (-\text{sgn}(s) - s) \\ -\text{sgn}(s) s - s^2 \\ -(|s| s^2) 0 \end{aligned}V˙ss˙s(−sgn(s)−s)−sgn(s)s−s2−(∣s∣s2)0
为了使系统稳定我们需要使V˙0\dot{V}0V˙0即 ss˙0s \dot{s}0ss˙0。此时系统对于 sss而言是渐进稳定不能保证其有限时间到s0s0s0 的滑模面上(渐进稳定是当 ttt趋于无穷时状态变量 xxx 趋于 000即无限时间到达)因此需要 ss˙−σs \dot{s}-\sigmass˙−σσ\sigmaσ是一个极小的正数。以上就是可达性条件成立的必要依据\color{red}{以上就是可达性条件成立的必要依据}以上就是可达性条件成立的必要依据。
但是实际上每次设计总不能都用李雅普诺夫函数判断于是人们就提出了趋近律这一概念常用的趋近律有如下几种其中sgn(s)\text{sgn}(s)sgn(s) 是符号函数 s0,sgn(s)1;s0,sgn(s)−1;s0,sgn(s)0s0,\text{sgn}(s)1; s0, \text{sgn}(s)-1; s0, \text{sgn}(s)0s0,sgn(s)1;s0,sgn(s)−1;s0,sgn(s)0: 等速趋近律 s˙−ϵsgn(s),ϵ0\dot{s} -\epsilon ~\text{sgn}(s), ~~~~\epsilon 0s˙−ϵ sgn(s), ϵ0 指数趋近律s˙−ϵsgn(s)−ks,ϵ0,k0\dot{s} -\epsilon ~\text{sgn}(s) - k s, ~~~~\epsilon 0, k0s˙−ϵ sgn(s)−ks, ϵ0,k0 幂次趋近律 s˙−k∣s∣αsgn(s)−ks,k0,0α1\dot{s} -k |s|^\alpha ~\text{sgn}(s) - k s, ~~~~k0, 0\alpha1s˙−k∣s∣α sgn(s)−ks, k0,0α1
一般在使用时候我们需要完成这些参数的调整一般我们使用的是指数趋近率并将ϵ\epsilonϵ和kkk的值均设为1简化为
s˙sgn(s)−s\dot{s} ~\text{sgn}(s) - ss˙ sgn(s)−s
然后我们可知s(x)c1x1x2s ( x ) c_1 x_1 x_2s(x)c1x1x2则s˙sgn(s)−sc1x1˙x2˙c1x2u\dot{s} ~\text{sgn}(s) - s c_1 \dot{x_1} \dot{x_2} c_1x_2us˙ sgn(s)−sc1x1˙x2˙c1x2u。则我们可以得到控制器uuu为
usgn(s)−s−c1x2u ~\text{sgn}(s) - s - c_1x_2u sgn(s)−s−c1x2
这就得到了我们必要的两个条件即存在滑模面sss以及可达性控制器uuu.
4. 滑模控制Python代码
下面是最简单的python代码
…详情请参照古月居
